中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用21456

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是微分學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容和最終目的，可以說，前幾章的內(nèi)容都圍繞著這部分內(nèi)容展開的，為了將導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算方法等知識(shí)更好地應(yīng)用到具體問題中，我們必須建立二者相互聯(lián)系的橋梁和紐帶，它們就是微分中值定理一、 羅爾定理羅爾定理如果函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等即，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得圖3-1首先，我們來分析一下定理的幾何意義，函數(shù)在上連續(xù)、在內(nèi)可導(dǎo)說明了函數(shù)的圖形是一條連續(xù)的曲線（設(shè)為），并且除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，表明函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值相等定理的結(jié)論表示：在連續(xù)曲線弧上至少有一點(diǎn)，該點(diǎn)處曲線的切線是水平的（如

2、圖3-1）證因函數(shù)在上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理知，函數(shù)在上必有最大值和最小值，這樣有兩種可能：（1）如果，因?yàn)?，所以在閉區(qū)間上必恒等于常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)也為零，即任取內(nèi)每一點(diǎn)作為，都有（2）如果，因?yàn)?，則和至少有一個(gè)不在端點(diǎn)處取得，不妨設(shè)（如設(shè)證法類似），那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使下面我們來證明在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零，即因?yàn)?，根?jù)假設(shè)可知存在，即極限存在，而極限存在必定左、右極限都存在并且相等，因此，由于是在的最大值，因此不論還是，只要在上，總有，即當(dāng)時(shí)，有，從而，根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)有，同理，當(dāng)時(shí)，有，相應(yīng)地有因此必然有例1不求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在區(qū)間解顯然，

3、在區(qū)間、上滿足羅爾定理的條件，所以至少存在點(diǎn)和使得，即方程至少有兩個(gè)實(shí)根，又因?yàn)槭且粋€(gè)一元二次方程，最多有兩個(gè)實(shí)根，所以方程有兩個(gè)實(shí)根，且分別在和內(nèi)二、 拉格朗日中值定理羅爾定理中的條件是比較特殊的，一般的函數(shù)很難滿足這個(gè)條件，這樣就大大限制了羅爾定理的應(yīng)用范圍，如果取消這個(gè)條件而保持定理另外的兩個(gè)條件不變，那么結(jié)論就要做相應(yīng)的改變，從而就得到了微分學(xué)中的另外一個(gè)重要定理，即拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（1）圖3-2或成立我們也來分析一下定理的幾何意義，根據(jù)圖3-2，函數(shù)在上連續(xù)、在內(nèi)可導(dǎo)，說明函數(shù)的圖形是一條連續(xù)的曲線（設(shè)為），

4、并且除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，而結(jié)論中的表示弦的斜率，而為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線的弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，那么在弧上至少有一點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的切線平行于弦在上述定理中，若我們令（弦平行于軸），此時(shí)有，這說明在弧上至少有一點(diǎn)，該點(diǎn)處的切線平行于軸，實(shí)際上也平行于弦，這就是羅爾定理的結(jié)論，由此可見，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣從上述兩個(gè)定理的關(guān)系自然想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理，但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)不一定具備這個(gè)條件，為此我們構(gòu)造一個(gè)與有密切關(guān)系且滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)

5、，然后對(duì)函數(shù)應(yīng)用羅爾定理，再把得到的結(jié)論轉(zhuǎn)化到上，證得所要的結(jié)果從圖3-2中看出，有向線段的值是的函數(shù)，把它設(shè)為，且有，為求得函數(shù)的表達(dá)式，設(shè)直線的方程為，則，由于點(diǎn)、的縱坐標(biāo)分別為及，故表示有向線段的值的函數(shù)為下面就利用這個(gè)輔助函數(shù)來證明拉格朗日中值定理證引進(jìn)輔助函數(shù)，顯然函數(shù)滿足羅爾定理的條件：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，根據(jù)羅爾定理可知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，即，由此得，即定理證畢顯然，公式（1）對(duì)于仍然成立，（1）叫做拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式有時(shí)也可寫成另外的形式，如取為內(nèi)的一點(diǎn)，為內(nèi)的另外一點(diǎn)（或），則公式（1）在區(qū)間（當(dāng)時(shí)）或（當(dāng)時(shí)）上就成為（2）這里數(shù)值介于與之

6、間，所以就介于和之間，的存在是肯定的，一般它的準(zhǔn)確值是不知道的，但這并不影響公式（2）的應(yīng)用如果記為，則（2）可寫成（3）我們知道，函數(shù)的微分是函數(shù)增量的近似表達(dá)式，一般說來，以代替時(shí)所產(chǎn)生的誤差只有當(dāng)時(shí)才趨于零，而（3）式表示在為有限時(shí)增量的準(zhǔn)確表達(dá)式，因此這個(gè)定理也叫做有限增量定理它在微分學(xué)中占有重要地位，有時(shí)也叫做微分中值定理它精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在某些問題中當(dāng)自變量取得有限增量而需要函數(shù)增量的準(zhǔn)確表達(dá)式時(shí)，拉格朗日中值定理就顯示出了它的價(jià)值拉格朗日中值定理有如下兩個(gè)重要推論，今后在積分學(xué)中要常用到推論1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間

7、內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)恒為零，則在上有（為常數(shù)）證在上任取兩點(diǎn)、，并設(shè)，應(yīng)用式（1）可得，由已知條件，故，即因?yàn)?、是區(qū)間上的任意兩點(diǎn)，所以上式表明：在區(qū)間上的函數(shù)值總是相等的，即推論2如果函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在上與最多只相差一個(gè)常數(shù)證設(shè)，則在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，由推論1可知，在上，即例2證明當(dāng)時(shí)，證設(shè)，顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，應(yīng)有，由于，因此上式即為，又因?yàn)?，故有，即?證明恒等式（）證設(shè)，顯然在內(nèi)可導(dǎo)，且，因?yàn)閮?nèi)任一點(diǎn)，故由推論1知（常數(shù)）又，所以則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原等式顯然成立，證畢三、 柯西中值定理我們已經(jīng)知道，如果連續(xù)曲線弧上除端點(diǎn)外處處具有

8、不垂直于軸的切線，那么這段弧上至少存在一點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的切線平行于弦，設(shè)弧由參數(shù)方程，表示（如圖3-3），其中為參數(shù)，那么曲線上點(diǎn)處的切線的斜率為，弦的斜率為，假定點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)，那么曲線上點(diǎn)處的切線平行于弦，可表示為相應(yīng)地，有如下定理：柯西中值定理如果函數(shù)及在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使等式（4）成立顯然，如果取，那么，公式（4）就可以寫成：這正是拉格朗日中值定理，因此，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況，或者說，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣第二節(jié)洛必達(dá)法則如果當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在也可能不存在，通常

9、把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)記為或，例如就是型未定式對(duì)于這兩種類型的未定式，它們的極限值可能存在，也可能不存在，并且即使它們的極限存在，也因?yàn)榉帜傅臉O限為零或無窮大，導(dǎo)致我們不能直接利用商的極限運(yùn)算法則來求，所以我們必須尋找一種適合它們自身特性的求極限方法定理1如果（1），；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)（或），及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o窮大）；那么有 （為有限或無窮大）證（1）當(dāng)時(shí)，由條件（1）可知，函數(shù)和在點(diǎn)處或連續(xù)或間斷，如果在點(diǎn)處間斷，那么是其可去間斷點(diǎn)（因?yàn)樵谔幍淖笥覙O限存在且相等），所以可設(shè)設(shè)為鄰近的任一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)和在上應(yīng)用柯西中值定理得，當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，對(duì)和在區(qū)間上應(yīng)用柯西中

10、值定理，可得同樣結(jié)果（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)，由（1）已證，定理證畢此定理適用于型的未定式該定理說明，當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于；當(dāng)為無窮大時(shí)，為無窮大，這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法叫做洛必達(dá)法則如果仍為型，且此時(shí)、仍能滿足定理的條件，則可以繼續(xù)重復(fù)使用洛必達(dá)法則例1求 解此題屬型，符合洛必達(dá)法則的條件，則有例2求 解此題屬型，符合洛必達(dá)法則的條件，則有定理2如果（1），；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)（或），及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o窮大）；那么（為有限或無窮大）該定理證明從略，它適用于型的未定式例3求 解此題屬型，應(yīng)用洛必達(dá)法則有例4求 解此題屬型，應(yīng)用洛必達(dá)法則

11、有例5求 （為正整數(shù)，）解連續(xù)使用洛必達(dá)法則次，得未定式除了上面討論的兩種類型外，還有許多種，如等等，求這些未定式時(shí)，我們可以通過適當(dāng)?shù)淖冃螌⒅苫蛐?，然后再利用洛必達(dá)法則例6求 解此未定式為型，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，上式右端是未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則，得例7求 解此未定式為型，應(yīng)用洛必達(dá)法則，有從以上例子，我們可以看出，洛必達(dá)法則確實(shí)是求未定式的一種有效的方法，但未定式種類很多，只使用一種方法并不一定能完全奏效，最好與其他求極限的方法結(jié)合起來使用，例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能化簡(jiǎn)，可利用等價(jià)無窮小替代或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)化例8求 解顯然，直接利用洛必達(dá)法則，在對(duì)分母求導(dǎo)時(shí)比較麻煩，這

12、時(shí)如果作一個(gè)等價(jià)無窮小替代，那么運(yùn)算就方便得多，其運(yùn)算如下：最后，我們指出，本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法，當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時(shí)，所求的極限當(dāng)然存在（或無窮大），但當(dāng)定理?xiàng)l件不滿足時(shí)，所求極限卻未必不存在，即當(dāng)不存在時(shí)，有可能存在如對(duì)的分子分母分別求導(dǎo)后得，而此時(shí)不存在，但第三節(jié)泰勒（Taylor）公式在工程問題中，經(jīng)常會(huì)遇到一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了便于計(jì)算或研究，我們常常將它們簡(jiǎn)化，用其近似的形式來表達(dá)它們由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù)，只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算，便能求出它的函數(shù)值，因此用多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)是一種很好的思想其實(shí)，在前面學(xué)習(xí)的過程中，我們就不知不覺地用多項(xiàng)式來對(duì)函數(shù)

13、值作近似計(jì)算了，如當(dāng)與很接近時(shí)有，此公式就說明，要求函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值，可用關(guān)于的一次多項(xiàng)式來近似計(jì)算，顯然這種近似計(jì)算還存在著不足之處：首先是精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于的高階無窮??；其次是用它來作近似計(jì)算時(shí)，不能具體估計(jì)出誤差的大小，因此對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差的時(shí)候，就不能用關(guān)于的一次多項(xiàng)式來簡(jiǎn)單近似計(jì)算，那么能否用關(guān)于的高次多項(xiàng)式來作近似計(jì)算呢？如果能，需要具備怎樣的條件且是否能解決上述問題呢？答案是肯定的，下面的泰勒中值定理就很好地回答了這些問題泰勒中值定理如果函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到（）階導(dǎo)數(shù)，為該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則可以表示為其中，（介于和之間）（證明從略）該

14、公式叫做在點(diǎn)處的階泰勒公式，稱為拉格朗日型余項(xiàng)當(dāng)時(shí)，泰勒公式變成拉格朗日中值公式：（介于和之間）因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣如果設(shè)那么當(dāng)我們用近似代替時(shí)，其誤差為，如果對(duì)于某個(gè)固定的，當(dāng)在開區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí)，總不超過一個(gè)常數(shù)，則有估計(jì)式及由此可見，當(dāng)時(shí)，是比更高階的無窮小，即這樣我們提出的問題完滿地得到解決在泰勒公式中，如果取，則在與之間，令（），那么泰勒公式變?yōu)?，此時(shí)（介于和之間）是比更高階的無窮小，此公式叫做的階麥克勞林公式（證明從略）由此可得另一個(gè)較常用的近似公式：例1將多項(xiàng)式按的冪進(jìn)行展開解即求在點(diǎn)處的泰勒展開式，因?yàn)?，所以其泰勒展開式為例2寫出的階麥克勞林公式解因?yàn)?；所以顯

15、然，對(duì)于任何有限值，從而有近似公式，當(dāng)時(shí)，其余項(xiàng)當(dāng)時(shí)，可算出，其誤差不超過例3求的階麥克勞林公式解因?yàn)椋?，其?如果，則得近似公式 此時(shí)誤差為 如果分別取和，則可得的3次和5次近似多項(xiàng)式為和，其誤差的絕對(duì)值不超過和用類似的方法還可得到某些函數(shù)的麥克勞林公式：（1）；（2）第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定在第一章里，我們已經(jīng)介紹過函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的概念，但直接利用定義來證明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加還是單調(diào)減少，對(duì)于稍微復(fù)雜的函數(shù)來說是很困難的，本節(jié)利用導(dǎo)數(shù)來對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（單調(diào)減少），那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線（如圖3-4、圖3-5），這時(shí)，曲線上各點(diǎn)

16、處的切線的斜率是非負(fù)的（是非正的），即圖3-4圖3-5由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系，那么我們能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？下面我們給出利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法函數(shù)單調(diào)性的判定方法設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（1）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少證在內(nèi)任取兩點(diǎn)、，并設(shè)，應(yīng)用拉格朗日中值定理，得，（1）由條件，而，所以，在上單調(diào)增加（2）由條件，而，所以，在上單調(diào)減少如果把這個(gè)判定法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），那么結(jié)論也成立例1判定函數(shù)在上的單調(diào)性解因?yàn)樵趦?nèi)，所以函數(shù)在上單調(diào)增加例2討論函數(shù)的單調(diào)性

17、解，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)樵?，所以函?shù)在上單調(diào)減少，因?yàn)樵趦?nèi)，所以函數(shù)在上單調(diào)增加例3討論函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)閳D3-6當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不存在，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)把分成二個(gè)部分區(qū)間及當(dāng)時(shí)，從而函數(shù)在上單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，從而函數(shù)在上單調(diào)增加（如圖3-6）如果函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程的根及不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間，就能保證在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)例4利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式（）證設(shè)，則有函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且在開區(qū)間，因此在上函數(shù)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)，而所以有，即第五節(jié)函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值點(diǎn)描述了函數(shù)局部范

18、圍內(nèi)的變化情況，是揭示函數(shù)性態(tài)的關(guān)鍵點(diǎn)之一，在應(yīng)用上具有重要意義，本節(jié)將對(duì)其作一般性的討論定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)的某一個(gè)去心鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)，都有（1）成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值圖3-7（2）成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)顯然，函數(shù)極值的概念是局部性的，如果是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值），那么僅就的兩側(cè)鄰近的一個(gè)局部范圍來說，是函數(shù)的最大值（或最小值），但就的整個(gè)定義域來說，未必是最大值（或最小值）在圖3-7中，函數(shù)有兩個(gè)極大值：和；有三個(gè)極小值：、和，其中，極大值比極小值還小，函數(shù)就整個(gè)區(qū)

19、間來說，只有一個(gè)極小值同時(shí)也是最小值，而沒有一個(gè)極大值是最大值 為了掌握求函數(shù)極值的方法，我們先討論函數(shù)取得極值的必要條件定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，那么函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，即證不妨設(shè)為的一個(gè)極大值（極小值的情形類似）根據(jù)極大值的定義，在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，對(duì)任意點(diǎn)有成立，于是當(dāng)時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，因此；從而有使函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)定理表明：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)但反過來，卻不一定是極值點(diǎn)注1 是點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件，例如，因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)注2對(duì)于導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，函數(shù)也可能取得極值，例如函數(shù)，不存在，但在處也取得極小值注3由定理1

20、，若點(diǎn)既不是函數(shù)的駐點(diǎn)又不是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，則一定不是函數(shù)的極值點(diǎn)由注1和注2知，函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，但是駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，如果僅按定義對(duì)其進(jìn)行判斷是比較麻煩的，因此我們必須找到一種更合適的判定方法，下面的定理2就給我們提供了一種很好的判定方法定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且，為該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)（1）如果當(dāng)在的左側(cè)鄰近取值時(shí)，有，當(dāng)在的右側(cè)鄰近取值時(shí)，有，則在點(diǎn)處取得極大值（2）如果當(dāng)在的左側(cè)鄰近取值時(shí)，有，當(dāng)在的右側(cè)鄰近取值時(shí)，有，則在點(diǎn)處取得極小值（3）如果當(dāng)取的左右兩側(cè)鄰近的值時(shí)，恒為正或恒為負(fù)，則在點(diǎn)處沒有極值證就情形（

21、1）來說，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判定法，因?yàn)樵诘淖髠?cè)鄰近取值時(shí)，有，說明在點(diǎn)左側(cè)鄰近處，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)在的右側(cè)鄰近取值時(shí)，有，說明在點(diǎn)右側(cè)鄰近處，函數(shù)單調(diào)減少，所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值（如圖3-8（a）類似地可論證情形（2）及情形（3）（圖3-8（b）、（c）、（d）（a） （b） （c） （d）圖3-8根據(jù)上面的兩個(gè)定理，如果函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處都具有導(dǎo)數(shù)，我們就可以按下列步驟來求的極值點(diǎn)和極值：（1）求出導(dǎo)數(shù)；（2）求出的全部駐點(diǎn)（即求出方程在所討論的區(qū)間的全部實(shí)根）；（3）考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)的左、右鄰近的情形，以便確定該駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按定理確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大

22、值還是極小值；（4）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得函數(shù)的全部極值例1求函數(shù)的極值解（1）；（2）令，得駐點(diǎn)，它們?yōu)榈目赡軜O值點(diǎn)；（3）討論由左到右經(jīng)過時(shí)的符號(hào)：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，那么將定義區(qū)間劃分為三部分：、和當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；所以函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，將上述結(jié)果列成下表：01+00+極大值極小值（4）則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值當(dāng)函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí)，也可利用下列定理來判定在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值定理3（第二充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且，那么（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值

23、證（1）由于，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有，根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性，當(dāng)在的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí)，有，因?yàn)椋?，因此，?dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，于是根據(jù)定理2知，在點(diǎn)處取得極大值類似地可證（2），定理證畢例2求函數(shù)的極值解（1）；（2）令，求得駐點(diǎn)；（3）；（4）因，在處取得極小值，極小值為；（5）因，用定理3無法判別，考察一階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)及左右鄰近的符號(hào)：當(dāng)取-1左側(cè)鄰近的值時(shí)，；當(dāng)取-1右側(cè)鄰近的值時(shí)，；因此在處沒有極值同理在處也沒有極值第六節(jié)函數(shù)的最大值與最小值在工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，我們常常需要解決在一定條件下，怎樣才能使用料最省、成本最低、產(chǎn)品最多及效率最高等問題，這些問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函

24、數(shù)（常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值的問題下面我們就來研究一下函數(shù)的最大值或最小值的求法如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么我們可有如下結(jié)論：第一，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知在上的最大值和最小值一定存在第二，當(dāng)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且至多在有限個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，若函數(shù)在內(nèi)的點(diǎn)處取得最大值（或最小值），那么一定也是的極大值（或極小值），一定是函數(shù)的駐點(diǎn)（即），但若函數(shù)在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí)，它的最值也可能在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得，另外區(qū)間的端點(diǎn)也可能是函數(shù)的最大值（或最小值）點(diǎn)，故可用如下方法求在上的最大值和最小值設(shè)函數(shù)在內(nèi)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)為，則比較的大小，其中最大的便是函數(shù)在上的最大值，最小的便是函

25、數(shù)在上的最小值特別地，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間（有限或無限，開或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么當(dāng)是極大值時(shí)，就是在該區(qū)間上的最大值（如圖3-9（a）；當(dāng)是極小值時(shí)，就是在該區(qū)間上的最小值（如圖3-9（b）（a） （b）圖3-9例1求函數(shù)的最大值、最小值解，解方程，得到，由于所以在處取得最小值，在處取得最大值例2鐵路線上段的距離為100km，工廠距處為20km，垂直于（如圖3-10），為了運(yùn)輸需要，要在線上選定一點(diǎn)向工廠修筑一條公路，已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為了使貨物從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最省，問點(diǎn)應(yīng)選在何處？解設(shè)（km）那么，由于鐵路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公

26、里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，因此我們不圖3-10妨設(shè)鐵路與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)分別為和（為某個(gè)正數(shù)），設(shè)從點(diǎn)到點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為，那么，即，現(xiàn)在，問題就歸結(jié)為：在內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)的值最小因?yàn)?，令，得（km）由于，其中以為最小，因此當(dāng)km時(shí)，總運(yùn)費(fèi)為最省例3已知某地的水稻產(chǎn)量（單位：公斤畝）與施氮肥量（單位：公斤畝）有如下函數(shù)關(guān)系，每公斤稻谷售價(jià)為1.33元，氮肥每公斤售價(jià)為6.02元，求：（1）當(dāng)每畝施用多少氮肥時(shí)，可使水稻產(chǎn)量最高？（2）當(dāng)每畝施用多少氮肥時(shí)，可獲利潤(rùn)最大？解（1）水稻產(chǎn)量為，則令時(shí)，公斤故當(dāng)每畝施氮肥3.1公斤時(shí)，水稻產(chǎn)量最高，最高產(chǎn)量公斤畝（2）設(shè)為每畝所獲利潤(rùn)，依題意有

27、令，則（公斤畝）故當(dāng)每畝施肥2.67公斤時(shí)，獲最大利潤(rùn)為元第七節(jié)曲線的凹凸與拐點(diǎn)要想準(zhǔn)確完整地描述函數(shù)的性態(tài)，僅僅知道函數(shù)的單調(diào)性與極值還是不夠的，如函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的圖形都是單調(diào)增加的，但曲線 SKIPIF 1 < 0 是向上凹的， SKIPIF 1 < 0 是向上凸的，它們的凹凸性不同，圖形有顯著的差別，所以我們必須研究曲線的凹凸性及其判別法從幾何上看，在有的曲線弧上，如果任取兩點(diǎn)，則連接這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)弧段的上方（如圖3-11（a），而有的曲線弧則正好相反（如圖3-11

28、（b），曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性，因此我們可利用連接曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來描述下面給出曲線凹凸性的定義（a）（b）圖3-11定義設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)、，恒有，那么稱在上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么稱在上的圖形是（向上）凸的（或凸?。┤绻瘮?shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定曲線的凹凸性，于是我們有下面的曲線凹凸性的判定定理，我們僅就是閉區(qū)間的情形來敘述定理，當(dāng)不是閉區(qū)間時(shí)，定理類同定理1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的

29、； 當(dāng)然，有時(shí)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的凹凸性不是固定不變的，可能在某些點(diǎn)的左右兩側(cè)曲線的凹凸性不同，一般地，連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)例1判斷的凹凸性解的定義域?yàn)榧?，?dāng)時(shí)，曲線是凸的；當(dāng)時(shí)，曲線是凹的例2求函數(shù)的拐點(diǎn)解因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是凹的；當(dāng)時(shí)，曲線是凸的，顯然，在的左右兩側(cè)曲線的凹凸性不同，因此它是函數(shù)的拐點(diǎn)對(duì)于在定義區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)來說，函數(shù)曲線在拐點(diǎn)的左右兩側(cè)的凹凸性發(fā)生變化，根據(jù)凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能否用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判別某點(diǎn)是否為拐點(diǎn)呢？我們有如下定理定理2如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，且，在的左右兩側(cè)，的符號(hào)相反，則點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)對(duì)于二階可導(dǎo)函數(shù)來說，由定理2可知，的點(diǎn)有可能是曲線的拐點(diǎn)，但如果函數(shù)在某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)不存在，且在該點(diǎn)的左右兩側(cè)的符號(hào)相反，這樣的點(diǎn)也是曲線的拐點(diǎn)，因此我們可按如下步驟來求曲線的拐點(diǎn)：（1）求；（2）求方程的實(shí)根和使不存在的點(diǎn)，不妨設(shè)為；（3