第四節(jié)線性方程組的

1、第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組的解集線性方程組的解集如果向量如果向量 滿足等式滿足等式,Ab則稱則稱 是線性方程組是線性方程組xAx b的的解向量解向量. .所有解向量的集合稱為解向量組，即通解所有解向量的集合稱為解向量組，即通解齊次線性方程組齊次線性方程組0Ax定理定理4.1設(shè)設(shè) 都是都是 的解的解, ,12, 0Ax則它們的線性組合則它們的線性組合1 12 2CC也是也是 的解的解. .0Ax證證: :A1 12 2()CC11CA22C A000例例1求求 的通解的通解0Ax 354324 .618A 解解: :35432 4618A 3 540 300903 540 100 003 040

2、100 001 0 4/30 100 00( )23R A 有非零解，有非零解，取取 是基本變量是基本變量, ,12,x x3x是自由變量是自由變量, ,1343xx20 x 3x是自由變量是自由變量123xxxx43c0cc4301c解向量組包含無(wú)窮個(gè)向量解向量組包含無(wú)窮個(gè)向量通解通解解向量組的秩是解向量組的秩是1.1.定義定義4.1 設(shè)設(shè) 有非零解有非零解, ,0Ax稱它的解向量組的最大無(wú)關(guān)組稱它的解向量組的最大無(wú)關(guān)組為為基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系. .注注: : “基礎(chǔ)基礎(chǔ)”即即“原原生生”, ,0Ax的所有解向量都是以基礎(chǔ)解系的所有解向量都是以基礎(chǔ)解系為為”基礎(chǔ)基礎(chǔ)”而而”派生派生”出的出的.

3、.例例1求求 的通解的通解0Ax 354324 .618A 是是 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系, ,0Axc4301xc通解通解403也是也是 的基礎(chǔ)解系嗎的基礎(chǔ)解系嗎? ?0Ax思考：思考：幾何意義幾何意義: :一般的一般的, , 若若 含含n個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù), , 0Ax(),R Ar則則: :自由變量的個(gè)數(shù)自由變量的個(gè)數(shù)nr解向量組的秩解向量組的秩L三平面交于一直線三平面交于一直線L，通解即與，通解即與L共線或平行的所共線或平行的所有向量，都可以由向量有向量，都可以由向量 表示。表示。c4301xc非齊次線性方程組非齊次線性方程組Axb (0)b定理定理4.2設(shè)設(shè) 是是 的解的解, ,0Ax是是

4、 的解的解, ,Axb則則: : 是是 的解的解. .Axb證證: :A() AA0bb例例1( (續(xù)續(xù)) ) 求求 的通解的通解, ,Ax b3547324 ,1 .6184Ab 解解: :()A b 3 547324161843 5470 3 0609 0183 54701020 0003 04301020 0003 04/3301020 000( )2,R A 無(wú)窮多解無(wú)窮多解取取 是基本變量是基本變量, ,12,x x3x是自由變量是自由變量, ,13413xx 22x 3x是自由變量是自由變量123xxxx 120c4/301c:Ax b的特解的特解:c0Ax的通解的通解Ax b的通

5、解的通解幾何意義幾何意義: : LL o 的通解是直線的通解是直線L0Ax Axb的通解是與的通解是與L平行的直線平行的直線L例例2 單一方程也可看作方程組單一方程也可看作方程組, ,描述并比較下列描述并比較下列”方程組方程組”的通解的通解: :12310320 (1)xxx和和12310325 (2).xxx解解: : 取取 是基本變量是基本變量, ,1x和和 是自由變量是自由變量, ,2x3x1x 0.220.3x30.2 ,x寫(xiě)成向量形式寫(xiě)成向量形式123xxxx 0.220.3x30.2x2x3x 0.2001c 0.3102c0.20110,0.3120.201是是(1)的基礎(chǔ)解系的

6、基礎(chǔ)解系, ,x 11c22c是是(1)的通解的通解, ,0.200通解為通解為: :是是(2)的特解的特解, ,x 11c22c是是(2)的通解的通解. .11c22c幾何意義幾何意義: : (1)的通解的通解11c22c是由是由1和和2確定的平面確定的平面, ,(2)的通解的通解11c22c是過(guò)是過(guò)且平行于且平行于(1)的平面的平面. .Axb 0Ax 1 2 例例2 單一方程也可看作方程組單一方程也可看作方程組, ,描述并比較下列描述并比較下列”方程組方程組”的通解的通解: :12310320 (1)xxx和和12310325 (2).xxx總結(jié)總結(jié): : 設(shè)設(shè) 是是 矩陣矩陣, ,Am n( ),R Ar0Ax的基礎(chǔ)解系含的基礎(chǔ)解系含n r個(gè)向