MATLAB可視化方法和技巧1_3復數(shù)的計算和圖示

1、復數(shù)的計算和圖示表3 MATLAB關(guān)于復數(shù)運算的函數(shù)函數(shù)功能函數(shù)功能函數(shù)功能abs模和絕對值angle相角弧度conj復數(shù)共軛real復數(shù)實部imag復數(shù)虛部范例3_1復數(shù)的加減法設(shè)有兩個復數(shù)z1 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，其中i是虛數(shù)單位。求兩個復數(shù)的和z1 + z2和差z2 z1。解析復數(shù)有三種表示形式(1)代數(shù)式z = x + iy (3_1_1)(2)三角式z = r(cos + isin) (3_1_2)其中r是復數(shù)的模，是復角。代數(shù)式與三角式的換算關(guān)系是， (3_1_3)x = rcos，y = rsin (3_1_4)(3)指數(shù)式z = rei (3_1_5)其中

2、利用了歐拉公式ei = cos + isin (3_1_6)設(shè)有兩個復數(shù)z1 = x1 + iy1，z2 = x2 + iy2 (3_1_7)復數(shù)加法是z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (3_1_8)復數(shù)減法是z= z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2) (3_1_9)程序P3_1plus.m如下。%復數(shù)的加減法clear %清除變量z1=1+2i; %第1個復數(shù)(1)x1=real(z1); %取第1個復數(shù)的實部(2)y1=imag(z1); %取第1個復數(shù)的虛部(2)x2=4; %第2個復數(shù)的實部y2=3; %第2個復數(shù)的虛部

3、z2=x2+i*y2; %形成第2個復數(shù)(3)z=z1+z2; %兩復數(shù)之和(4)x=real(z); %取復數(shù)的實部y=imag(z); %取復數(shù)的虛部figure %創(chuàng)建圖形窗口quiver(0,0,x1,y1,0) %在復平面畫第1個復數(shù)(5)hold on %保持圖像quiver(0,0,x2,y2,0) %畫第2個復數(shù)(5)quiver(0,0,x,y,0) %畫復數(shù)之和(5)plot(x1,x,y1,y,'-') %畫虛線(6)plot(x2,x,y2,y,'g-') %畫虛線(6)axis equal %使坐標刻度相等(7)grid on %加網(wǎng)格

4、r=abs(z); %求模(8)theta=angle(z)*180/pi; %求復角(9)text(0,0,num2str(theta),'FontSize',16) %顯示復角(10)text(x,y,num2str(r),'FontSize',16) %顯示模(10)title('兩復數(shù)之和','FontSize',16) %顯示標題z=z2-z1; %兩復數(shù)之差x=real(z); %取復數(shù)的實部y=imag(z); %取復數(shù)的虛部figure %創(chuàng)建圖形窗口quiver(0,0,x1,y1,0) %在復平面畫第1個復數(shù)(

5、11)hold on %保持圖像quiver(0,0,x2,y2,0) %畫第2個復數(shù)quiver(x1,y1,x,y,0) %畫復數(shù)之差axis equal %使坐標刻度相等grid on %加網(wǎng)格title('兩復數(shù)之差','FontSize',16) %標題說明(1)變量i表示虛數(shù)單位，可用于形成復數(shù)。(2)函數(shù)real和imag取復數(shù)的實部和虛部。(3)如果已知數(shù)據(jù)的實部和虛部，也可形成復數(shù)。(4)求復數(shù)之和時，實部與實部相加，虛部與虛部相加，形成新的復數(shù)。(5)quiver指令畫箭桿，前兩個參數(shù)表示箭桿的起點坐標，后兩個參數(shù)表示箭桿兩個分量的長度，第5

6、個參數(shù)表示按所給數(shù)據(jù)畫箭桿。(6)畫虛線形成平行四邊形，如P3_1a圖所示。(7)坐標間隔應(yīng)該相等。(8)對于復數(shù)(包括實數(shù))，abs函數(shù)求模。(9)angle函數(shù)求復角。(10)text指令顯示文本。(11)求復數(shù)之差時，三個復數(shù)形成三角形。P3_1a圖 P3_1b圖范例3_2復數(shù)的乘除法設(shè)有兩個復數(shù)z1 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，求兩個復數(shù)的積z1z2和商z2/z1。解析復數(shù)乘法為z = z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 - y1y2 + i(x1y2 + x2y1) (3_1_10)用指數(shù)表式為z = r1exp(1)r2exp(2)

7、= r1r2exp(1 + 2) (3_1_11)可見：兩復數(shù)相乘時，其模等于兩個復數(shù)的模的乘積，其復角等于兩個復數(shù)的復角之和。復數(shù)除法為 (3_1_12)用指數(shù)表式為z = r2exp(2)/r1exp(1) = (r2/r1)exp(2 1) (3_1_13)可見：兩復數(shù)相除時，其模等于兩個復數(shù)模的商，其復角等于兩個復數(shù)的復角之差。復數(shù)的乘方用指數(shù)表示為zn = |z|nexp(in) = |z|ncos(n) + isin(n) (3_1_14)程序P3_2times.m如下。%復數(shù)的乘除法clear %清除變量z1=input('請輸入第1個復數(shù)(包括實數(shù)和虛數(shù))z1:'

8、;);%鍵盤輸入第1個復數(shù)(1)z2=input('請輸入第1個復數(shù)(包括實數(shù)和虛數(shù))z2:');%鍵盤輸入第2個復數(shù)(1)x1=real(z1); %取第1個復數(shù)的實部y1=imag(z1); %取第1個復數(shù)的虛部x2=real(z2); %取第2個復數(shù)的實部y2=imag(z2); %取第2個復數(shù)的虛部z=z1*z2; %兩復數(shù)之積x=real(z); %取復數(shù)的實部y=imag(z); %取復數(shù)的虛部figure %創(chuàng)建圖形窗口quiver(0,0,x1,y1,0) %在復平面畫第1個復數(shù)hold on %保持圖像quiver(0,0,x2,y2,0) %畫第2個復數(shù)qu

9、iver(0,0,x,y,0) %畫復數(shù)之和(2)axis equal %使坐標刻度相等grid on %加網(wǎng)格r1=abs(z1); %求第1個復數(shù)的模theta1=angle(z1)*180/pi; %求第1個復數(shù)的復角txt=num2str(r1),',',num2str(theta1); %橫和復角字符串text(x1,y1,txt,'FontSize',16) %顯示模和復角r2=abs(z2); %求第2個復數(shù)的模theta2=angle(z2)*180/pi; %求第2個復數(shù)的復角txt=num2str(r2),',',num2st

10、r(theta2); %模和復角字符串text(x2,y2,txt,'FontSize',16) %顯示模和復角r=abs(z); %求模theta=angle(z)*180/pi; %求復角txt=num2str(r),',',num2str(theta); %模和復角字符串text(x,y,txt,'FontSize',16) %顯示模和復角 z=z2/z1; %兩復數(shù)之商x=real(z); %取復數(shù)的實部y=imag(z); %取復數(shù)的虛部r=abs(z); %求模quiver(0,0,x,y,0) %畫復數(shù)之和theta=angle(z

11、)*180/pi; %求復角txt=num2str(r),',',num2str(theta); %模和復角字符串text(x,y,txt,'FontSize',16) %顯示模和復角title('兩復數(shù)之積和商','FontSize',16) %顯示標題說明(1)兩個復數(shù)都從鍵盤輸入。(2)當兩個復數(shù)分別為1 + 2i和4 + 3i時，結(jié)果如P3_2圖所示。P3_2圖范例3_3復數(shù)的開方求復數(shù)z的開整數(shù)次方。解析復數(shù)開方的公式(棣莫佛公式)為，k = 0，n - 1 (3_1_15)例如，對-8開三次方，由于-8 = 8exp(

12、i) = 8(cos + isin) = 8exp(i)所以，k = 0，1，2當k = 0時，可得第1個根當k = 1時，可得第2個根當k = 2時，可得第3個根第1個根與第第3個根互相共軛。程序P3_3complex.m如下。%復數(shù)的開方clear %清除變量z=input('請輸入復數(shù)(包括實數(shù)和虛數(shù))z:');%鍵盤輸入被開方數(shù)n=input('請輸入被開方的整數(shù)n:'); %鍵盤輸入開方次數(shù)r0=abs(z)(1/n); %開方后的模th0=angle(z)/n; %開方后的主復角k=0:n-1; %整數(shù)向量th=th0+2*pi*k/n; %開方后的

13、復角向量r=r0*exp(i*th); %開方后的向量figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(r0*exp(i*linspace(0,2*pi),'-'); %畫圓(1)axis equal %使坐標間隔相等grid on %加網(wǎng)格hold on %保持圖像plot(r,'r*') %畫點(2)plot(z(1/n),'o') %畫直接開方的點(3)o=zeros(1,n); %全零向量x=real(r); %各點橫坐標y=imag(r); %各點縱坐標plot(o;x,o;y) %畫線(4)fs=16; %字體大小text(x,y,num2str

14、(r.',4),'FontSize',fs) %顯示各點之值(5)xlabel('itx','FontSize',fs) %橫坐標ylabel('ity','FontSize',fs) %縱坐標title('復數(shù)的開方','FontSize',fs) %標題txt='itzrm=',num2str(z); %被開方數(shù)文本txt=txt,',itnrm=',num2str(n); %連接指數(shù)文本txt=txt,',itthetarm_0=',num2str(th0*180/pi),'circ'%連接角度文本txt=txt,',itrrm_0=',num2str(r0); %連接模文本text(0,0,txt,'FontSize',fs) %顯示角度等文本說明(1)利用復數(shù)畫圓。(2)根據(jù)復數(shù)可直接畫出所有根。當z = -8，n = 3時，結(jié)果如P3_3a圖所示。當z = i，n = 2時，結(jié)果如P3_3b圖所示。(3)直接對一個復數(shù)開方，將得出第一個根。(4)利用矩陣畫每個根到圓心的