06平面及其方程

1、第六節(jié) 平面及其方程 平面是空間中最簡單而且最重要的曲面. 本節(jié)我們將以向量為工具，在空間直角坐標(biāo)系中建立其方程，并進(jìn)一步討論有關(guān)平面的一些基本性質(zhì).分布圖示 平面的點(diǎn)法式方程 例1 例2 平面的一般方程 例3 例4 平面的截距式方程 例5 平面的夾角 例6 例7 例8 點(diǎn)到平面的距離 例9 例10 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題8-6 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、平面的點(diǎn)法式方程： 二、平面的一般方程： 三、平面的截距式方程： 四、兩平面的夾角：設(shè)有兩平面和： 則兩平面的夾角 從兩向量垂直和平行的充要條件，即可推出：（1） 的充要條件是；（2）的充要條件是 （3）重合的充要條件是 五、點(diǎn)到平面的距離：例題選

2、講平面的點(diǎn)法式方程例1 (E01) 求過點(diǎn)且與平面平行的平面方程.解 因?yàn)樗笃矫婧鸵阎矫嫫叫校阎矫娴姆ㄏ蛄繛樵O(shè)所求平面的法向量為則故可取于是，所求平面方程為即例2 (E02) 求過點(diǎn)和的平面方程.解 取所求平面方程為 化簡得平面的一般方程例3 (E03) 求通過軸和點(diǎn)的平面方程.解 設(shè)所求平面的一般方程為因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^軸，且法向量垂直于軸,于是法向量在軸上的投影為零，即又平面通過原點(diǎn)，所以從而方程成為 (1)又因平面過點(diǎn)因此有即 以此代入當(dāng)成(1)，再除以便得到所求方程為例4 (E04) 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)，且與平面垂直，求此平面方程.解 設(shè)平面為由平面過原點(diǎn)知由平面過點(diǎn)知所求平面方

3、程為 平面的截距式方程例5 (E05) 求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.解 設(shè)平面方程為由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件令 由所求平面方程為 即兩平面的夾角例6 (E06) 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:(1) (2) 解 且故兩平面相交，夾角為且又故兩平面平行但不重合.例7 求平面II, 使其滿足:(1) 過軸;(2) II與平面夾角為.解 因?yàn)槠矫孢^軸，可設(shè)其方程為又因?yàn)榕c已知平面夾角為故或或例8 (E07) 求經(jīng)過兩點(diǎn)和且與平面垂直的平面的方程.解 設(shè)所求的平面方程為由于點(diǎn)和在平面上，故又由于所求平面與平面垂直,由兩平面垂直條件有從上面三個(gè)方程中解出得 代入所設(shè)方程，并約去因子得所求的平面方程點(diǎn)到平面的距離例9 (E08) 求兩平行平面：和： 之間的距離.解 可在平面上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到平面的距離即為這兩平行平面間的距離. 為此，在平面上取點(diǎn)則例10 求平行于平面, 且與球面相切的平面的方程.解 可利用條件寫出平面的一般式方程,再利用球心到平面的距離來確定一般式方程中的特定系數(shù).由可設(shè)平面的方程為因?yàn)槠矫媾c球面相切，