利用極坐標解圓錐曲線題

1、 利用極坐標解題知識點精析： 橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點(焦點)的距離和一條定直線(準線)的距離的比等于常數e的點的軌跡   以橢圓的左焦點(雙曲線的右焦點、拋物線的焦點)為極點，過點F作相應準線的垂線，垂足為K，以FK的反向延長線為極軸建立極坐標系   橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標方程為： .  其中p是定點F到定直線的距離，p0   當0e1時，方程表示橢圓；   當e1時，方程表示雙曲線，若0，方程只表示雙曲線右支，

2、若允許0，方程就表示整個雙曲線；  當e=1時，方程表示開口向右的拋物線.引論（1）若 則0e1當時，方程表示極點在右焦點上的橢圓當e=1時時，方程表示開口向左的拋物線當e1方程表示極點在左焦點上的雙曲線（2 ）若當 0e1時，方程表示極點在下焦點的橢圓當e=1時，方程表示開口向上的拋物線當 e1時!方程表示極點在上焦點的雙曲線（3）當 0e1時，方程表示極點在上焦點的橢圓當e=1時，方程表示開口向下的拋物線當 e1時!方程表示極點在下焦點的雙曲線例題選編 （1） 二次曲線基本量之間的互求例1.（復旦自招）確定方程表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。解法一：解法二：轉化為直角

3、坐標（2）圓錐曲線弦長問題若圓錐曲線的弦MN經過焦點F，1、橢圓中，.若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設過的直線的傾斜角為交橢圓于A、B兩點，求弦長。解：連結，設，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則弦長。同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）結論：橢圓過焦點弦長公式：2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，；若M、N在雙曲線不同支上，設雙曲線，其中兩焦點坐標為，過的直線的傾斜角為，交雙曲線于A、B兩點，求弦長|AB|。解：（1）當時，（如圖2）直線與雙曲線的兩個交點A、B在同一交點上，連，設

4、，由雙曲線定義可得，由余弦定理可得整理可得，同理，則可求得弦長。（2）當或時，如圖3，直線l與雙曲線交點A、B在兩支上，連，設，則，由余弦定理可得，整理可得，則因此焦點在x軸的焦點弦長為同理可得焦點在y軸上的焦點弦長公式其中a為實半軸，b為虛半軸，c為半焦距，為AB的傾斜角。3、拋物線中，若拋物線與過焦點的直線相交于A、B兩點，若的傾斜角為，求弦長|AB|？（圖4）解：過A、B兩點分別向x軸作垂線為垂足，設，則點A的橫坐標為，點B橫坐標為，由拋物線定義可得即則同理的焦點弦長為的焦點弦長為，所以拋物線的焦點弦長為例2 已知拋物線y2=2px（p>0），過其焦點且斜率為k的直線交拋物線于A，

5、B兩點，求AB長.練習1：過雙曲線的右焦點，引傾斜角為的直線，交雙曲線與A、B兩點，求解：根據題意，建立以雙曲線右焦點為極點的極坐標系即得 附錄直角坐標系中的焦半徑公式 設P（x,y）是圓錐曲線上的點，1、若、分別是橢圓的左、右焦點，則，；2、若、分別是雙曲線的左、右焦點，當點P在雙曲線右支上時，；當點P在雙曲線左支上時，；3、若F是拋物線的焦點，.利用弦長求面積例3設過橢圓的右焦點的弦AB=8，求三角形AOB的面積。點極徑一個為正值一個為負值,長是 或 練習2（08年海南卷）過橢圓的焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，求的面積簡解：首先極坐標方程中的焦點弦長公式求弦長

6、，然后利用公式直接得出答案。練習3(2005年全國高考理科)已知點為橢圓的左焦點.過點的直線與橢圓交于、兩點，過且與垂直的直線交橢圓于、兩點，求四邊形面積的最小值和最大值.解析：以點為極點，建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為：設直線的傾斜角，則直線的傾斜角為，由極坐標系中焦點弦長公式知： ，用他們來表示四邊形的面積 即求的最大值與最小值由三角知識易知：當時，面積取得最小值；當時，面積取得最大值 利用弦長公式解決常量問題例4過橢圓的左焦點F，作傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點，若，求橢圓的離心率.簡解：建立極坐標系，然后利用等量關系，可很快求出離心率。設橢圓的極坐標方程為則，解得；練習4求過

7、橢圓的左焦點，且傾斜角為的弦長和左焦點到左準線的距離。解：先將方程化為標準形式： 則離心率， 所以左焦點到左準線的距為2。設，代入極坐標方程，則弦長（3） 定值問題例5. 拋物線的一條焦點弦被焦點分為a,b的兩段，證明：定值。解：以焦點F為極點，以FX軸為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為，設將A,B兩點代入極坐標方程，得則=（定值）點睛：引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦MN經過焦點F，則有例6經過橢圓的的焦點作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證為定值。證明：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為，又設則代入可得 ，則 注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線

8、不成立。注意使用的范圍。推廣1若經過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數和也為定值。需要以原點為極點建立極坐標方程。推廣2若不取倒數，可以求它們和的最值。例7(2007重慶理改編)中心在原點的橢圓，點是其左焦點，在橢圓上任取三個不同點使證明：為定值，并求此定值解析：以點為極點建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為：，設點對應的極角為，則點與對應的極角分別為、，、與的極徑就分別是 、 與 ，因此，而在三角函數的學習中，我們知道，因此為定值 點睛：極坐標分別表示、與，這樣一個角度對應一個極徑就不會象解析幾何那樣，一個傾斜角，對應兩個點，同時對應兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標表示圓錐曲線的優(yōu)點推廣： 若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例8（2006全國聯(lián)賽江蘇）橢圓的右焦點為F，P1，P2，P24為24個依逆時針順序排列在橢圓上的點，其中P1是橢圓的右頂點，并且P1FP2=P2FP3=P