必修四第二章 平面向量 第三講 向量的坐標表示1 平面向量基本定理（學案含答案）

1、.高中數(shù)學平面向量根本定理一、考點打破知識點課標要求題型說明平面向量根本定理1. 理解平面向量根本定理及其意義；2. 理解基底的含義；3. 會用任意一組基底表示指定的向量；4. 能應用平面向量根本定理解決一些實際問題選擇填空平面向量根本定理表達了平面內(nèi)向量的“統(tǒng)一思想，是向量坐標表示的根底，注意認真掌握二、重難點提示重點：平面向量根本定理及其意義；難點：平面向量根本定理的應用?？键c一：基底的概念基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底?！疽c詮釋】1. 對基底的理解基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的，平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量

2、可以作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件。2. 零向量與任意向量共線，故不能作為基底?？键c二：平面向量根本定理定理：假如e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2。其中當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解?！倦y點剖析】準確理解平面向量根本定理1平面向量根本定理的本質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的。2平面向量根本定理中，實數(shù)1、2的唯一性是相對于基底e1，e2而言的，平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為基底，一旦選定一組基底，那么給定向量

3、沿著基底的分解是唯一的。3平面向量根本定理提醒了平面向量的根本構(gòu)造，即同一平面內(nèi)任意三個向量之間的關(guān)系是：其中任意一個向量都可以作為其他兩個不共線的向量的線性組合?！竞诵拇蚱啤筷P(guān)于基底的一個結(jié)論設e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當0時，恒有120。注意：這個結(jié)論很有用，可以實現(xiàn)向量向代數(shù)值的轉(zhuǎn)化?！倦S堂練習】向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足3x4ye12x3ye26e13e2，那么xy的值為_。思路分析：利用結(jié)論：“假設e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當0時，恒有120解決。答案：33x4ye12x3ye26e13e2，且e1，e2不共線，解得xy633。技巧點撥：向量是數(shù)形結(jié)合的知識交匯，注

4、意掌握從向量向代數(shù)轉(zhuǎn)化的這個重要結(jié)論：“設e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當0時，恒有120。例題1 用基底表示向量如下圖，以向量a，b為鄰邊作AOBD，又，用a，b表示，。思路分析：，再將各量轉(zhuǎn)化為，。答案：ab，ab，又ab，ab，ababab。技巧點撥：1. 假設題目中已給出了基底，求解此類問題時，常利用向量加法三角形法那么或平行四邊形法那么，結(jié)合數(shù)乘運算，找到所求向量與基底的關(guān)系。2. 假設題目中沒有給出基底，常結(jié)合條件先尋找一組從同一點出發(fā)的兩不共線向量作為基底，而后用上述方法求解。例題2 平面向量根本定理的應用如圖，在OAB中，延長BA到C，使ABAC，D是將分成21的一個分點靠近B

5、點，DC和OA交于點E，設a，b，1用a，b表示向量，；2假設，務實數(shù)的值。思路分析：1由題意可知A是BC的中點，利用平行四邊形法那么求，利用三角形法那么求；2利用C，D，E三點共線，結(jié)合共線向量定理求解。答案：1A為BC中點，2ab；2abb2ab，2設，那么a2ab2ab，與共線，存在實數(shù)m，使得，即2abm2ab，即2m2a1mb0，a，b不共線且為非零向量，解得。技巧點撥：1. 此類問題要結(jié)合圖形條件與所求證的問題，尋求解題思路。此題充分利用三點共線，即共線向量定理，共面向量定理，建立方程組求解，同時要恰中選擇基底簡化運算。2. 應用平面向量根本定理來證明平面幾何問題的一般方法是：先選取一組基底，再根據(jù)幾何圖形的特征應用向量的有關(guān)知識解題?！纠C】用向量法證明三角形的三條中線交于同一點。思路分析：令ABC的中線AD與中線BE交于點G1，中線AD與CF交于點G2，利用向量說明G1與G2重合，證得三條中線交于一點。答案：如圖，AD，BE，CF是ABC的三條中線。令a，b，那么ab，ab，ab，令AD與BE交于點G1，并假設，那么有ab，ab，1a1b，由此可得，再令AD與CF相交于G2，同樣的方法可得AD，G1與G2重合，即AD，BE，CF相交于同一點，三角形三條中線交于一點。技巧點撥：向量方法證明三線共點的