隨機(jī)變量的數(shù)字特征練習(xí)題

1、窗體頂端1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X 1 2 3 4p 1/81/4 1/2 1/8求E(X),E(X2),E(X+2)2.解. 由離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式可知       E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;      E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8;      E(X+

2、2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.窗體底端窗體頂端2.某種產(chǎn)品共有10件,其中有次品3件.現(xiàn)從中任取3件,求取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差.解.由題意可知,隨機(jī)變量X的取值范圍是0, 1, 2, 3,且取這些值的概率為 ;   ; ; .因此 E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;           

3、0;     E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10; D(X)=E(X2)-(E(X)2=13/10-(9/10)2=49/100.窗體底端窗體頂端3.一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品,在安裝機(jī)器時(shí),從這批零件中任取1個(gè),如果取出的是廢品就不再放回.求在取得合格品之前,已經(jīng)取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.解. 隨機(jī)變量X表示在取得合格品之前,已經(jīng)取出的廢品數(shù).所以 X的所有可能取值為0, 1, 2, 3,且取這些值的概率為 P(X=0)=9/12=3/4 ; &#

4、160;     ;     ;      .所以由數(shù)學(xué)期望公式得到 E(X)=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;     E(X2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=9/22-0.32=0.319.窗體底端窗體頂端4.射擊比賽,每人射四次(每次一發(fā)),約定全

5、部不中得0分,只中一彈的得20分,中兩彈得40分,中三彈得70分,中四彈得100分.某人每次射擊的命中率均為3/5,求他得分的數(shù)學(xué)期望.解. 隨機(jī)變量X表示此人的得分. 根據(jù)題意,可得       ,                 ,           &

6、#160;   ,                 , . 所以                  =54.05.窗體底端窗體頂端5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為 ,求X的數(shù)學(xué)期望和方差.解. 根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差公式可知 ; 又因?yàn)? &#

7、160;        ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=2/12-1/2 .窗體底端窗體頂端6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為 .求X的數(shù)學(xué)期望和方差.解. 根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差公式可知 ,又根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì) 得到                         A=15/

8、16 即 E(X)=1. 又                                ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=8/7-1=1/7.窗體底端窗體頂端7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為 , 且已知方差D(X)=1, 求常數(shù)a和b.解. 顯然常數(shù)a0.由密度函數(shù)的性質(zhì) 可知    根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得到 ;       ;