最速降線問題

1、最速降線問題“想象一個(gè)小球，僅受重力,從點(diǎn) A 出發(fā)沿著一條沒有摩擦的斜坡滾至點(diǎn) B.怎樣設(shè)計(jì)這條斜坡，才能讓小球在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)點(diǎn) B?"這個(gè)在數(shù)學(xué)史上被稱為“最速降線”的知名問題,最早是由著名的意大利科學(xué)家伽利略(Galileo Galilei）于 1630 年提出來的。他在研究后認(rèn)為最速降線應(yīng)該是圓弧，但可惜的是這個(gè)答案并不是正確的。時(shí)間又過了 60 多年，1696 年 6 月，來自瑞士巴塞爾(Barsel，這座城市不僅是數(shù)學(xué)世家伯努利的故鄉(xiāng),也是歐拉的故鄉(xiāng)，有一個(gè)由歐拉解決的著名數(shù)論問題就是以這座城市命名的）的約翰伯努利（Johann Bernoulli）在教師學(xué)報(bào)(Act

2、a Eruditorum）上又重新提出這個(gè)問題，并向全歐洲的數(shù)學(xué)家提出公開挑戰(zhàn)。這個(gè)別出心裁卻又十分容易理解的問題吸引了當(dāng)時(shí)全歐洲的數(shù)學(xué)家，而最后給出了正確解答的人也都是數(shù)學(xué)史上赫赫有名的巨人.這也讓這次挑戰(zhàn)成為了數(shù)學(xué)史上最激動(dòng)人心的一場公開挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)家之間公開挑戰(zhàn)的傳統(tǒng)要追溯到 16 世紀(jì)在意大利的博洛尼亞(Bologna）。16 世紀(jì)初的博洛尼亞曾是歐洲數(shù)學(xué)思想的大熔爐，全歐洲的學(xué)生都會(huì)來到博洛尼亞大學(xué)。他們甚至還“發(fā)明”了一項(xiàng)新的觀賞運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)比賽。這聽起來有些匪夷所思，但在當(dāng)時(shí)確實(shí)有大批的觀眾從各地涌來，圍觀數(shù)學(xué)家們互相之間用數(shù)學(xué)斗法。其中最有名的一次，是在塔塔里亞（Tartaglia）

3、和費(fèi)奧（Fior）間上演的,是一場關(guān)于求出一元三次方程通解的世紀(jì)智力大戰(zhàn)。言歸正傳，在約翰伯努利發(fā)出挑戰(zhàn)后的半年里，他收到的唯一一份答案來自教師學(xué)報(bào)的主編，他的老師萊布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。在萊布尼茨的要求下，他將接受答案的最后期限推遲到 1697 年的復(fù)活節(jié)，以便有更多的數(shù)學(xué)家能參與到這場挑戰(zhàn)中來。我們都知道,過兩點(diǎn)的直線段是兩點(diǎn)間的最短路徑.但使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的運(yùn)動(dòng)軌跡，卻不是那么的顯而易見.這個(gè)問題和以往人們見過的那些求極值的問題是有本質(zhì)區(qū)別的。借助微積分，人們可以求出一個(gè)函數(shù)的極值;但最速降線問題要求的并不是某個(gè)傳統(tǒng)函數(shù)的極值點(diǎn),而是要在一簇

4、曲線(過 A、B 兩點(diǎn)的所有曲線）中，求出能讓質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的那條.這是一個(gè)以函數(shù)（小球的運(yùn)動(dòng)軌跡)為自變量，以實(shí)數(shù)（小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)為函數(shù)值的函數(shù)，也就是所謂的泛函。我們要求的就是這樣一個(gè)泛函的極值。正如后文將要介紹的那樣，這類問題形成了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)分支-變分學(xué)。1697 年的復(fù)活節(jié)很快就到了，約翰伯努利一共收到了五份正確答案。這五份答案分別來自他自己，他的老師萊布尼茨，他的哥哥雅各布伯努利（Jakob Bernoulli）,他的學(xué)生洛必達(dá)（Guillaume Francois Antonie de LHospital），還有一位來自英國的匿名數(shù)學(xué)家。最后這份答案雖然沒有署名，但顯然出自

5、赫赫有名的牛頓（Issac Newton）之手。雖然五人的解法各不相同，但他們的答案全都一樣最速降線就是擺線。同一個(gè)答案所謂擺線（cycloid），就是當(dāng)圓沿一條直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓周上一定點(diǎn)所形成的軌跡。其實(shí)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家對這種曲線并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究過這一重要的曲線。但大部分人都沒有想到，這條線同時(shí)也是人們苦苦追尋的最速降線。而我們大家對擺線也不陌生。還記得小時(shí)候玩過的那種能夠畫出各種漂亮曲線的玩具嗎？一塊塑料板上開著幾個(gè)圓形的大洞，還有幾塊較小的圓形塑料片，不同半徑處留有一些孔。把這些看似普通的小圓片放進(jìn)大圓孔中，再將圓珠筆插在小孔里并帶動(dòng)小圓片沿著大圓的圓周運(yùn)動(dòng)，就能在紙上留下各種

6、美麗的曲線。這些曲線也都是擺線，只不過是另一種被稱為“內(nèi)擺線”（hypocycloid）的擺線。它們是由給定圓在另一個(gè)圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),圓周上一定點(diǎn)形成的軌跡.不同的解法讓我們回到眾人給出的最速降線的解法上。萊布尼茨、牛頓、洛比達(dá)都是用他們擅長的微積分來解決這個(gè)問題的。伯努利兄弟的解法就值得特別地說一說了。約翰的解法應(yīng)該是最漂亮的解法了。他利用了費(fèi)馬原理(Fermat's principle）,將小球的運(yùn)動(dòng)類比成光線的運(yùn)動(dòng).費(fèi)馬原理又叫做“最短光時(shí)”原理，說的是光線在傳播時(shí)總會(huì)選擇光程極短的那條路徑。那么，“最速降線”就是在光速隨高度下降而增加（加速度恒為重力加速度 g）的介質(zhì)里光線傳播的路

7、徑。用這樣的類比思想,約翰成功地算出了這條曲線就是前面提到的擺線。這種解法出人意料地用到了費(fèi)馬原理，實(shí)在是太巧妙了！在物理學(xué)中,費(fèi)馬原理被認(rèn)為是“最小作用量原理”(principle of least action）在幾何光學(xué)中的特例. 而最小作用量原理則是物理學(xué)定律普遍遵循的規(guī)律，甚至被稱為“物理定律的定律"。不知你想過沒有，當(dāng)我們將一個(gè)小球拋出后，它為什么會(huì)沿著所謂的拋物線運(yùn)動(dòng)？你可能會(huì)說,因?yàn)樾∏蛑皇苤亓ψ饔?，根?jù)牛頓第一定律，它在水平方向上速度恒定不變；而根據(jù)牛頓第二定律,它在豎直方向上做勻變速運(yùn)動(dòng)。這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合起來就使得小球的運(yùn)動(dòng)軌跡成了一條拋物線。這確實(shí)不錯(cuò)，但現(xiàn)在讓我們

8、換一個(gè)角度來考慮這個(gè)問題。從整體的角度考慮,小球在被拋出后,為什么不沿著其他的路徑運(yùn)動(dòng)，卻總是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)呢？同樣,我們在考察了連接小球起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有曲線后,會(huì)發(fā)現(xiàn)只有在沿著拋物線運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的動(dòng)能和勢能的差在運(yùn)動(dòng)過程中對時(shí)間的積分（這就是所謂的“作用量”）才是最小的。注意，在這里我們同樣是在一簇曲線中,求出一條曲線使得某個(gè)量達(dá)到極值。這種在一簇曲線中，求出某條曲線使得函數(shù)取到極值的思想就是變分的核心思想。也就是說，我們又是在用變分求泛函的極值。再回過頭來看看約翰伯努利的哥哥雅各布伯努利的解法。雖然雅各布的解法相對于約翰的解法來說更復(fù)雜更麻煩，但他的解法更具有一般性，體現(xiàn)了變分的思想.約翰的學(xué)生，偉大的數(shù)