函數(shù)中恒成立問題

1、課題：函數(shù)中恒成立問題求解策略知識要點恒成立問題在高中數(shù)學中較為常見，從解題策略來看，主要有以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；數(shù)型結(jié)合型。1、一次函數(shù)型-利用單調(diào)性求解給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0,則根據(jù)函數(shù)的圖象（線段）(如下圖)可得上述結(jié)論等價于(1) a>0 或（2）a<0 可合并成f(m)>0 f(m)>0 f(n)>0 f(n)>0同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0,則有f(m)<0 f(n)<0例1對于滿足的所有實數(shù)a，求使不等式恒成立的x的取值范圍。分析

2、：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關于a的一次函數(shù)大于零恒成立問題。解：原不等式轉(zhuǎn)化為在時恒成立，設，則f(a)在-2，2上恒大于0，故有：f(-2)>0, f(2)>0,即， 解得x>3或x<1, x>1或x<-1.x<-1或x>3，即2、二次函數(shù)型-利用判別式，韋達定理及根的分布求解對于二次函數(shù)在實數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即f(x)>0恒成立a>0, f(x)<0恒成立a<0 <0; <

3、;0若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。例2已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)。（1）求a、b的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍。解：（1）因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，即又由f(1)=-f(-1)知（2）由（1）知易知f(x)在上為減函數(shù)。又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：等價于，因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：，即對一切有：，從而判別式=4+12k<0k<-.3、變量分離型-分離變量，巧妙求解運用不等式的相關知識不難推出如下結(jié)論：若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則;若對于f(

4、x)取值范圍內(nèi)任何一個數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則。（其中和分別為f(x)的最大值和最小值）例3設，其中，如果時，f(x)有意義，求a的取值范圍。解：設，則，則恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，則a就大于的最大值。由二次函數(shù)知識，。4、數(shù)形結(jié)合-直觀求解例4對任意實數(shù)，不等式|x+1|-|x-2|>ax-3恒成立，求實數(shù)a取值范圍。分析：構(gòu)造函數(shù)y=|x+1|-|x-2|,與函數(shù)y=ax-3,對任意實數(shù)，不等式|x+1|-|x-2|>ax-3恒成立，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|x+1|-|x-2|,的圖象始終在函數(shù)y=ax-3，的圖象的上方，畫出函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍。解：y=|x+1|-|x-2|= -3 2x-1 在直角坐標系中畫出圖象如圖所示，函數(shù)y=ax-3，的圖象是過定點（0，-3）的一