偏微分方程數(shù)值解試題

1、偏微分方程數(shù)值解試題1、考慮一維的拋物型方程：（1）導(dǎo)出時(shí)間離散是一階向前Euler格式，空間離散是二階精度的差分格式；（2）討論（1）中導(dǎo)出的格式的穩(wěn)定性；（3）若時(shí)間離散為二階精度的蛙跳格式， 空間離散是二階精度的中心差分，問(wèn)所導(dǎo)出的格式穩(wěn)定嗎？為什么？2、考慮Poission方程 其中是圖1中的梯形。 圖1 梯形使用差分方法來(lái)離散該方程。由于梯形的對(duì)稱(chēng)性，可以考慮梯形的一半，如圖2，圖2 從物理空間到計(jì)算區(qū)域的幾何變換為了求解本問(wèn)題，采用如下方法：將的一半投影到正方形區(qū)域，然后在上使用差分方法來(lái)離散該方程。在計(jì)算區(qū)域上用個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，空間步長(zhǎng)為。（1）引入一個(gè)映射將原區(qū)域（帶有坐標(biāo)）變換到單

2、位正方形（帶有坐標(biāo)）。同時(shí)導(dǎo)出在新區(qū)域上的方程和邊界條件。（2）在變換區(qū)域，使用泰勒展開(kāi)導(dǎo)出各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在區(qū)域內(nèi)部和邊界點(diǎn)上的差分格式。3、對(duì)線(xiàn)性對(duì)流方程，其一階迎風(fēng)有限體積法離散格式為=（）（1）寫(xiě)出時(shí)的一階迎風(fēng)有限體積法的離散格式；（2）寫(xiě)出為任意符號(hào)的常數(shù)的一階迎風(fēng)有限體積法的守恒形式。（3）使用說(shuō)明一階迎風(fēng)有限體積法不是熵保持的格式。4、對(duì)一維Poission方程將分成等分，寫(xiě)出用中心差分離散上述方程的差分格式，并問(wèn)：（1）該差分格式與原微分方程相容嗎？為什么？（2）該差分格式穩(wěn)定嗎？為什么？（3）該差分格式是否收斂到原微分方程的解？為什么？（4）取，寫(xiě)出該差分格式的矩陣表示。5、敘述二重

3、網(wǎng)格方法的執(zhí)行過(guò)程，并對(duì)一維常微分方程邊值問(wèn)題給出限制算子和延拓算子矩陣（以細(xì)網(wǎng)格：，粗網(wǎng)格：為例）。6、對(duì)一階波動(dòng)方程 （1）寫(xiě)出用中心差分進(jìn)行空間離散，用一階向后Euler進(jìn)行時(shí)間離散的差分格式；（2）使用線(xiàn)方法，分析上述格式的穩(wěn)定性。7、考慮散熱片的設(shè)計(jì)問(wèn)題。二維散熱片如圖3所示，是由一個(gè)中心柱和4個(gè)水平的子片構(gòu)成；散熱片從底部的均勻通量源通過(guò)大表面的子片散熱到周?chē)目諝庵?。散熱片可由一個(gè)5維參數(shù)向量來(lái)表示，其中，和；可取給定設(shè)計(jì)集中的任意值。是第個(gè)子片熱傳導(dǎo)系數(shù)（是中柱的熱傳導(dǎo)系數(shù)）；Bi是Biot數(shù)，反映在散熱片表面的對(duì)流輸運(yùn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)（大的Bi意味好的熱傳導(dǎo)）。比如，假定我們選擇

4、散熱片具有如下參數(shù)，此時(shí)。中心柱的寬度是1，高度是4；子片的厚度，長(zhǎng)度。我們將輸出溫度看作是的函數(shù)，其中輸出溫度是散熱片底部定常態(tài)溫度的均值，輸出溫度越低，散熱效果越好。在散熱片內(nèi)定常態(tài)溫度分布，由橢圓型方程控制 其中是在的限制，是熱傳導(dǎo)系數(shù)為的散熱片的區(qū)域：是中心柱，對(duì)應(yīng)4個(gè)子片。整個(gè)散熱片區(qū)域記為，的邊界記為。為確保在傳導(dǎo)系數(shù)間斷界面上溫度和熱通量的連續(xù)性，我們有 這里是的外法線(xiàn)。在散熱片的底部引入Neumann邊界條件 來(lái)刻畫(huà)熱源；一個(gè)Robin邊界條件 來(lái)刻畫(huà)對(duì)流熱損失，其中是暴露在流體流動(dòng)中的邊界部分，。在底部的平均溫度，其中。在這個(gè)問(wèn)題中，我們?nèi)?。?）證明滿(mǎn)足弱形式 其中 （2）

5、證明是在中取得極小值的變量 （3）考慮線(xiàn)性有限元空間 找，使得 此時(shí) 運(yùn)用通常的節(jié)點(diǎn)基，我們得矩陣方程 其中 n是有限元空間的維數(shù)。請(qǐng)推導(dǎo)出單元矩陣，單元荷載向量，單元輸出向量；并且描述從單元量獲得總矩陣的程序。8、考慮Poisson方程 其中是單位正方形，定義空間和泛函若，且是上述Poisson方程的解，（1）證明為在空間上的極小值點(diǎn)，其中 （2）證明滿(mǎn)足弱形式 （3）作圖示均勻三角形剖分，步長(zhǎng)，寫(xiě)出下列節(jié)點(diǎn)編號(hào)所對(duì)應(yīng)的剛度矩陣和荷載向量。 (a)節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序?yàn)?b) 節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序?yàn)?4)假定基函數(shù)和節(jié)點(diǎn)有同樣的編號(hào)，寫(xiě)出節(jié)點(diǎn)為的節(jié)點(diǎn)基函數(shù)。9、考慮一維的poisson方程 將區(qū)間分成等份，用中心差分離散二階導(dǎo)數(shù)，完成下列各題：（1） 寫(xiě)出該問(wèn)題的矩陣形式的離散格式：；（2） 記，證明非負(fù)性 有界性 10、交通流問(wèn)題可用如下的非線(xiàn)性雙曲型方程來(lái)刻劃其中是汽車(chē)密度（每公里汽車(chē)的輛數(shù)），是速度。假定速度是密度的函數(shù)： 其中是最大速度，。用如下的Roe格式其中求解下列綠燈亮了問(wèn)題：此時(shí)初始條件為一些參數(shù)如下：。（1） 給出時(shí)問(wèn)題的解；（2） Roe格式滿(mǎn)足熵條件嗎？為什么？11、考慮1D常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題 其中，定義空間和泛函若，且是上述1D常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解，（1）證明為在空間上的極小值點(diǎn)，其中 （2）證明