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文檔簡介
1、北 京 交 通 大 學(xué)20132014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷(A卷)一(本題滿分8分) 某中學(xué)學(xué)生期末考試中數(shù)學(xué)不及格的為,語文不及格的為,兩門課程都不及格的為 已知一學(xué)生數(shù)學(xué)考試不及格,求他語文考試也不及格的概率(4分); 已知一學(xué)生語文考試不及格,求他數(shù)學(xué)考試及格的概率(4分) 解: 設(shè)“某學(xué)生數(shù)學(xué)考試不及格”,“某學(xué)生語文考試不及格” 由題設(shè), 所求概率為 所求概率為二(本題滿分8分) 兩臺(tái)車床加工同樣的零件,第一臺(tái)車床加工出現(xiàn)不合格品的概率為0.03,第二臺(tái)車床加工出現(xiàn)不合格品的概率為0.05;把兩臺(tái)車床加工的零件放在一起,已知第一臺(tái)車床加工的零件數(shù)比第二臺(tái)車床加工的
2、零件多一倍現(xiàn)從這兩臺(tái)車床加工的零件中隨機(jī)地取出一件,發(fā)現(xiàn)是不合格品,求這個(gè)零件是第二臺(tái)車床加工的概率 解: 設(shè)“任取一個(gè)零件是不合格品”,“任取一個(gè)零件是第一臺(tái)車床加工的” 所求概率為由Bayes公式得 三(本題滿分8分) 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求常數(shù)(3分); 現(xiàn)對(duì)獨(dú)立重復(fù)地觀察4次,用表示觀察值大于的次數(shù),求(5分) 解: 由密度函數(shù)的性質(zhì),得 ,因此, 由于所以,隨機(jī)變量的分布列為, 所以 四(本題滿分8分) 在正方形中任取一點(diǎn),求使得方程有兩個(gè)實(shí)根的概率 解: 設(shè)“方程有兩個(gè)實(shí)根”,所求概率為 設(shè)所取的兩個(gè)數(shù)分別為與,則有, 因此該試驗(yàn)的樣本空間與二維平面點(diǎn)集中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 隨機(jī)事件
3、與二維平面點(diǎn)集,即與點(diǎn)集中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 所以, 五(本題滿分8分) 一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的壽命(單位:年)的密度函數(shù)為 該工廠規(guī)定:該產(chǎn)品在售出的一年內(nèi)可予以調(diào)換若工廠售出一個(gè)該產(chǎn)品,贏利100元,而調(diào)換一個(gè)該產(chǎn)品,需花費(fèi)300元試求工廠售出一個(gè)該產(chǎn)品凈贏利的數(shù)學(xué)期望 解: 設(shè)為工廠售出一個(gè)產(chǎn)品的凈贏利,則所以, 六(本題滿分9分) 設(shè)是由軸、軸及直線所圍成的三角形區(qū)域,二維隨機(jī)變量在內(nèi)服從均勻分布求與的相關(guān)系數(shù) 解: 由于區(qū)域的面積為1,因此的聯(lián)合密度函數(shù)為 當(dāng)時(shí),所以, 當(dāng)時(shí),所以, , , , ,所以, , , ,所以, 七(本題滿分9分) 某餐廳每天接待位顧客,假設(shè)每位顧客的消費(fèi)額(單
4、位:元)服從區(qū)間上的均勻分布,并且每位顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的試求: 該餐廳每天的平均營業(yè)額(3分); 用中心極限定理計(jì)算,該餐廳每天的營業(yè)額在其平均營業(yè)額的元之間的概率(6分)(附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的某些取值: 解: 設(shè)表示第位顧客的消費(fèi)額,則有 相互獨(dú)立,所以,再設(shè)表示餐廳每天的營業(yè)額,則所以, (元) 由獨(dú)立同分布場合下的中心極限定理,有 八(本題滿分8分) 設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布,其分布律為 其中是未知參數(shù),是取自該總體中的一個(gè)樣本試求參數(shù)的極大似然估計(jì)量 解: 似然函數(shù)為 所以,所以,解方程,得因此的極大似然估計(jì)量為九(本題滿分8分) 設(shè)總體存在二階矩,記,是從該總體中抽取
5、的一個(gè)樣本,是其樣本均值求(4分)及(4分) 解: , 十(本題滿分9分) 兩臺(tái)相同型號(hào)的自動(dòng)記錄儀,每臺(tái)無故障工作的時(shí)間分別為和,假設(shè)與相互獨(dú)立,都服從參數(shù)為的指數(shù)分布,其密度函數(shù)為現(xiàn)首先開動(dòng)其中一臺(tái),當(dāng)其損壞停用時(shí)另一臺(tái)自動(dòng)開動(dòng),直至第二臺(tái)記錄儀損壞為止令:從開始到第二臺(tái)記錄儀損壞時(shí)記錄儀的總共工作時(shí)間,試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 解: 的密度函數(shù)為 , 的密度函數(shù)為由題意,知 ,設(shè)的密度函數(shù)為,則 作變換 ,則 , 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 代入上式,得 當(dāng)時(shí),由,知 ;當(dāng)時(shí), 綜上所述,可知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 十一(本題滿分9分) 設(shè)總體服從指數(shù)分布,其概率密度函數(shù)為,是取自該總體中的一個(gè)樣本 求出統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù),并指出該分布是什么分布? 求常數(shù),使得為的無偏估計(jì) 解: 由于總體的密度函數(shù)為,因此其分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 ,即隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布 由于隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,所以所以,若使,只需取即可 即若取,即,則是未知參數(shù)的無偏估計(jì)量十二(本題滿分8分) 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,而且都服從正態(tài)分布令,(與都是常數(shù)),試給出隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充分
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