專題探究課六

1、.高考導航1.概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立的一塊內容，處理問題的方式、方法表達了較高的思維含量.該類問題以應用題為載體，注重考察學生的應用意識及閱讀理解才能、分類討論與化歸轉化才能；2.概率問題的核心是概率計算，其中事件的互斥、對立是概率計算的核心.統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據的獲得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征.統(tǒng)計與概率內容互相浸透，背景新穎.熱點一統(tǒng)計與統(tǒng)計案例教材VS高考以統(tǒng)計圖表或文字表達的實際問題為載體，通過對相關數(shù)據的統(tǒng)計分析、抽象概括，作出估計、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考察，考察學生的數(shù)據處理才能與運算才能及應用意識.【例1

2、】 2019·全國卷如圖是我國2019年至2019年生活垃圾無害化處理量單位：億噸的折線圖.注：年份代碼17分別對應年份20192019.1由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；2建立y關于t的回歸方程系數(shù)準確到0.01，預測2019年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關系數(shù)r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.解1由折線圖中數(shù)據和附注中參考數(shù)據得4， ti228，0.55.tiyitiyiyi40.174×9.322.89，r0.99.因為y與t的

3、相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.2由1.331及1得0.103，1.3310.103×40.92.所以y關于t的回歸方程為0.920.10t.將2019年對應的t9代入回歸方程得0.920.10×91.82.所以預測2019年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.教材探源1.此題源于教材必修3P90例有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的比照表：攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數(shù)156150132128130116104

4、899376541畫出散點圖；2從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關系的一般規(guī)律；3求回歸方程；4假如某天的氣溫是2 ，預測這天賣出的熱飲杯數(shù).2.1考題以形求數(shù)，教材是由數(shù)到形再到數(shù)；2考題與教材都是“看圖說話，回歸分析預測，但考題中以詳細數(shù)字相關系數(shù)說明擬合效果，突顯數(shù)學直觀性與推理論證的巧妙交融，進一步考察考生的數(shù)據處理才能與運算才能及應用意識，源于教材，高于教材.【訓練1】 2019·全國卷為了監(jiān)控某種零件的一條消費線的消費過程，檢驗員每隔30 min從該消費線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸單位：cm.下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序1234567

5、8零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得xi9.97，s0.212，18.439， xii8.52.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1，2，16.1求xi，ii1，2，16的相關系數(shù)r，并答復是否可以認為這一天消費的零件尺寸不隨消費過程的進展而系統(tǒng)地變大或變小假設|r|<0.25，那么可以認為零件的尺寸不隨消費過程的進展而系統(tǒng)地變大或變小.2一天內抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在3s，3s之外的零件，就認為這條消費線

6、在這一天的消費過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的消費過程進展檢查.從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的消費過程進展檢查？在3s，3s之外的數(shù)據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條消費線當天消費的零件尺寸的均值與標準差準確到0.01.附：樣本xi，yii1，2，n的相關系數(shù)r，0.09.解1由樣本數(shù)據得xi，ii1，2，16的相關系數(shù)r0.18.由于|r|<0.25，因此可以認為這一天消費的零件尺寸不隨消費過程的進展而系統(tǒng)地變大或變小.2由于9.97，s0.212，由樣本數(shù)據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在3s，3s以外.因此需對當天的消費過程進展檢查.剔除離群值，即第13個數(shù)據，剩下數(shù)據

7、的平均數(shù)為16×9.979.2210.02，這條消費線當天消費的零件尺寸的均值的估計值為10.02.x16×0.212216×9.9721 591.134，剔除第13個數(shù)據，剩下數(shù)據的樣本方差為1 591.1349.22215×10.0220.008，這條消費線當天消費的零件尺寸的標準差的估計值為0.09.熱點二實際問題中的概率計算概率應用題側重于古典概型，主要考察隨機事件、等可能事件、互斥事件、對立事件的概率.解決簡單的古典概型試題可用直接法定義法，對于較為復雜的事件的概率，可以利用所求事件的性質將其轉化為互斥事件或其對立事件的概率求解.【例2】 20

8、19·石家莊調研某出租車公司響應國家節(jié)能減排的號召，已陸續(xù)購置了140輛純電動汽車作為運營車輛.目前我國主流純電動汽車按續(xù)航里程數(shù)R單位：千米分為3類，即A類：80R150，B類：150R250，C類：R250.該公司對這140輛車的行駛總里程進展統(tǒng)計，結果如下表：類型A類B類C類已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù)104030已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù)2020201從這140輛汽車中任取一輛，求該車行駛總里程超過10萬千米的概率；2公司為了理解這些車的工作狀況，決定抽取14輛車進展車況分析，按表中描繪的六種情況進展分層抽樣，設從C類車中抽取了n輛車.求n的值；假如從這n輛車

9、中隨機選取兩輛車，求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率.解1從這140輛汽車中任取一輛，那么該車行駛總里程超過10萬千米的概率為P1.2依題意n×145.5輛車中已行駛總里程不超過10萬千米的車有3輛，記為a，b，c；5輛車中已行駛總里程超過10萬千米的車有2輛，記為m，n.“從5輛車中隨機選取兩輛車的所有選法共10種：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“從5輛車中隨機選取兩輛車，恰有一輛車行駛里程超過10萬千米的選法共6種：am，an，bm，bn，cm，cn，那么選取兩輛車中恰有一輛車行駛里程超過10萬千米的概率P2.探究進步1.準確區(qū)分古典概型與幾

10、何概型，其本質區(qū)別在于試驗結果是有限還是無限.2.對于較復雜的古典概型的根本領件空間，最易出現(xiàn)“重和“漏，要防止這類錯誤，首先要正確理解題意，明確一些常見的關鍵詞，如“至多“至少“只有等；其次，要按一定的規(guī)律列舉.【訓練2】 某校為了理解A，B兩班學生寒假期間觀看?中國詩詞大會?的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名學生進展調查，將他們觀看的時長單位：小時作為樣本，繪制成莖葉圖如下圖圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字.1分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據的平均值，并據此估計哪個班的學生平均觀看的時間較長；2從A班的樣本數(shù)據中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據記為a，從B班的樣本數(shù)據中隨機抽取一個不超過21

11、的數(shù)據記為b，求a>b的概率.解1A班樣本數(shù)據的平均值為91114203117.由此估計A班學生平均觀看時間大約為17小時；B班數(shù)據的平均值為111221252619.由此估計B班學生平均觀看時間大約為19小時；那么19>17.由此估計B班學生平均觀看時間較長.2A班的樣本數(shù)據不超過19的數(shù)據a有3個，分別為9，11，14.B班的樣本數(shù)據中不超過21的數(shù)據b也有3個，分別為11，12，21，從A班和B班的樣本數(shù)據中各隨機抽取一個共有9種不同情況，分別為9，11，9，12，9，21，11，11，11，12，11，21，14，11，14，12，14，21，其中a>b的情況有14，

12、11，14，12兩種，故a>b的概率P.熱點三概率與統(tǒng)計的綜合問題標準解答統(tǒng)計和概率知識相結合命制概率統(tǒng)計解答題已經是一個新的命題趨向，概率和統(tǒng)計初步綜合解答題的主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵，在此根底上掌握好樣本數(shù)字特征及各類概率的計算.【例3】 總分值12分2019·豫北名校調研某企業(yè)為理解下屬某部門對本企業(yè)職工的效勞情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖如下圖，其中樣本數(shù)據分組區(qū)間為40，50，50，60，80，90，90，100.1求頻率分布直方圖中a的值；2估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率

13、；3從評分在40，60的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在40，50的概率.總分值解答1因為0.004a0.0180.022×20.028×101，所以a0.006.3分得分點12由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為0.0220.018×100.4.所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.5分得分點23受訪職工中評分在50，60的有：50×0.006×103人，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在40，50的有：50×0.004×102人，記為B1，B2，8分得分點3從

14、這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2.11分得分點4又因為所抽取2人的評分都在40，50的結果有1種，即B1，B2，故所求的概率為P.12分得分點5得步驟分：步驟標準，求解完好，解題步驟常見的失分點，第2問中，不能用頻率估計概率，第3問中步驟不完好，沒有指出“根本領件總數(shù)與“事件M包含的根本領件個數(shù)，或者只指出事件個數(shù)，沒有一一列舉10個根本領件及事件M包含的根本領件，導致扣3分或2分.得關鍵分：如第1問中，正確求得a0.006；第3問中列出10個根本

15、領件，錯寫或多寫，少寫均不得分.得計算分：如第1、2問中，要理清頻率直方圖的意義，計算正確，否那么導致后續(xù)皆錯大量失分，第3問中利用“頻數(shù)、樣本容量、頻率之間的關系求得各區(qū)間的人數(shù)，準確列出根本領件，正確計算概率.第一步：由各矩形的面積之和等于1，求a的值.第二步：由樣本頻率分布估計概率.第三步：設出字母，列出根本領件總數(shù)及所求事件M所包含的根本領件.第四步：利用古典概型概率公式計算.第五步：反思回憶，查看關鍵點，易錯點和答題標準.【訓練3】 2019·江西九校聯(lián)考某校為理解學生對正在進展的一項教學改革的態(tài)度，從500名高一學生和400名高二學生中按分層抽樣的方式抽取了45名學生進展

16、問卷調查，結果可以分成以下三類：支持、反對、無所謂，調查結果統(tǒng)計如下：支持無所謂反對高一年級18x2高二年級106y1求出表中的x，y的值；從反對的同學中隨機選取2人進一步理解情況，求恰好高一、高二各1人的概率；2根據表格統(tǒng)計的數(shù)據，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為持支持態(tài)度與就讀年級有關不支持包括無所謂和反對.高一年級高二年級總計支持不支持總計附：K2，其中nabcd.PK2k00.100.050.01k02.7063.8416.635解1由題意x×5001825，y×4001064.假設高一反對的同學編號為A1，A2，高二反對的同學編號為B

17、1，B2，B3，B4，那么選取兩人的所有結果為A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A2，B4，B1，B2，B1，B3，B1，B4，B2，B3，B2，B4，B3，B4，共15種情況.可得恰好高一、高二各一人包含A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A2，B4共8種情況.所以所求概率P.2如圖2×2列聯(lián)表：高一年級高二年級總計支持181028不支持71017總計252045K2的觀測值為k2.288<2.706，所以沒有90%的把握認為持支持態(tài)度與就讀年級有關.1.2019&#

18、183;安徽江南十校聯(lián)考為了對某校高三1班9月調考成績進展分析，在全班同學中隨機抽出5位，他們的數(shù)學分數(shù)、物理分數(shù)、化學分數(shù)均已折算為百分制對應如下表：學生編號12345數(shù)學分數(shù)x7580859095物理分數(shù)y7377808788化學分數(shù)z78858789911求這5位同學數(shù)學和物理分數(shù)都不小于85分的概率；2從散點圖分析，y與x，x與z之間都有較好的線性相關關系，分別求y與x，z與x的線性回歸方程，并用相關指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果.參考數(shù)據：85，81，86， xiyi200，xi2250， xizi150.解1這5位同學中數(shù)學和物理分數(shù)都不小于85分，共有2人，故概率為P.2設y與x

19、，z與x的線性回歸方程分別是x，x，根據所得數(shù)據，可以計算出0.8.810.8×8513，0.6，860.6×8535，0.8x13，0.6x35.yii202021222126，yi28242126272166；zii2222212021210，zi28212123252100.又y與x，z與x的相關指數(shù)分別是R210.964，R210.90，故回歸模型0.8x13比回歸模型0.6x35的擬合效果好.2.2019·貴陽調研微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字，一經推出便風行全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內銷售商品的人被稱

20、為微商.為了調查每天微信譽戶使用微信的時間，某經銷化裝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性使用微信的時間分成5組：0，2，2，4，4，6，6，8，8，10分別加以統(tǒng)計，得到如下圖的頻率分布直方圖.1根據女性頻率分布直方圖估計女性使用微信的平均時間；2假設每天玩微信超過4小時的用戶列為“微信控，否那么稱其為“非微信控，請你根據條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“微信控與“性別有關？解1女性平均使用微信的時間為：0.16×10.24×30.28×50.2×70.12×94.76小時.2由得：20.

21、04a0.142×0.121，解得a0.08.由題設條件得列聯(lián)表微信控非微信控總計男性381250女性302050總計6832100K2的觀測值為k2.941>2.706.所以有90%的把握認為“微信控與“性別有關.3.2019·北京東城區(qū)質檢某單位附近只有甲、乙兩個臨時停車場，它們各有50個車位，為了方便市民停車，某互聯(lián)網停車公司對這兩個停車場在某些固定時刻的剩余停車位進展記錄，如下表： 時間停車場8時10時12時14時16時18時甲停車場1031261217乙停車場13432619假如表中某一時刻剩余停車位數(shù)低于該停車場總車位數(shù)的10%，那么當車主驅車抵達單位附近

22、時，該公司將會向車主發(fā)出停車場飽和警報.1假設某車主在以上六個時刻抵達單位附近的可能性一樣，求他收到甲停車場飽和警報的概率；2從這六個時刻中任選一個時刻，求甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少的概率；3當乙停車場發(fā)出飽和警報時，求甲停車場也發(fā)出飽和警報的概率.解1事件“該車主收到甲停車場飽和警報只有10時這一種情況，該車主抵達單位的時刻共有六種情況，所以該車主收到甲停車場飽和警報的概率為P.2事件 “甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少有8時、10時、18時三種情況，一共有六個時刻，所以甲停車場比乙停車場剩余車位數(shù)少的概率為P.3事件“乙停車場發(fā)出飽和警報有10時、12時、14時三種情況，事件“甲停車場也

23、發(fā)出飽和警報只有10時一種情況，所以當乙停車場發(fā)出飽和警報時，甲停車場也發(fā)出飽和警報的概率為P.4.2019·全國卷某公司方案購置1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購置這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，假如備件缺乏再購置，那么每個500元.現(xiàn)需決策在購置機器時應同時購置幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購置易損零件上所需的費用單位：元，n表示購機的同時購置的易損零件數(shù).1假設n19，求y與x的函數(shù)解析式；

24、2假設要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n的頻率不小于0.5，求n的最小值；3假設這100臺機器在購機的同時每臺都購置19個易損零件，或每臺都購置20個易損零件，分別計算這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策根據，購置1臺機器的同時應購置19個還是20個易損零件？解1當x19時，y3 800；當x>19時，y3 800500x19500x5 700.所以y與x的函數(shù)解析式為yxN.2由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.3假設每臺機器在購機同時都購置19個易損零件，那么這100臺機器中有70臺在購置易損零件上

25、的費用為3 800，20臺的費用為4 300，10臺的費用為4 800，因此這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數(shù)為3 800×704 300×204 800×104 000，假設每臺機器在購機同時都購置20個易損零件，那么這100臺機器中有90臺在購置易損零件上的費用為4 000，10臺的費用為4 500，因此這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數(shù)為4 000×904 500×104 050.比較兩個平均數(shù)可知，購置1臺機器的同時應購置19個易損零件.5.向量a2，1，bx，y.1假設x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子六個面的點數(shù)分別為1，2，