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1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一 導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 1. 導(dǎo)數(shù)的晚概念及幾何意義(1)導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量,函數(shù)就有相應(yīng)的增量,若當(dāng)時(shí),極限存在,則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱(chēng)此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記為或.如果極限不存在,則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)概念是高等數(shù)學(xué)一個(gè)重要的基本概念,應(yīng)深刻理解它的定義形式及實(shí)際背景.應(yīng)注意以下兩點(diǎn):·導(dǎo)數(shù)的另一種表達(dá)形式為.· 對(duì)于固定的,要搞清與的差別.前者表示在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的值,而后者表示對(duì)常數(shù)求導(dǎo)數(shù),因此.(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率,即,其中是在處切線(xiàn)的傾斜角
2、,如圖2.1所示. 圖2.1如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),而導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大,即,則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直于軸.如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為:,法線(xiàn)方程為 (3)左、右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是:在處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在且相等,即.注意·可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo),那么函數(shù)必在處連續(xù),反之,若函數(shù)在處連續(xù),該函數(shù)在處未必可導(dǎo).如函數(shù)在處連續(xù)但不可導(dǎo),即函數(shù)在處可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件,而連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件.由此可知,若在處不連續(xù),則在處必不可導(dǎo).·分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在處可導(dǎo)的充要條件是在處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在并相等,因此要求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處
3、的導(dǎo)數(shù),首先要求出該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),如果都存在并相等,那么函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo),且;如果在處的左、右導(dǎo)數(shù)有一個(gè)不存在或者左、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等,那么函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo).2. 求導(dǎo)數(shù)的方法(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (為常數(shù)); (為任意實(shí)數(shù)); ; ; ; ; ; ;.(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則若均為可導(dǎo)函數(shù),則有:; (為常數(shù));.(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且或簡(jiǎn)記為.注意· 對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí),先要搞清函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,把函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算,然后按照復(fù)合次序由外向里,一層層地求導(dǎo),直到對(duì)自變量求導(dǎo),千萬(wàn)不
4、要漏導(dǎo).(4)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)的特點(diǎn)是變量與的函數(shù)關(guān)系是隱藏在方程中的,當(dāng)一個(gè)隱函數(shù)顯化比較困難或不能顯化時(shí),可用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)求導(dǎo).設(shè)函數(shù)是由方程確定的可導(dǎo)函數(shù),則其導(dǎo)數(shù)可以由方程求得,具體求法可分兩步:第一步:將方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo),視為中間變量,得到一個(gè)關(guān)于的一次方程;第二步:解方程,求出.例如:求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得,即 ,故 . 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法設(shè),等式兩邊取自然對(duì)數(shù)有,然后兩邊再同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得,等式兩邊同乘以即得.例如:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:等式兩邊取對(duì)數(shù)得: ,上式兩邊對(duì)求導(dǎo)有: ,兩邊同乘以得: .一般地,若, .注意
5、· 隱函數(shù)求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是兩種特殊的求導(dǎo)方法.隱函數(shù)求導(dǎo)法適用于由方程所確定的函數(shù)不能顯化或顯化較困難時(shí)的一種特殊求導(dǎo)方法.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于對(duì)冪指函數(shù)或形如或等含乘、除、乘方、開(kāi)方較多的函數(shù)的求導(dǎo),利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)的方法,可把對(duì)冪指函數(shù)的求導(dǎo)化為對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo),把對(duì)乘積的求導(dǎo)化為和的求導(dǎo),把對(duì)商的求導(dǎo)化為差的求導(dǎo).在用隱函數(shù)求導(dǎo)法和對(duì)數(shù)求導(dǎo)法時(shí),一定要注意此時(shí)是的函數(shù),要運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,不要遺漏.· 在學(xué)完了偏導(dǎo)數(shù)之后,在求確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),也可以按公式解之.· 利用一階微分形式的不變性,對(duì)等式 兩邊求微分,然后解出,也可求出由確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(5)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程給出,其中,在上可導(dǎo),且,則.(6)幾個(gè)初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式; ;,特別的,當(dāng)時(shí),有: .(7)參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則設(shè),均二階可導(dǎo),且,由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù): , .這里一定要注意,在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),是中間變量,而符號(hào)表示對(duì)
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