專(zhuān)轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一 導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 1. 導(dǎo)數(shù)的晚概念及幾何意義（1）導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量，函數(shù)就有相應(yīng)的增量，若當(dāng)時(shí)，極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為或.如果極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)概念是高等數(shù)學(xué)一個(gè)重要的基本概念，應(yīng)深刻理解它的定義形式及實(shí)際背景.應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：·導(dǎo)數(shù)的另一種表達(dá)形式為.· 對(duì)于固定的，要搞清與的差別.前者表示在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的值，而后者表示對(duì)常數(shù)求導(dǎo)數(shù)，因此.（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，即，其中是在處切線(xiàn)的傾斜角

2、，如圖2.1所示. 圖2.1如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，而導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，即，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直于軸.如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，法線(xiàn)方程為 （3）左、右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是：在處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在且相等，即.注意·可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo)，那么函數(shù)必在處連續(xù)，反之，若函數(shù)在處連續(xù)，該函數(shù)在處未必可導(dǎo).如函數(shù)在處連續(xù)但不可導(dǎo)，即函數(shù)在處可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，而連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件.由此可知，若在處不連續(xù)，則在處必不可導(dǎo).·分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在處可導(dǎo)的充要條件是在處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在并相等，因此要求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處

3、的導(dǎo)數(shù)，首先要求出該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，如果都存在并相等，那么函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)，且；如果在處的左、右導(dǎo)數(shù)有一個(gè)不存在或者左、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等，那么函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo).2. 求導(dǎo)數(shù)的方法（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （為常數(shù)）； （為任意實(shí)數(shù)）； ； ； ； ； ； ；.（2）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則若均為可導(dǎo)函數(shù)，則有：； （為常數(shù)）；.（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且或簡(jiǎn)記為.注意· 對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先要搞清函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，把函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算，然后按照復(fù)合次序由外向里，一層層地求導(dǎo)，直到對(duì)自變量求導(dǎo)，千萬(wàn)不

4、要漏導(dǎo).（4）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)的特點(diǎn)是變量與的函數(shù)關(guān)系是隱藏在方程中的，當(dāng)一個(gè)隱函數(shù)顯化比較困難或不能顯化時(shí)，可用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)求導(dǎo).設(shè)函數(shù)是由方程確定的可導(dǎo)函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)可以由方程求得，具體求法可分兩步：第一步：將方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)，視為中間變量，得到一個(gè)關(guān)于的一次方程；第二步：解方程，求出.例如：求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得,即 ,故 . 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法設(shè)，等式兩邊取自然對(duì)數(shù)有，然后兩邊再同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得，等式兩邊同乘以即得.例如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：等式兩邊取對(duì)數(shù)得： ，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)有： ，兩邊同乘以得： .一般地，若， .注意

5、· 隱函數(shù)求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是兩種特殊的求導(dǎo)方法.隱函數(shù)求導(dǎo)法適用于由方程所確定的函數(shù)不能顯化或顯化較困難時(shí)的一種特殊求導(dǎo)方法.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于對(duì)冪指函數(shù)或形如或等含乘、除、乘方、開(kāi)方較多的函數(shù)的求導(dǎo)，利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)的方法，可把對(duì)冪指函數(shù)的求導(dǎo)化為對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo)，把對(duì)乘積的求導(dǎo)化為和的求導(dǎo)，把對(duì)商的求導(dǎo)化為差的求導(dǎo).在用隱函數(shù)求導(dǎo)法和對(duì)數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，一定要注意此時(shí)是的函數(shù)，要運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，不要遺漏.· 在學(xué)完了偏導(dǎo)數(shù)之后，在求確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，也可以按公式解之.· 利用一階微分形式的不變性，對(duì)等式 兩邊求微分，然后解出，也可求出由確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（5）參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程給出，其中，在上可導(dǎo)，且，則.（6）幾個(gè)初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式； ；，特別的，當(dāng)時(shí)，有: .（7）參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)，均二階可導(dǎo)，且，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)： ， .這里一定要注意，在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，是中間變量，而符號(hào)表示對(duì)