北京交通大學(xué)第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷A卷及參考答案詳解

1、北 京 交 通 大 學(xué)20132014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷（A卷）一（本題滿分8分） 某中學(xué)學(xué)生期末考試中數(shù)學(xué)不及格的為，語文不及格的為，兩門課程都不及格的為 已知一學(xué)生數(shù)學(xué)考試不及格，求他語文考試也不及格的概率（4分）； 已知一學(xué)生語文考試不及格，求他數(shù)學(xué)考試及格的概率（4分） 解： 設(shè)“某學(xué)生數(shù)學(xué)考試不及格”，“某學(xué)生語文考試不及格” 由題設(shè)， 所求概率為 所求概率為二（本題滿分8分） 兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)車床加工出現(xiàn)不合格品的概率為0.03，第二臺(tái)車床加工出現(xiàn)不合格品的概率為0.05；把兩臺(tái)車床加工的零件放在一起，已知第一臺(tái)車床加工的零件數(shù)比第二臺(tái)車床加工的

2、零件多一倍現(xiàn)從這兩臺(tái)車床加工的零件中隨機(jī)地取出一件，發(fā)現(xiàn)是不合格品，求這個(gè)零件是第二臺(tái)車床加工的概率 解： 設(shè)“任取一個(gè)零件是不合格品”，“任取一個(gè)零件是第一臺(tái)車床加工的” 所求概率為由Bayes公式得 三（本題滿分8分） 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求常數(shù)（3分）； 現(xiàn)對(duì)獨(dú)立重復(fù)地觀察4次，用表示觀察值大于的次數(shù)，求（5分） 解： 由密度函數(shù)的性質(zhì)，得 ，因此， 由于所以，隨機(jī)變量的分布列為， 所以 四（本題滿分8分） 在正方形中任取一點(diǎn)，求使得方程有兩個(gè)實(shí)根的概率 解： 設(shè)“方程有兩個(gè)實(shí)根”，所求概率為 設(shè)所取的兩個(gè)數(shù)分別為與，則有， 因此該試驗(yàn)的樣本空間與二維平面點(diǎn)集中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 隨機(jī)事件

3、與二維平面點(diǎn)集，即與點(diǎn)集中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 所以， 五（本題滿分8分） 一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的壽命（單位：年）的密度函數(shù)為 該工廠規(guī)定：該產(chǎn)品在售出的一年內(nèi)可予以調(diào)換若工廠售出一個(gè)該產(chǎn)品，贏利100元，而調(diào)換一個(gè)該產(chǎn)品，需花費(fèi)300元試求工廠售出一個(gè)該產(chǎn)品凈贏利的數(shù)學(xué)期望 解： 設(shè)為工廠售出一個(gè)產(chǎn)品的凈贏利，則所以， 六（本題滿分9分） 設(shè)是由軸、軸及直線所圍成的三角形區(qū)域，二維隨機(jī)變量在內(nèi)服從均勻分布求與的相關(guān)系數(shù) 解： 由于區(qū)域的面積為1，因此的聯(lián)合密度函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，所以， 當(dāng)時(shí)，所以， ， ， ， ，所以， ， ， ，所以， 七（本題滿分9分） 某餐廳每天接待位顧客，假設(shè)每位顧客的消費(fèi)額（單

4、位：元）服從區(qū)間上的均勻分布，并且每位顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的試求： 該餐廳每天的平均營業(yè)額（3分）； 用中心極限定理計(jì)算，該餐廳每天的營業(yè)額在其平均營業(yè)額的元之間的概率（6分）（附：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的某些取值： 解： 設(shè)表示第位顧客的消費(fèi)額，則有 相互獨(dú)立，所以，再設(shè)表示餐廳每天的營業(yè)額，則所以， （元） 由獨(dú)立同分布場合下的中心極限定理，有 八（本題滿分8分） 設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為 其中是未知參數(shù)，是取自該總體中的一個(gè)樣本試求參數(shù)的極大似然估計(jì)量 解： 似然函數(shù)為 所以，所以，解方程，得因此的極大似然估計(jì)量為九（本題滿分8分） 設(shè)總體存在二階矩，記，是從該總體中抽取

5、的一個(gè)樣本，是其樣本均值求（4分）及（4分） 解： ， 十（本題滿分9分） 兩臺(tái)相同型號(hào)的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間分別為和，假設(shè)與相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為現(xiàn)首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其損壞停用時(shí)另一臺(tái)自動(dòng)開動(dòng)，直至第二臺(tái)記錄儀損壞為止令：從開始到第二臺(tái)記錄儀損壞時(shí)記錄儀的總共工作時(shí)間，試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 解： 的密度函數(shù)為 ， 的密度函數(shù)為由題意，知 ，設(shè)的密度函數(shù)為，則 作變換 ，則 ， 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 代入上式，得 當(dāng)時(shí)，由，知 ；當(dāng)時(shí)， 綜上所述，可知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 十一（本題滿分9分） 設(shè)總體服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為，是取自該總體中的一個(gè)樣本 求出統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)，并指出該分布是什么分布？ 求常數(shù)，使得為的無偏估計(jì) 解： 由于總體的密度函數(shù)為，因此其分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 ，即隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布 由于隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以所以，若使，只需取即可 即若取，即，則是未知參數(shù)的無偏估計(jì)量十二（本題滿分8分） 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，而且都服從正態(tài)分布令，（與都是常數(shù)），試給出隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充分