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文檔簡介
1、 §4.2 換元積分法授課題目§4.2 換元積分法(第一類換元法)教學目的與要求:1. 理解第一類換元法的基本思想,它實際上是復合函數(shù)求導法則的逆過程,其關鍵是“湊微分”, .2. 掌握幾種典型的湊微分的方法,熟練應用第一類換元積分法求有關不定積分.教學重點與難點:重點:第一換元法的思想,難點:熟練應用第一換元法計算有關函數(shù)的不定積分.講授內(nèi)容:一、第一類換元積分法設具有原函數(shù),.若是中間變量,可微,則根據(jù)復合函數(shù)求導法則,有。所以根據(jù)不定積分的定義可得:以上是一個連等式可以改變順序從新寫一遍,就有.以上就是第一換元積分法。從以上可以看出,雖然是一個整體記號,但是被積表達式
2、中的可當作變量x的微分來對待,從而上式中的可以看成是的微分,通過換元,應用到被積表達式中就得到.定理1 設具有原函數(shù),可導,則 (1)如何應用公式(1),在求不定積分積分時, 如果被積函數(shù)g(x)可以化為一個復合函數(shù)與它內(nèi)函數(shù)的導函數(shù)的積的形式的形式, 那么 .所以第一換元積分法體現(xiàn)了“湊”的思想.把被積函數(shù)湊出一個復合函數(shù)與其內(nèi)函數(shù)的積來.例1 求解 ,可設中間變量,所以有.首先觀察被積函數(shù)的復合函數(shù)是什么樣的,然后看是否有它的內(nèi)函數(shù)的導數(shù),若沒有就去湊。例2 解 令,顯然,則.在比較熟練后,我們可以將設中間變量的過程省略,從而使運算更加簡潔。例3 解 如將展開是很費力的,不如把作為中間變量
3、,.例4 .例5 例6 求 .二、掌握幾種典型的“湊微分”的方法; ; ; ; ; ; ; 。三、利用第一換元積分法法計算有關函數(shù)的不定積分計算有關函數(shù)的不定積分時,需要先把被積函數(shù)變形轉化,再利用第一換元積分法計算.例7 求解 .(此題利用三角函數(shù)中的降冪擴角公式)例8求解 .利用,有如下例題例9 求解 例10求 解 .利用,例11 求 習題 4-2:2(30)解 .例12 求解 .例13 求解 .此題利用下面幾個例題利用例14 求解 .又如習題 4-2:2(16);解 . 例15 求解 .第一次課可以講到這里. 被積函數(shù)是分母是二次函數(shù),分子是常數(shù)或一次函數(shù)的有理分式函數(shù)的不定積分的求法(
4、例16例22六個例題)例16求 分子是常數(shù),分母是二次二項式,沒有一次項.解 .例17 被積函數(shù)分母是一個完全平方式解 .被積函數(shù)分母是一個完全平方式,被積函數(shù)化為例18 分子是常數(shù),分母是二次三項式,不是完全平方式解 被積函數(shù)分母是二次三項式且不可以分解因式,不是完全平方式時可以把分母配方化為的形式, 然后利用 練習:求(第一換元積分法分)解 , 例19 求 分子是常數(shù),分母是二次三項式且可以分解因式解 .被積函數(shù)分母是二次三項式且可以分解因式,被積函數(shù)可以用裂項法轉化為兩個簡單分式的差.例20求 分子是一次多項式,分母是二次多項式解 .例21求解 ,則 .被積函數(shù)分子是一次多項式,分母是二
5、次多項式時,首先把分子湊成分母的導數(shù).下面幾個例題利用三角函數(shù)的微分公式:;例22 求 (化切為弦)解 例23 求解 例24 求.因為 .所以 .此題用三角萬能公式代換也可以.例25 求解 .例26 求(利用三角函數(shù)積化和差公式)和差化積公式 積化和差; 解 根據(jù)三角函數(shù)的積化和差公式:.由以上例題可以看出,第一換元積分法是一種非常靈活的計算方法,始終貫穿著“湊微分”思想,因此學生應熟悉這些基本例題。歸納總結1.第一換元法是把被積函數(shù)g(x)湊成的形式然后應用公式;2.要熟練掌握幾種典型的“湊微分”的方法。;.3.熟練掌握幾種典型用第一換元積分法計算的不定積分; ; 課堂練習:第一次課1,習題 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19);第二次課2(11)(35)(43)(12)(29). 課外作業(yè):第一次課習題 4-2:2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13)
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