一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答

1、§2.2 一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式

2、=14 兩邊同乘以 令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于<t<上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 當(dāng)時 即 ,) (2) 當(dāng)時 = = =于是 變量分離得 積分 由于，即t=0時 1=c=1故 20.試證： （1）一階

3、非齊線性方程（2 .28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證明： （2.28） （2.3）（1） 設(shè)，是（2.28）的任意兩個解則 （1） （2）（1）-（2）得 即是滿足方程（2.3）所以，命題成立。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（2.28）的一個解。于是 得故是（2.28）的一個解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設(shè)是(2.28)的一個解則 （4）于是 （4）-（4）得從而 即 所以，命題成立。（3） 設(shè)，是（2.3）的任意兩個解則 （5） （6）于是（5）得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（2.3）（5）（6）得 即 也就是滿足方程（2.3）所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（6） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項；解：設(shè)為曲線上的任一點(diǎn)，則過點(diǎn)曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。（6）方程變形為 于是 所以