3二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題一、知識歸納:1二元一次不等式表示的平面區(qū)域：二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）.對于在直線同一側(cè)的所有點(diǎn)，實(shí)數(shù)的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0，y0)，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）2線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解。3線性規(guī)劃問題應(yīng)用題的求解步驟：（1）

2、先設(shè)出決策變量，找出約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（2）作出相應(yīng)的圖象（注意特殊點(diǎn)與邊界）（3）利用圖象，在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大（?。┲?； 二、例題分析：例1畫出不等式表示的平面區(qū)域.點(diǎn)在直線的上方,則的取值范圍是_. 畫出不等式組表示的平面區(qū)域。并求出平面區(qū)域的面積。例2設(shè)滿足約束條件：，分別求下列目標(biāo)函數(shù)的的最大值與最小值：（1）； （2）； （3）； （4）例3某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料

3、不超過13噸，B原料不超過18噸.求該企業(yè)可獲得最大利潤。三、練習(xí)題：1不等式表示的平面區(qū)域是 A BCD2滿足不等式的點(diǎn)的集合（用陰影表示）是 AB CD3已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最小值等于_,最大值等于_.4如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為A B C D5.已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則的取值范圍是A2，1B2，1 C1，2 D1，26已知滿足約束條件，則的最小值是A5 B6 C10 D107在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是 A4 B4 C2 D2-2041-11 8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分對?yīng)值如下表，為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖像如

4、圖所示若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是ABC D9點(diǎn)到直線的距離為，且在表示的區(qū)域內(nèi)，則_ 10.若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 11設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_12設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)的是最大值為12，則的最小值為_13某廠生產(chǎn)A與B兩種產(chǎn)品，每公斤的產(chǎn)值分別為600元與400元.又知每生產(chǎn)1公斤A產(chǎn)品需要電力2千瓦、煤4噸；而生產(chǎn)1公斤B產(chǎn)品需要電力3千瓦、煤2噸.但該廠的電力供應(yīng)不得超過100千瓦，煤最多只有120噸.問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以取得最大產(chǎn)值?14某公司準(zhǔn)備進(jìn)行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資是由每份金

5、融投資20萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成；進(jìn)取型組合投資是由每份金融投資40萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成。已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利10萬元，每份進(jìn)取型組合投資每年可獲利15萬元。若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產(chǎn)投資不超過180萬元，那么這兩種組合投資應(yīng)注入多少份，才能使一年獲利總額最多？15某公司計(jì)劃2009年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的

6、廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題參考答案三、例題分析：例1畫出不等式2+y-60表示的平面區(qū)域.解：先畫直線2+y-6=0（畫成虛線）.取原點(diǎn)（0，0），代入2+y-6,2×0+0-6=-60,原點(diǎn)在2+y-60表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2+y-60表示的區(qū)域如圖：點(diǎn)(-2,t)在直線2x-3y+6=0的上方,則t的取值范圍是_(t>2/3)_.畫出不等式組表示的平面區(qū)域.解：不等式-y+50表示直線-y+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合，+y0表示直線x+y=0上及右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合.不等式組

7、表示平面區(qū)域即為圖示的三角形區(qū)域:例2設(shè)滿足約束條件：，分別求（1）；（2）；（3）；（4）的最大值與最小值。解：（1）先作可行域，如下圖所示中的區(qū)域，且求得、作出直線，再將直線平移，當(dāng)?shù)钠叫芯€過點(diǎn)B時，可使達(dá)到最小值；當(dāng)?shù)钠叫芯€過點(diǎn)A時，可使達(dá)到最大值。故，（2）同上，作出直線，再將直線平移，當(dāng)?shù)钠叫芯€過點(diǎn)C時，可使達(dá)到最小值；當(dāng)?shù)钠叫芯€過點(diǎn)A時，可使達(dá)到最大值。則，（3）表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。則落在點(diǎn)時，最小，落在點(diǎn)時，最大，故，（4）表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率。則落在點(diǎn)時，最小，落在點(diǎn)時，最大，故，例3某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每

8、噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.求該企業(yè)可獲得最大利潤。例3解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2乙產(chǎn)品噸 3（3，4）（0，6）O（，0）913 則有： ，目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知： 當(dāng)3，4時可獲得最大利潤為27萬元。四、練習(xí)題：x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 1D2B3_,_. 4 B 5. C6B 7B8B 9 _16_；10 _； 11

9、_3_ 12_解析：12不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=13某廠生產(chǎn)A與B兩種產(chǎn)品，每公斤的產(chǎn)值分別為600元與400元.又知每生產(chǎn)1公斤A產(chǎn)品需要電力2千瓦、煤4噸；而生產(chǎn)1公斤B產(chǎn)品需要電力3千瓦、煤2噸.但該廠的電力供應(yīng)不得超過100千瓦，煤最多只有120噸.問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以取得最大產(chǎn)值?13解:設(shè)生產(chǎn)A與B兩種產(chǎn)品分別為x公斤，y公斤，總產(chǎn)值為Z元。則且

10、作可行域：作直線l：600x+400y=0，即直線l：3x+2y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A，且與原點(diǎn)距離最大，此時z=600x+400y取最大值.解方程組,得A的坐標(biāo)為x=20，y=20答：生產(chǎn)A產(chǎn)品20公斤、B產(chǎn)品20公斤才能才能使產(chǎn)值最大。14某公司準(zhǔn)備進(jìn)行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資是由每份金融投資20萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成；進(jìn)取型組合投資是由每份金融投資40萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成。已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利10萬元，每份進(jìn)取型組合投資每年可獲利15萬元。若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產(chǎn)投資不超過180萬元，那

11、么這兩種組合投資應(yīng)注入多少份，才能使一年獲利總額最多？14解：設(shè)穩(wěn)健型投資份，進(jìn)取型投資份，利潤總額為（×10萬元），則目標(biāo)函數(shù)為（×10萬元），線性約束條件為：，即作出可行域（圖略），解方程組，得交點(diǎn)作直線，平移，當(dāng)過點(diǎn)M時，取最大值：萬元=70萬元。15某公司計(jì)劃2009年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？15解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益