Ross套利定價(jià)模型

1、第四章 Ross套利定價(jià)模型資本資產(chǎn)定價(jià)模型提示了在資本市場(chǎng)均衡狀態(tài)下證券期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，簡(jiǎn)潔、明確地回答了證券風(fēng)險(xiǎn)的合理度量問(wèn)題以及證券如何在資本市場(chǎng)上被定價(jià)。由于模型是從假定條件經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理而得到的，而且所得結(jié)論與人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)資本市場(chǎng)上的直觀相吻合，因此被理論與實(shí)際工作者廣泛應(yīng)用。但是，資本資產(chǎn)定價(jià)模型也存在一些缺陷。其中最主要的一點(diǎn)是缺乏經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)證的有力支持。資本資產(chǎn)定價(jià)模型中的市場(chǎng)證券組合是一理論概念，從理論上講市場(chǎng)證券組合應(yīng)位于有效邊界是，但在進(jìn)行實(shí)證分析時(shí)人們卻只能以某種指數(shù)組合作為市場(chǎng)證券組合的替代，而指數(shù)組合不一定位于有效邊界上，這樣就導(dǎo)致參照指數(shù)組合計(jì)算的值與模

2、型中的值之間存在偏差。另外，資本資產(chǎn)定價(jià)模型描述的是證券期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，而人們只能得到歷史數(shù)據(jù)，對(duì)期望收益率與值這些不可觀測(cè)的變量，只能采用估計(jì)的方法，由此就可能產(chǎn)生較大誤差，使得檢驗(yàn)結(jié)果不能令人信服。 基于資本資產(chǎn)定價(jià)模型的不足，人們提出了一種新的資本資產(chǎn)定價(jià)理論，這就是套利定價(jià)理論（The Arbitrage Pricing Theory, 簡(jiǎn)稱APT）。該理論由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅斯（S.Ross）于1976年創(chuàng)立，其基本思路是從套利的角度考慮套利與均衡的關(guān)系，利用套利原理推導(dǎo)出市場(chǎng)均衡下資本資產(chǎn)定價(jià)關(guān)系，即套利定價(jià)模型。由于套利定價(jià)模型具有同資本資產(chǎn)定價(jià)模型一樣的解釋功能，而且涉

3、及較少的假定條件，與現(xiàn)實(shí)更加貼切，因此該模型越來(lái)越受到理論與實(shí)際工作者的關(guān)注。1 套利與均衡套利是資本市場(chǎng)理論的一個(gè)基本概念，是指利用同一資產(chǎn)在不同市場(chǎng)上或不同資產(chǎn)在同一市場(chǎng)上存在的價(jià)格差異，通過(guò)低買(mǎi)高賣(mài)而獲取利潤(rùn)的行為。一種最簡(jiǎn)單、明顯的產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)的情形是，某相同資產(chǎn)在兩個(gè)市場(chǎng)上的價(jià)格不同，此時(shí)，投資者只需在價(jià)高的市場(chǎng)賣(mài)空并同時(shí)在價(jià)低市場(chǎng)買(mǎi)入該資產(chǎn)，就可從中獲取一個(gè)正的差價(jià)收益，而且這種套利無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。很明顯，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)一旦被發(fā)現(xiàn)，投資者就會(huì)利用它進(jìn)行套利，這樣，即使是少數(shù)幾個(gè)（甚至一個(gè)）套利乾的套利行為都有將最終消除價(jià)格差異。因?yàn)檫@種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)存在對(duì)任何一個(gè)投資者（無(wú)論他是否厭惡風(fēng)

4、險(xiǎn)）都是有利的，只要投資者發(fā)現(xiàn)這種機(jī)會(huì)，他就會(huì)力圖通過(guò)在兩個(gè)市場(chǎng)上不斷地低買(mǎi)高賣(mài)，以實(shí)現(xiàn)套利收益的巨額增加。但另一方面，在套利者進(jìn)行買(mǎi)賣(mài)的同時(shí)，兩個(gè)市場(chǎng)上對(duì)同種證券的供需會(huì)發(fā)生變化，套利者在證券交易所不斷賣(mài)空證券A導(dǎo)致供給增加，從而A的價(jià)格下降；而在中間商處不斷地買(mǎi)入證券A使需要增加，從而A的價(jià)格上升，當(dāng)何等的上升與下降調(diào)整到使套利機(jī)會(huì)不再存在時(shí)，套利者就會(huì)結(jié)束其套利行為。如果不考慮交易費(fèi)用，那么同種證券A在兩個(gè)市場(chǎng)上的價(jià)格最終將處于同一水平。 這種相同證券在不同市場(chǎng)（或同類(lèi)證券在同一市場(chǎng)）的定價(jià)水平應(yīng)相同的原理就叫價(jià)格同一律（The Law of One Price），價(jià)格同一律的成立意味著

5、套利機(jī)會(huì)的消失，相反，價(jià)格同一律的違背就預(yù)示著套利機(jī)會(huì)的存在。一般來(lái)講，一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)、有效的市場(chǎng)總是遵循價(jià)格同一律。在當(dāng)今證券市場(chǎng)上，先進(jìn)通訊工具的應(yīng)用使市場(chǎng)能快速吸收新的信息，而且也使交易在瞬間就可完成，一旦市場(chǎng)違背價(jià)格同一律，投資者就會(huì)迅速通過(guò)巨額買(mǎi)賣(mài)而獲暴利。另外，在同一市場(chǎng)上，不同證券之間也有可能存在套利機(jī)會(huì)通過(guò)分析可以看出，當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，投資者會(huì)通過(guò)低買(mǎi)高賣(mài)賺取差價(jià)，這時(shí)，使套利機(jī)會(huì)存在的那些證券，它的定價(jià)是不合理的。由于套利者利用他們進(jìn)行套利，因此市場(chǎng)上對(duì)這些證券的需求與供給就處于非均衡狀態(tài)。相應(yīng)地，這些證券的價(jià)格就為非均衡價(jià)格。在套利者不斷套利的過(guò)程中，這些證券的價(jià)格 會(huì)隨供

6、需的變化而發(fā)生上升或下跌。當(dāng)達(dá)到某種水平使套利機(jī)會(huì)不再存在時(shí)，套利者的套利行為就會(huì)終止，市場(chǎng)將處于均衡狀態(tài)，各種證券的定價(jià)就處于合理水平，再?gòu)牧硪粋€(gè)角度看，當(dāng)市場(chǎng)經(jīng)過(guò)一系列調(diào)整達(dá)到均衡時(shí)，各種證券交易的價(jià)格都處于合理水平，在這種狀態(tài)下，不存在任何套利機(jī)會(huì)。這就是套利與均衡的關(guān)系，它是資本市場(chǎng)理論的一個(gè)基本論點(diǎn)。接下來(lái)的問(wèn)題就是，當(dāng)市場(chǎng)不存在任何無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)或者說(shuō)市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，各種證券及證券組合應(yīng)如何合理定價(jià)？它們的期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間存在什么關(guān)系，這些問(wèn)題正是套利定價(jià)理論所要回答的。雖然前面的資本資產(chǎn)定價(jià)模型已經(jīng)回答了市場(chǎng)均衡狀態(tài)下證券及證券組合的期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，但資本資產(chǎn)

7、定價(jià)模型是在一系列假設(shè)條件下推導(dǎo)出來(lái)的理論模型，它是一個(gè)僅以市場(chǎng)證券組合為參照的描述證券均衡價(jià)格的關(guān)系式，由于它的一些假設(shè)條件太苛刻，因此時(shí)常會(huì)出現(xiàn)理論與現(xiàn)實(shí)不一致的情況。本章所介紹的套利定價(jià)理論是從套利的角度考察證券均衡期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，由于該理論沒(méi)有苛刻的假設(shè)條件，而且與實(shí)際較為吻合，因此它對(duì)均衡價(jià)格的解釋要強(qiáng)于資本資產(chǎn)定價(jià)模型，實(shí)際上資本資產(chǎn)定價(jià)模型是套利定價(jià)理論的一種特殊情形。2 單因子套利定價(jià)模型資本資產(chǎn)定價(jià)模型是一單因素模型，它的缺陷之一是用一個(gè)指定的因素市場(chǎng)證券組合收益率來(lái)解釋各證券的收益率構(gòu)成。盡管在指數(shù)模型的討論中可以將影響證券收益率的因素由一個(gè)擴(kuò)展到多個(gè)，但仍沒(méi)有走出

8、事先人為指定是什么因素以及多少因素對(duì)證券收益率產(chǎn)生影響這一思維模式。顯然，要使解釋證券收益率構(gòu)成的模型包含更多更有用的信息，就需在模型設(shè)定上作一些修改。羅斯（Ross,1976）建立了修正模型，并在此基礎(chǔ)上從套利角度討論了市場(chǎng)均衡狀態(tài)下證券的定價(jià)。與指數(shù)模型類(lèi)似，在套利定價(jià)理論中，我們假定證券的收益受一些共同因子的影響，并且收益率與這些共同因子之間有如下關(guān)系： （4-1）其中：為第種證券的未來(lái)收益率，它為一隨機(jī)變量；為第種證券的期望收益率；為第種證券收益率對(duì)第項(xiàng)共同因子的敏感度，有時(shí)也稱之為風(fēng)險(xiǎn)因子；為對(duì)各證券收益率都有影響的第項(xiàng)共同因子，它的期望值為零。為第種證券收益率中特有的受自身不確定因

9、素影響的隨機(jī)誤差，它的期望值為零，且與各共同因子無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，證券的未來(lái)收益率等于平均收益率（即期望收益率）加上各共同因子對(duì)收益率的影響值，再加上自身特有隨機(jī)因素對(duì)收益率的影響值。需要注意的是，在模型（4-1）式中我們并沒(méi)有指出共同因子是什么以及到底有多少個(gè)共同因子，這是套利定價(jià)理論在模型設(shè)定上與指數(shù)模型的不同之處。為了得到套利定價(jià)模型，我們先從最簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始，即考慮證券收益率只受某一個(gè)共同因子的影響。毫無(wú)疑問(wèn)，更一般更具現(xiàn)實(shí)意義的情形是收益率受多個(gè)共同因子的影響，但為了使分析過(guò)程簡(jiǎn)單明了，在本節(jié)我們首先考慮單因子模型，后面再過(guò)渡到對(duì)多因子模型的討論。如果各證券收益率只受一個(gè)共同因子F的影

10、響，那么由（4-1）式，證券收益率的結(jié)構(gòu)式就為 （4-2）且滿足如下條件： 下面我們考察在模型（4-2）式的設(shè)定條件下，各證券及證券組合的風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成，并進(jìn)一步討論在市場(chǎng)均衡下各證券及證券組合的期收益率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。一、 充分分散投資組合的套利定價(jià)假定某證券組合P由n種證券構(gòu)成，各證券的組合權(quán)數(shù)為，則P的收益率構(gòu)成為：= = （4-3）其中代表投資組合P對(duì)共同因子F的敏感度；為P的非系統(tǒng)收益率。類(lèi)似于利用指數(shù)模型對(duì)證券風(fēng)險(xiǎn)的討論，我們可將證券及證券組合的風(fēng)險(xiǎn)分成由共同因子引起的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與由特殊因素引起的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)兩部分。由（4-2）式，有 其中代表證券系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，代表證券的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，由（4-3）式

11、有 （4-4）其中證券組合P的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)等于：=即為參與組合的各證券非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)和?？梢哉撟C，當(dāng)證券組合包含的證券數(shù)越來(lái)越多且各證券權(quán)重的平方越來(lái)越小時(shí)，（4-4）式中的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)將逐漸趨于零。通過(guò)以上分析可以看出，對(duì)于一個(gè)充分分散的證券組合，它的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)幾乎接近于零，因此，在實(shí)際應(yīng)用中可將忽略不計(jì)，視其為零。又因?yàn)榈钠谕禐榱?，注意到方差為零，因而我們可斷定的?shí)際值就是零?；氐剑?-3）式，就得到作為實(shí)際用途的充分分散證券組合的收益率構(gòu)造： （4-5）且， 將（4-5）式與（4-2）式作一對(duì)比可以看出，單個(gè)證券收益率與共同因子不存在完全的線性關(guān)系（因隨機(jī)誤差項(xiàng)存在），但充分分散證券組合

12、的收益率與共同因子之間具有線性關(guān)系。圖4-1為值都為1的充分分散證券組合P及單個(gè)證券Q的收益率與共同因子的關(guān)系圖P的收益率（%） Q的收益率（%） 10 10 0 0（a） (b)圖4-1在圖（a）中，證券組合P的期望收益率為10%，它代表共同因子為零時(shí)P的收益率，直線的斜率代表證券組合P對(duì)共同因子F的敏感度，直線上的不同點(diǎn)代表了在共同因子處于不同水平時(shí)證券組合P相應(yīng)的收益率，若共同因子為正，則P的收益率超過(guò)期望收益率，反之則低于期望收益率，證券組合P滿足的方程為： 在圖（b）中，單個(gè)證券Q的期望收益率也為10%，值為1，但由于收益率受共同因子與非系統(tǒng)因素的影響，所以其收益率與共同因子F的關(guān)系

13、為圍繞直線分布的散點(diǎn)圖，Q的收益率滿足如下關(guān)系式： 下面再看下圖4-2：虛線代表了另外一個(gè)充分分散證券組合B的收益率與共同因子F的關(guān)系，B的期望收益率為8%，值（虛線的斜率）仍為1. 收益率（%） P B 10 80 F圖4-2我們要問(wèn)充分分散組合P與充分分散組合B能否同時(shí)并存？答案不可能。因?yàn)闊o(wú)論共同因子處于何種水平，證券組合P都優(yōu)于證券組合B，這就是產(chǎn)生了套利機(jī)會(huì)（無(wú)風(fēng)險(xiǎn)）。例如,投資者可賣(mài)空價(jià)值一百萬(wàn)元的B,再買(mǎi)入價(jià)值一百萬(wàn)元的P,構(gòu)造出一個(gè)零投資組合,其收益額為: 1百萬(wàn)=2萬(wàn)元注意,投資者沒(méi)有使用自己的任何本金,就獲得了2萬(wàn)元的收益,并且由于實(shí)行等額賣(mài)空與買(mǎi)入,該零投資組合的值就為零

14、(=0),因此系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)全部消除,同時(shí),由于證券組合P與B都是充分分散組合,非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)也全部消除,所以該零投資組合實(shí)際上沒(méi)有任何風(fēng)險(xiǎn),如果真正存在這種套利機(jī)會(huì),那么投資者要想獲取多少收益就能得到多少,事實(shí)上,這是不可能的,即使這種機(jī)會(huì)出現(xiàn),也不會(huì)保持長(zhǎng)久,正如前面分析的那樣,套利者的套利行為將引起市場(chǎng)上對(duì)P與B的供需量發(fā)生變化,從而最終消除此二證券組合在價(jià)格上的差異.換句話說(shuō),在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下,相同的證券組合必須有相同的期望收益率,否則無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)就將存在.上面我們分析了在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，具有同值的充分分散證券組合應(yīng)具有相同的期望收益率，那么對(duì)于不同值的充分分散證券組合，它們的期望收益率與其值

15、之間存在什么關(guān)系呢？為了回答這一問(wèn)題看下圖4-3：期望收益率（%） 10 P 7 D 6 C 0.5 1 圖4-3 假設(shè)某充分分散證券組合C的系數(shù)為0.5,期望收益率為=0.06,C位于由與P的連接線的下方,也就是說(shuō),C提供的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低于P的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率.如果以二分之一權(quán)重的P及二分之一權(quán)重的構(gòu)成一新的投資組合D,那么D的值為:D的期望收益率等于:這樣證券組合D與C有相同的值，但D的期望收益率高于C，由前面的分析知，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)將存在。因此，在市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，所有充分分散證券組合必位于始于的同一條直線上，這條直線的方程為： （4-6）其中斜率代表了單位風(fēng)險(xiǎn)的報(bào)酬，有時(shí)也稱它

16、為風(fēng)險(xiǎn)因子的價(jià)格。（4-6）式就是關(guān)于充分分散證券組合的套利定價(jià)模型，它描述了在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，任意充分分散證券組合收益率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。二、 單個(gè)證券的套利定價(jià)我們已知知道，如果利用充分分散證券組合進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)不存在時(shí)，每一充分分散證券組合的超額期望收益率與它的值之間一定成常定比例，即對(duì)任意二充分分散證券組合P與T，總有如下式子成立： （4-7）換句話說(shuō)，處于市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的任何充分分散證券組合都具有相同的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率（或單位風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格）. 接下來(lái)的問(wèn)題是，充分分散證券組合所滿足的（4-6）或（4-7）式是否對(duì)參與組合的各個(gè)單個(gè)證券也成立。如果成立，則說(shuō)明在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，無(wú)論是證券組合還是單個(gè)

17、證券，只有它們的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)能得到收益補(bǔ)償，而且系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償率是相同的。為了導(dǎo)出單個(gè)證券的期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)（）的關(guān)系，我們假定各個(gè)證券的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率不相等，即期望收益率與之間呈線性關(guān)系，比如像如下圖4-4中曲線的情形。 下面我們通過(guò)兩個(gè)步驟來(lái)分析說(shuō)明關(guān)系是不可能成立的。 E（r） D C F E B E（rz） A E（rz） 圖4-4 首先，我們選擇一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率高而另一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低的一對(duì)證券進(jìn)行組合，通過(guò)賣(mài)空補(bǔ)償率低的證券并投資補(bǔ)償率高的證券，可以構(gòu)造一個(gè)零值的證券。比如，對(duì)圖中的證券C賣(mài)空，并投資于證券A，在條件 之下就可形成一零投資組合Z，Z的期望收益率為：投資組合Z沒(méi)有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，但需要

18、非零的投資額，并且有非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。與此類(lèi)推，我們可以通過(guò)賣(mài)空D、C而投資于A、B，在條件之下，就能形成期望收益率仍為E（rz）的另一零投資組合，但與前面的零投資組合相比，參與組合的證券為四種，即分散化進(jìn)了一步。如此下去，如果我們賣(mài)空足夠多種風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低的證券而投資于相同數(shù)目的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率高的證券，則形成的零投資組合幾乎沒(méi)有非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)（充分分散的結(jié)果）。這樣，我們就構(gòu)造了一個(gè)期望收益率為E（rz），但無(wú)任何風(fēng)險(xiǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，不過(guò)，該投資組合需要非零的投資額。同樣，我們也可構(gòu)造一個(gè)期望收益率為E（），既無(wú)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)也無(wú)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的另一個(gè)投資組合（如圖），它也需非零的投資額。至此，我們已構(gòu)造了兩個(gè)

19、無(wú)任何風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，而它們的期望收益率卻不同，很明顯，這一情形的出現(xiàn)已產(chǎn)生了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，我們只需賣(mài)空一定量的具有低期望收益率的投資組合Z，同時(shí)用所得的資金投資于高期望收益率的投資組合，就可獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的差額利潤(rùn)。這一套利機(jī)會(huì)對(duì)所有投資者都是有利的，因此，每一投資者都會(huì)試圖利用這一套利機(jī)會(huì)。隨著套利者的不斷賣(mài)空與購(gòu)入，像D、C、F那樣風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低的證券其價(jià)格將隨著供給增加而下降，從而期望收益率上升，而類(lèi)似于A、B、E這樣風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率高的證券，由于需求增加，其價(jià)格將上升，從而期望收益率下降，最終，市場(chǎng)將調(diào)節(jié)到“幾乎所有”證券的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率一致的狀態(tài)，使套利機(jī)會(huì)消失，因此，在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，單個(gè)證券

20、滿足如下關(guān)系式： （k為定常數(shù)） （4-8）或 （4-9）這就是市場(chǎng)均衡狀態(tài)下單個(gè)證券的套利定價(jià)模型。它描述了單個(gè)證券均衡期望收益率與值之間的關(guān)系。最后，我們考察市場(chǎng)均衡下充分分散證券組合所滿足的（4-6）式與單個(gè)證券所滿足的（4-9）式是否一致，假設(shè)充分分散證券組合P由權(quán)重為的各證券組合組成，利用（4-9）式，有 將它與（4-6）式進(jìn)行對(duì)比，可得到k=,這說(shuō)明在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，無(wú)論是單個(gè)證券還是證券組合，它們的期望收益率與值之間有相同的線性關(guān)系： （4-10）這就是單因子套利定價(jià)模型。它的經(jīng)濟(jì)意義為：任何一種證券（或證券組合）的期望收益率由兩部分構(gòu)成，一部分為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；另一部分為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

21、，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)等于證券（或證券組合）對(duì)共同因子的敏感度（風(fēng)險(xiǎn)值）與單位風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的乘積。 3 多因子套利定價(jià)模型在單因子套利定價(jià)理論中，我們假定各證券收益率只受一個(gè)共同因子的影響，很明顯，這種假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單，與現(xiàn)實(shí)不一定相符。更一般的情形是各證券收益率受多個(gè)共同因子的影響。下面我們考察證券收益率由多因子模型產(chǎn)生時(shí)，證券的套利定價(jià)模型。假設(shè)各證券收益率受兩個(gè)共同因子的影響（如果共同因子多于兩個(gè)，可類(lèi)似推廣），那么證券收益率的分解式為： （4-11）與討論單因子套利定價(jià)模型一樣，我們分別考察充分分散證券組合與單個(gè)證券的套利定價(jià)模型。一.充分分散投資組合的雙因子套利定價(jià)模型對(duì)于由n種證券構(gòu)成的證券組合P，如

22、果各證券的組合權(quán)數(shù)為 ，那么P的收益率就為： = （4-12）P的總風(fēng)險(xiǎn)（方差）為： = （4-13）其中、分別為共同因子、的方差，代表證券組合P非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，前兩項(xiàng)之和為兩個(gè)共同因子變化的不確定性所帶來(lái)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)證券組合P充分分散時(shí)，P的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)幾乎為零。這樣，充分分散證券組合P的收益率構(gòu)成如下：=并且P的總風(fēng)險(xiǎn)就幾乎全部是系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)： 下面我們考察當(dāng)資本市場(chǎng)處于均衡而不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，充分分散證券組合的期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間存在什么關(guān)系。首先，具有相同值的充分分散證券組合，應(yīng)有相同的期望收益率。因?yàn)?，如果存在兩個(gè)充分分散證券組合P和Q，它們的相同：= =而期望收益率與不相同，那么通過(guò)

23、賣(mài)空一定數(shù)額的低期望收益率的證券組合而同時(shí)購(gòu)入相等價(jià)值的高期望收益率的證券組合，就可形成一個(gè)零投資組合，該零投資組合的值為零，從而系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)為零，這樣，投資者無(wú)需任何資本就可獲得沒(méi)有任何風(fēng)險(xiǎn)的套利收入。面對(duì)這種套利機(jī)會(huì)，人人都會(huì)利用它去謀取巨額收益，大量的買(mǎi)、賣(mài)最終迫使證券組合P與Q的期望收益率趨于一致。其次，充分分散證券組合的期望收益率與其值之間存在線性關(guān)系，即 = （4-14）換句話說(shuō)，所有充分分散證券組合必位于同一張二維平面上。如圖(4-5) 2 B D W A 1圖4-5為了說(shuō)明這一結(jié)論的正確性，我們先引入“純因子”組合的概念，所謂“純因子”組合，是指對(duì)某個(gè)共同因子的敏感度為1，而對(duì)其它

24、共同因子的敏感度為零的充分分散證券組合。構(gòu)造純因子組合是能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榭晒┻x擇的證券眾多而共同因子的個(gè)數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)少得多。比如，在兩因子模型的情況下，可以通過(guò)求解如下方程（n足夠大）：得到解 。以為權(quán)重構(gòu)成一充分分散投資組合A，則A對(duì)共同因子的敏感度，而對(duì)共同因子的敏感度，從而A就是一個(gè)“純因子”的充分分散組合，它位于如圖(4-5)中的A點(diǎn)，使用同樣的方法，可以構(gòu)造一個(gè)“純因子”的充分分散組合B（），它位于如圖(4-5)中B點(diǎn)?，F(xiàn)在假設(shè)有一充分分散證券組合W,它不在位于圖(4-5)的平面上而位于其下方,W的風(fēng)險(xiǎn)因子(即關(guān)于共同因子的敏感度)分別為與,期望收益率為.下面我們分析說(shuō)明這種情況在市場(chǎng)均

25、衡狀態(tài)下是不可能的.利用前面所構(gòu)造的”純因子”組合A與B,我們可以構(gòu)造出一個(gè)與W有相同風(fēng)險(xiǎn)因子但期望收益率大于的證券組合,以權(quán)重為的資金投資于證券組合A,權(quán)重的資金投資于證券組合B,權(quán)重為的資金投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),構(gòu)成一投資組合D,則D的風(fēng)險(xiǎn)因子等于參與組合的A,B, 的風(fēng)險(xiǎn)因子的加權(quán)平均: =由于=1, =0, =0因此有 =同理可得 =這樣,投資組合D與W就具有相同的風(fēng)險(xiǎn)因子,但D的期望收益率為: =從而D位于圖(4-5)的平面上,由于D的期望收益率大于W,這樣就產(chǎn)生了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì),與市場(chǎng)均衡不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)相矛盾,所以充分分散證券組合W必位于平面上.由此可見(jiàn),在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下,任意分

26、散證券組合的期望收益率與值必存在線性關(guān)系(4-14),(4-14)式就是在兩因子模型成立的情況下,充分分散證券組合的套利定價(jià)模型.它表明,任何分散證券組合的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬是風(fēng)險(xiǎn)因子的線性函數(shù), 值越大,風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬就越高,而,分別代表了兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子,的單位價(jià)格.二.單個(gè)證券的雙因子套利定價(jià)模型假設(shè)在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下各單個(gè)證券期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)因子之間是非線性的,眾多證券分布在如圖(4-6)的曲面上,那么通過(guò)賣(mài)空像H這樣的證券,并用所得資金與自有資金一起投資于像G這樣的證券,只要賣(mài)空H的數(shù)量選擇恰當(dāng),就可構(gòu)造出對(duì)兩個(gè)共同因子的敏感度都為零的證券組合Z(即零證券組合),它的期望收益率為.由于的兩個(gè)值都是零,因此

27、沒(méi)有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn).但存在非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),而且需要非零的投資額.如果我們選擇許多對(duì)像G,H這樣的證券,采用上述處理方法,就可以構(gòu)造出充分分散的證券組合,使對(duì)兩個(gè)共同因子的敏感度都為零.這樣, 既無(wú)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)由于已充分分散而消除了非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn).但仍需非零的投資額.使用相同的方法,通過(guò)賣(mài)空像F,購(gòu)入像E這樣的足夠多的證券,可以構(gòu)造出對(duì)兩個(gè)共同因子的敏感度都為零的充分分散投資組合Z,Z的期望收益率為如圖(4-6),而且既無(wú)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),也沒(méi)有非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),當(dāng)然,Z仍需非零的投資額. H G E(rZ) F E E(rZ) 2 1 圖4-6對(duì)比證券組合Z和可以看出,這種情況已產(chǎn)生了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì),投資者只需賣(mài)空Z(yǔ)并

28、用所得資金購(gòu)入,無(wú)需任何本金,就可獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)差價(jià)收益.顯然,這種套利機(jī)會(huì)造成了價(jià)格壓力,套利者的賣(mài)空與購(gòu)入使證券量供需失衡,市場(chǎng)將對(duì)證券價(jià)格作出調(diào)整,最終使套利機(jī)會(huì)消失,圖(4-6)的曲面將變成如圖(4-5)中的平面.”幾乎所有”的證券將位于該平面上,即證券的期望收益率與其值之間將保持線性關(guān)系,用數(shù)學(xué)式表示就是: (4-15)這就是兩因子模型成立的情況下,單個(gè)證券的套利定價(jià)模型,它與分散組合所滿足的套利定價(jià)模型(4-14)完全一致.也就是說(shuō),當(dāng)市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí),所有的證券及證券組合都以相同的方式進(jìn)行定價(jià),它們期望收益率的高低取決于風(fēng)險(xiǎn)因子的大小和風(fēng)險(xiǎn)因子的價(jià)格.如果影響證券收益率的共同因子不

29、止兩個(gè),采用相同的分析方法,可以得出與兩因素完全類(lèi)似的均衡定價(jià)模型,具體形式如下: (4-16)這就是一般情形的套利定價(jià)模型.其中代表證券或證券組合的n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子的值,而則為各風(fēng)險(xiǎn)因子的價(jià)格.4 APT與CAPM和比較 一. APT與CAPM的區(qū)別套利定價(jià)模型APT與資本資產(chǎn)定價(jià)模型CAPM所描述的都是市場(chǎng)均衡狀態(tài)下資產(chǎn)期望收益率與其風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系,即如何確定資產(chǎn)均衡價(jià)格,但這兩個(gè)模型并不相同,它們的區(qū)別體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面:1. 模型的假定條件不同APT假定證券收益率的產(chǎn)生同某些共同因子有關(guān),但這些共同因子到底是什么以及有多少個(gè),模型并沒(méi)有事先人為地加以指定,而CAPM事先假定證券收益率同市場(chǎng)

30、證券組合的收益率有關(guān).此外,CAPM(無(wú)論是簡(jiǎn)化的CAPM還是擴(kuò)展的CAPM)的一個(gè)基本假定是投資者都以期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差作為分析基礎(chǔ),并按照收益-風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則選擇投資方案,而APT無(wú)此假定.2. 建立模型的出發(fā)點(diǎn)不同APT考察的是當(dāng)市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利而達(dá)到均衡時(shí),資產(chǎn)如何均衡定價(jià),而CAPM考察的是當(dāng)所有投資者都以相似的方法投資,市場(chǎng)最終調(diào)節(jié)到均衡時(shí),資產(chǎn)如何定價(jià).3. 描述形成均衡狀態(tài)的機(jī)理不同當(dāng)市場(chǎng)面臨證券定價(jià)不合理而產(chǎn)生價(jià)格壓力時(shí),按照APT的思想,即使是少數(shù)幾個(gè)投資者的套利行為也會(huì)使市場(chǎng)盡快地重新恢復(fù)均衡;而按CAPM的思想,所有投資者都將改變其投資策略,調(diào)整他們選擇的投資組合,他們共

31、同行為的結(jié)果才促使市場(chǎng)重新回到均衡狀態(tài).4. 定價(jià)范圍及精度不同CAPM是從它的假定條件經(jīng)邏輯推理得到的,它提供了關(guān)于所有證券及證券組合的期望收益率-風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的明確描述,只要模型條件滿足,以此確定的任何證券或證券組合的均衡價(jià)格都是準(zhǔn)確的;而APT是從不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的角度推出的,由于市場(chǎng)中有可能存在少數(shù)證券定價(jià)不合理而整個(gè)市場(chǎng)處于均衡之中(證券數(shù)少到不足以產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利),所以APT提供的均衡定價(jià)關(guān)系有可能對(duì)少數(shù)證券不成立.換言之,在滿足APT的條件的情況下,用APT的證券或證券組合確定均衡價(jià)格,對(duì)少數(shù)證券的定價(jià)可能出現(xiàn)偏差.二. APT與CAPM結(jié)合盡管APT與CAPM存在上述差別,但并不能

32、說(shuō)明這兩種模型是相互矛盾的.事實(shí)上,有可能出現(xiàn)這種情況,收益率由因子模型產(chǎn)生,而同時(shí)APT的其它假定條件及CAPM的假定條件都成立,此時(shí),APT與CAPM是相通的. 例如,如果影響證券收益率的因子只有一個(gè),而且是市場(chǎng)證券組合的收益率,即證券收益率構(gòu)成如下:其中 那么由此推出的APT模型的均衡關(guān)系式為: 對(duì)于市場(chǎng)組合M來(lái)講,上式也成立,注意=1,從而 所以 這樣就有 這與CAPM所描述的均衡期望收益率關(guān)系是完全一致的。所以說(shuō)，從某種意義上講，是的一個(gè)特例。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，上述一致性并不是偶然的個(gè)別現(xiàn)象，即使對(duì)于比較復(fù)雜的收益率產(chǎn)生過(guò)程，由此推導(dǎo)的模型所描述的資本市場(chǎng)均衡關(guān)系與所描述的均衡關(guān)

33、系也是相通的。例如，假設(shè)收益率產(chǎn)生于一個(gè)兩因子模型，即其中，為兩種共同因子，分別是證券對(duì)兩種共同因子的敏感度。下面我們分析說(shuō)明：在的假定條件與的假定條件都成立的情況下，與是相通的。根據(jù)假定的收益率生成過(guò)程可推出模型為： 假設(shè)充分分散組合，分別是“純因子”組合與“純因子”組合，則由于， 從而有 由有： 而由有： 所以有： 代入中有： 根據(jù)中的定義，有： 而同理所以從而這恰好是，說(shuō)明與相通三的檢驗(yàn)檢驗(yàn)過(guò)程中的難點(diǎn)如前所述，如果我們用多因子模型來(lái)解釋證券收益率的形成過(guò)程，即： 那么，由此得到的模型是： 在這兩個(gè)關(guān)系中，變量，和顯得尤為重要根據(jù)收益率形成過(guò)程的計(jì)算公式，每個(gè)證券對(duì)每一個(gè)都有一個(gè)敏感度，

34、但對(duì)于全部證券而言，只存在一個(gè)的取值，任意一個(gè)都將對(duì)一個(gè)以上的證券的收益率產(chǎn)生直接的影響，否則，如果它只對(duì)某個(gè)證券的收益率產(chǎn)生影響的話，就應(yīng)該被列入到該證券的非系統(tǒng)收益率之中，這些在多指數(shù)模型中，被稱為指數(shù)，但對(duì)于所需要的收益率生成公式來(lái)說(shuō)，則被稱為共同因子。在多指模型中，這些指數(shù)都是在事先就被定義好的，每一個(gè)指數(shù)都具有特定的意義，表示特定的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。對(duì)于APT中收益率生成過(guò)程的計(jì)算公式來(lái)說(shuō)，各個(gè)因子在事先都是不確知的，沒(méi)有特定的意義。投資者所知的只是這些因子都對(duì)一個(gè)以上的證券的收益率產(chǎn)生影響，因而它們是證券之間協(xié)方差的根源。所有的都是與某個(gè)證券i相對(duì)應(yīng)的，也就是說(shuō)，是該證券所持有的。在多指數(shù)模型中，它們表示證券對(duì)某個(gè)特定指數(shù)的反應(yīng)靈敏度，也可以看成是證券風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度。但在APT收益率生成過(guò)程的計(jì)算公式中，它們僅僅表示該證券所具有的某種特性，這種特性也許是對(duì)某一特殊要素的敏感度，也許是諸如股息支付等屬于證券自身的東西。因此，可以看成是證券