一級倒立擺的建模與控制分析73653

1、 研究生現(xiàn)代控制理論及其應(yīng)用課程小論文一級倒立擺的建模與控制分析 學(xué)院： 機(jī)械工程學(xué)院 班級： 機(jī)研131 姓名： 尹潤豐學(xué)號： 201321202016 2014年6月2日目錄1. 問題描述及狀態(tài)空間表達(dá)式建立- 1 -1.1問題描述- 1 -1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立- 1 -直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型- 1 -1.2.2 直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程- 5 -2.應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)性能- 6 -2.1直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析- 6 -2.2 系統(tǒng)可控性分析- 7 -2.3 系統(tǒng)可觀測性分析- 8 -3. 應(yīng)用matlab進(jìn)行綜合設(shè)計- 9 -3.1狀態(tài)反饋原理- 9 -3.2

2、全維狀態(tài)反饋觀測器和simulink仿真- 9 -4.應(yīng)用Matlab進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計- 11 -5.總結(jié)- 13 -1. 問題描述及狀態(tài)空間表達(dá)式建立1.1問題描述 倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計算機(jī)控制等多個領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個典型的控制對象對其進(jìn)行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，為自動控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個良好的實(shí)驗(yàn)平臺，以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。下對于倒立擺系統(tǒng)，經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，它就

3、是一個典型的運(yùn)動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。下面采用其中的牛頓歐拉方法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型 圖1.1 直線一級倒立擺系統(tǒng) 本文中倒立擺系統(tǒng)描述中涉及的符號、物理意義及相關(guān)數(shù)值如表1.1所示。 圖1.2是系統(tǒng)中小車的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖1.2 系統(tǒng)中小車的受力分析圖圖1.3是系統(tǒng)中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力, Fh是擺桿受到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向夾角為的干擾力Fg。圖1.3 擺桿受力分析圖 分析小車水平方

4、向所受的合力，可以得到以下方程： 設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為 的干擾力Fg，可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力FS、垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力矩。 對擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 即： 對圖1.3擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 即 力矩平衡方程如下： 代入P和N，得到方程： 設(shè)，（是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入上式。假設(shè)<<1，則可進(jìn)行近似處理： 由于：方程化為： 令：，則可化為： 即是化簡后的直線一級倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入實(shí)際數(shù)據(jù)后，微分方程為： 當(dāng)忽略了Ff時，系統(tǒng)的微分方程如式

5、（1-12）所示 忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的4個狀態(tài)量分別是小車的位移x、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度。系統(tǒng)輸出的觀測量為小車的位移x、擺桿的角度。其控制量為小車的加速度將微分方程（1-12）化為關(guān)于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數(shù)： 1.2.2 直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程 實(shí)驗(yàn)所使用的直線一級倒立擺系系統(tǒng)是加速度作為系統(tǒng)的控制輸入，所以根據(jù)式（1-12）建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程： 將實(shí)際參數(shù)代入得到一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 2.應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)性

6、能2.1直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析構(gòu)建如圖1.4所示閉環(huán)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為（-5.1381）、（5.1381） :圖1.4 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由于有實(shí)部為正的極點(diǎn)，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須設(shè)計控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定?？梢酝ㄟ^MATLAB Simulink中對其進(jìn)行仿真，判斷其穩(wěn)定性。構(gòu)建圖1.4所示系統(tǒng)的仿真程序e1，加入1m/s2的階躍信號由上圖也能清楚的知道一級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.2 系統(tǒng)可控性分析 系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：，其中n為系統(tǒng)矩陣A的階次，為系統(tǒng)的可控性矩陣。matlab程序及運(yùn)行結(jié)果如下：>> A

7、=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> T=ctrb(A,B);>> rank(T)ans = 4由于rank（Ic）=4，可見該系統(tǒng)是完全可控的。2.3 系統(tǒng)可觀測性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：或其中n為系數(shù)矩陣A的階次。matlab程序及運(yùn)行結(jié)果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> C=1 0 0 0;0 0 1 0;>> T0=obsv(A,C

8、);rank(T0)ans = 4由于rank（T0）=4，故該系統(tǒng)是可觀測的。 3. 應(yīng)用matlab進(jìn)行綜合設(shè)計3.1狀態(tài)反饋原理設(shè)維線性定常系統(tǒng)： 其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A、B、C分別是n*n維，n*p維，n*q維實(shí)數(shù)矩陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)x的線性函數(shù)：其中，v為p參考輸入向量，K為p*n維實(shí)反饋增益矩陣。 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.1所示：圖3.1 系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖 則系統(tǒng)狀態(tài)反饋的動態(tài)方程為： 3.2全維狀態(tài)反饋觀測器和simulink仿真狀態(tài)反饋的的實(shí)現(xiàn)是利用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于所希望的極點(diǎn)位置。而狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充

9、分必要條件是被控系統(tǒng)可控。直線一級倒立擺系統(tǒng)是可控的。 設(shè)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為=，則系統(tǒng)期望特征多項式為： 列寫狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項式： 令兩個特征多項式各項系數(shù)對應(yīng)相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態(tài)反饋矩陣K，編程如下： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K = -5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系統(tǒng)加入0.1m/s2的階躍輸入，在構(gòu)成的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器控制下，MATLAB中進(jìn)行系統(tǒng)的階躍響應(yīng)仿真，編程如下：A

10、=0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0;B1=0 1 0 3;C=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1;D1=0 0 0 0'dt=0.005;ieof=801;for i=1:ieof; U(:,i)=0.1; T(i)=i*dt;end; %離散化op=-2 %期望極點(diǎn) -3 -4+3i -4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0 0 0 0'dt=0.005;%離散時dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);%

11、經(jīng)離散化得到離散狀態(tài)方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');圖3.2 極點(diǎn)配置為-2 -3 -4+3i -4-3i時的全狀態(tài)反饋仿真圖 橫軸時間單位秒，從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定。4.應(yīng)用Matlab進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計最優(yōu)控制問題就是尋找一個控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。對于線

12、性連續(xù)系統(tǒng)，提出二次型目標(biāo)函數(shù)： 其中，R(t)正定，S及Q（t)半正定，且設(shè)它們?yōu)閷ΨQ矩陣，固定。當(dāng)趨近無窮時，在情況下，該問題即為無限時間輸出調(diào)節(jié)器問題。此時穩(wěn)態(tài)誤差項趨于零，在此題目中假設(shè)二次型最優(yōu)控制性能指標(biāo)為：其中： R=1Matlab編程如下： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;D=0 0 0 0;Q=500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10;R=1;>> K,P,e=lqr(A,B,Q,R)K = -22.3607 -17.4697 70.1041 13.2462在simulink下進(jìn)行仿真模型的建立，如圖4.1：圖4.1 LQR仿真模型將K輸入后，進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4.2：圖4.2 LQR仿真結(jié)果由圖可見，在二次型最優(yōu)控制下系統(tǒng)穩(wěn)定性得到明顯改善。5.總結(jié) 通過對一級倒立擺的分析可知，在開環(huán)情況下，倒立擺的平衡系統(tǒng)是不穩(wěn)定的的；通過秩判據(jù)可知，其系統(tǒng)是可控可觀測的；通過狀態(tài)反饋對極點(diǎn)進(jìn)行配置后，使極點(diǎn)都位于虛軸左側(cè)，則經(jīng)過極點(diǎn)