第三章離散傅立葉變換

1、第三章 離散傅立葉變換一、離散傅立葉級數(shù)計算題：1如果是一個周期為N的周期序列，那么它也是周期為2N的周期序列。把看作周期為N的周期序列有（周期為N）；把看作周期為2N的周期序列有（周期為2N）；試用表示。二、離散傅立葉變換定義填空題2某DFT的表達式是，則變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間的間隔是（ ）。3某序列DFT的表達式是，由此可看出，該序列的時域長度是（ ），變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間隔是（ ）。4如果希望某信號序列的離散譜是實偶的，那么該時域序列應(yīng)滿足條件（ ）。 5采樣頻率為的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達式中代表的物理意義是 ），其中時域數(shù)字序列的序號代表的樣值實際位置是

2、（ ）；的N點DFT中，序號代表的樣值實際位置又是（ ）。6用8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進行頻譜分析，計算了512點的DFT。則頻域抽樣點之間的頻率間隔為_,數(shù)字角頻率間隔為 _和模擬角頻率間隔 _。判斷說明題：7一個信號序列，如果能做序列傅氏變換對它進行分析，也就能做DFT對它進行分析。 （ ）計算題8令表示N點的序列的N點離散傅里葉變換，本身也是一個N點的序列。如果計算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。9序列，其4點DFT如下圖所示。現(xiàn)將按下列（1），（2），（3）的方法擴展成8點，求它們8點的DFT？（盡量利用DFT的特性）（1） （2） （3） 10設(shè)是一個2N點的序列，

3、具有如下性質(zhì)： 另設(shè)，它的N點DFT為，求的2N點DFT和的關(guān)系。11試求以下有限長序列的N點DFT（閉合形式表達式）（1） （2） 12計算下列序列的N點DFT： （1） （2），13已知一個有限長序列 （1）求它的10點離散傅里葉變換（2）已知序列的10點離散傅立葉變換為，求序列（3）已知序列的10點離散傅立葉變換為，求序列14（1）已知序列：，求的N點DFT。（2）已知序列：，則的9點DFT是 正確否？用演算來證明你的結(jié)論。15一個8點序列的8點離散傅里葉變換如圖5.29所示。在的每兩個取樣值之間插入一個零值，得到一個16點序列，即（1）求的16點離散傅里葉變換，并畫出的圖形。（2）設(shè)的

4、長度N為偶數(shù)，且有，求。16計算下列有限長序列的DFT，假設(shè)長度為N。 （1） （2）17長度為8的有限長序列的8點DFT為，長度為16的一個新序列定義為 試用來表示。18試計算的離散傅里葉變換的值。證明題：19設(shè)表示長度為N的有限長序列的DFT。（1）證明如果滿足關(guān)系式則（2）證明當(dāng)N為偶數(shù)時，如果 則20令表示N點序列的N點離散傅里葉變換，（1）證明如果滿足關(guān)系式，則。（2）證明當(dāng)N為偶數(shù)時，如果，則。簡答題：21在離散傅里葉變換中引起混迭效應(yīng)的原因是什么？怎樣才能減小這種效應(yīng)？22試說明離散傅里葉變換與Z變換之間的關(guān)系。三、離散傅立葉變換性質(zhì)填空題：1已知序列，序列長度，寫出序列的值（

5、）。2已知，則和的5點循環(huán)卷積為（ ）。3已知則的4點循環(huán)卷積為（ ）。證明題：4試證N點序列的離散傅立葉變換滿足Parseval恒等式 5是一個離散傅里葉變換對，試證明離散傅里葉變換的對稱性： 6長為N的有限長序列，分別為的圓周共軛偶部及奇部，也即證明：7若8若，求證。9令表示N點序列的N點DFT，試證明：（a）如果滿足關(guān)系式，則。（b）當(dāng)N為偶數(shù)時，如果，則。10設(shè)，求證。11證明：若為實偶對稱，即，則也為實偶對稱。計算題：12已知，用圓周卷積法求和的線性卷積。13序列，序列。（1）求線性卷積（2）若用基2 FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來得到兩個序列的線性卷積運算結(jié)果，F(xiàn)FT至少應(yīng)取多少

6、點？14有限長為N=100的兩序列 做出示意圖，并求圓周卷積及做圖。15已知是長度為N的有限長序列，現(xiàn)將的每兩點之間補進個零值，得到一個長為的有限長序列 求：DFT與的關(guān)系。 16已知是N點有限長序列，?，F(xiàn)將長度變成點的有限長序列 試求點DFT與的關(guān)系。17已知是N點有限長序列，。現(xiàn)將的每兩點之間補進個零值點，得到一個點的有限長序列 試求點DFT與的關(guān)系。18已知序列和它的6點離散傅立葉變換。（1）若有限長序列的6點離散傅立葉變換為，求。（2）若有限長序列的6點離散傅立葉變換為的實部，即，求。（3）若有限長序列的3點離散傅立葉變換 ，求。19令表示N點序列的N點DFT，本身也是一個N點序列。如

7、果計算的DFT得到一序列，試用表示。20為了說明循環(huán)卷積計算（用DFT算法），分別計算兩矩形序列的卷積，如果，求 （1）兩個長度為6點的6點循環(huán)卷積。 （2）兩個長度為6點的12點循環(huán)卷積。21設(shè)是一個2N點序列，具有如下性質(zhì) 另設(shè)，它的N點DFT為。求得2N點DFT和的關(guān)系。22已知某信號序列，試計算（2）和的循環(huán)卷積和；（3）和的線性卷積和；（4）寫出利用循環(huán)卷積計算線性卷積的步驟。23如圖表示一個5點序列。（1）試畫出（2）試畫出簡答題：24試述用DFT計算離散線性卷積的方法。25已知是兩個N點實序列的DFT值，今需要從求的值，為了提高運算效率，試用一個N點IFFT運算一次完成。四、頻域

8、取樣填空題：1從滿足采樣定理的樣值信號中可以不失真地恢復(fù)出原模擬信號。采用的方法，從時域角度看是（ ）；從頻域角度看是（ ）。2由頻域采樣恢復(fù)時可利用內(nèi)插公式，它是用（ ）值對（ ）函數(shù)加權(quán)后求和。3頻域N點采樣造成時域的周期延拓，其周期是（ ）。簡答題：4 已知有限長序列的變換為，若對在單位圓上等間隔抽樣點，且，試分析此個樣點序列對應(yīng)的IDFT與序列的關(guān)系。5FFT算法的基本思想是什么？6簡述時域取樣定理和頻域取樣定理的基本內(nèi)容。計算題：7設(shè)是長度為M的有限長序列，其Z變換為今欲求在單位圓上N個等距離點上的采樣值，其中解答下列問題（用一個N點的FFT來算出全部的值）（1）當(dāng)時，寫出用一個N點

9、FFT分別算出的過程； (2) 若求的IDFT，說明哪一個結(jié)果和等效，為什么?8已知，今對其z變換在單位圓上等分采樣，采樣值為，求有限長序列IDFT9研究一個長度為M點的有限長序列,我們希望計算求z變換在單位圓上N個等間隔點上的抽樣，即在上的抽樣。當(dāng)時，試找出只用一個N點DFT就能計算的N個抽樣的方法，并證明之。10已知序列： ?，F(xiàn)在對它的Z變換在單位圓上進行N等分取樣，取樣值為，求有限長序列的IDFT。11對有限長序列的Z變換在單位圓上進行5等份取樣，得到取樣值，即求的逆傅里葉變換。12設(shè)下圖所示的序列的Z變換為，對在單位圓上等間隔的4點上取樣得到，即試求的4點離散傅里葉逆變換，并畫出的圖形

10、。四、用離散傅立葉變換對連續(xù)時間信號逼近問題簡答題：1理解DFT分析信號頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法?2補零和增加信號長度對譜分析有何影響？是否都可以提高頻譜分辨率?3試說明連續(xù)傅里葉變換采樣點的幅值和離散傅里葉變換幅值存在什么關(guān)系？4解釋DFT中頻譜混迭何頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？5解釋頻譜混迭、頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？6解釋頻譜混迭、頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？計算題：7用某臺FFT儀做譜分析。使用該儀器時，選用的抽樣點數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪。已知待分析的信號中，上限頻率kHz。要求譜分辨率Hz。試確定下列參數(shù)：1.一個記錄中的最少抽樣點數(shù)；2.相鄰樣點間的最大時間間隔；3.信號的最小記錄時間。8（1）模擬數(shù)據(jù)以10.24千赫速率取樣，且計算了1024個取樣的離散傅里葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。 （2）以上數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)經(jīng)處理以后又進行了離散傅里葉反變換，求離散傅里葉反變換后抽樣點的間隔為多少？整個1024點的時寬為多少？9頻譜分析的模擬信