42換元積分法第一類換元法

1、 §4.2 換元積分法授課題目§4.2 換元積分法（第一類換元法）教學目的與要求：1. 理解第一類換元法的基本思想，它實際上是復合函數(shù)求導法則的逆過程，其關鍵是“湊微分”， .2. 掌握幾種典型的湊微分的方法，熟練應用第一類換元積分法求有關不定積分.教學重點與難點：重點：第一換元法的思想，難點：熟練應用第一換元法計算有關函數(shù)的不定積分.講授內(nèi)容：一、第一類換元積分法設具有原函數(shù)，.若是中間變量，可微，則根據(jù)復合函數(shù)求導法則，有。所以根據(jù)不定積分的定義可得：以上是一個連等式可以改變順序從新寫一遍，就有.以上就是第一換元積分法。從以上可以看出，雖然是一個整體記號，但是被積表達式

2、中的可當作變量x的微分來對待,從而上式中的可以看成是的微分，通過換元，應用到被積表達式中就得到.定理1 設具有原函數(shù)，可導，則 (1)如何應用公式(1)，在求不定積分積分時, 如果被積函數(shù)g(x)可以化為一個復合函數(shù)與它內(nèi)函數(shù)的導函數(shù)的積的形式的形式, 那么 .所以第一換元積分法體現(xiàn)了“湊”的思想.把被積函數(shù)湊出一個復合函數(shù)與其內(nèi)函數(shù)的積來.例1 求解 ，可設中間變量，所以有.首先觀察被積函數(shù)的復合函數(shù)是什么樣的，然后看是否有它的內(nèi)函數(shù)的導數(shù)，若沒有就去湊。例2 解 令，顯然，則.在比較熟練后，我們可以將設中間變量的過程省略，從而使運算更加簡潔。例3 解 如將展開是很費力的，不如把作為中間變量

3、，.例4 .例5 例6 求 .二、掌握幾種典型的“湊微分”的方法； ； ； ； ； ； ； 。三、利用第一換元積分法法計算有關函數(shù)的不定積分計算有關函數(shù)的不定積分時，需要先把被積函數(shù)變形轉化，再利用第一換元積分法計算.例7 求解 .（此題利用三角函數(shù)中的降冪擴角公式）例8求解 .利用，有如下例題例9 求解 例10求 解 .利用，例11 求 習題 4-2:2(30)解 .例12 求解 .例13 求解 .此題利用下面幾個例題利用例14 求解 .又如習題 4-2:2（16）;解 . 例15 求解 .第一次課可以講到這里. 被積函數(shù)是分母是二次函數(shù),分子是常數(shù)或一次函數(shù)的有理分式函數(shù)的不定積分的求法(

4、例16例22六個例題)例16求 分子是常數(shù)，分母是二次二項式，沒有一次項.解 .例17 被積函數(shù)分母是一個完全平方式解 .被積函數(shù)分母是一個完全平方式，被積函數(shù)化為例18 分子是常數(shù)，分母是二次三項式，不是完全平方式解 被積函數(shù)分母是二次三項式且不可以分解因式，不是完全平方式時可以把分母配方化為的形式， 然后利用 練習：求（第一換元積分法分）解 ， 例19 求 分子是常數(shù)，分母是二次三項式且可以分解因式解 .被積函數(shù)分母是二次三項式且可以分解因式，被積函數(shù)可以用裂項法轉化為兩個簡單分式的差.例20求 分子是一次多項式，分母是二次多項式解 .例21求解 ，則 .被積函數(shù)分子是一次多項式，分母是二

5、次多項式時，首先把分子湊成分母的導數(shù).下面幾個例題利用三角函數(shù)的微分公式：；例22 求 （化切為弦）解 例23 求解 例24 求.因為 .所以 .此題用三角萬能公式代換也可以.例25 求解 .例26 求（利用三角函數(shù)積化和差公式）和差化積公式 積化和差； 解 根據(jù)三角函數(shù)的積化和差公式：.由以上例題可以看出，第一換元積分法是一種非常靈活的計算方法，始終貫穿著“湊微分”思想，因此學生應熟悉這些基本例題。歸納總結1.第一換元法是把被積函數(shù)g(x)湊成的形式然后應用公式；2.要熟練掌握幾種典型的“湊微分”的方法。；.3.熟練掌握幾種典型用第一換元積分法計算的不定積分； ； 課堂練習：第一次課1，習題 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19)；第二次課2(11)(35)(43)(12)(29). 課外作業(yè)：第一次課習題 4-2:2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13)