第六章 非線性微分方程和穩(wěn)定性

1、第六章 非線性微分方程和穩(wěn)定性研究對(duì)象二階駐定方程組（自治系統(tǒng)）1 基本概念1）穩(wěn)定性考慮方程組 （6.1）其中 ，?？偧僭O(shè)在上連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件，區(qū)域,，。如果對(duì)任意給定的，存在（一般與有關(guān)），使得當(dāng)任一滿足時(shí)，方程組（6.1）滿足初始條件的解，均有對(duì)一切成立，則稱方程組（6.1）的零解為穩(wěn)定的。如果方程組（6.1）的零解穩(wěn)定，且存在這樣的，使當(dāng)時(shí)，滿足初始條件的解均有，則稱零解為漸近穩(wěn)定的。如果漸近穩(wěn)定，且存在域，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)滿足初始條件的解均有，則稱域?yàn)椋u近）穩(wěn)定域或吸引域；如果穩(wěn)定域?yàn)槿臻g，即，則稱零解為全局漸近穩(wěn)定的或簡(jiǎn)稱全局穩(wěn)定的。當(dāng)零解不是穩(wěn)定時(shí)，稱它為不穩(wěn)定的。

2、即就是說：如果對(duì)某個(gè)給定的，不論怎樣小，總有一個(gè)滿足，使得由初始條件所確定的解，至少存在某個(gè)使得，則稱方程組（6.1）的零解為不穩(wěn)定的。注：非零解的穩(wěn)定性可以通過平移變換后轉(zhuǎn)化為零解穩(wěn)定性問題來討論。2）相平面與軌線考慮二階非自治微分方程組 （6.2）它的解在以為坐標(biāo)的（歐氏）空間中決定了一條曲線，這條曲線稱為積分曲線。如果把時(shí)間當(dāng)作參數(shù)，僅考慮為坐標(biāo)的（歐氏）空間，此空間稱為方程組（6.2）的相平面，若方程組是含三個(gè)以上未知函數(shù)的，則稱為相空間。在相平面（相空間）中方程組的解所確定的曲線稱為軌線。3）奇點(diǎn)與常點(diǎn)如果方程組（6.2）是駐定方程組（或稱為自治系統(tǒng)），即其右端函數(shù)不顯含時(shí)間。此時(shí)（

3、6.2）式變成 （6.3）滿足方程組的點(diǎn)，即滿足的點(diǎn)，稱為方程組（6.3）的奇點(diǎn)（或平衡點(diǎn)），否則稱為常點(diǎn)。4）周期解、閉軌和極限環(huán)平面自治系統(tǒng)（6.3）的周期解在相平面上對(duì)應(yīng)的軌線稱之為閉軌線，簡(jiǎn)稱閉軌。若在閉軌的充分小的鄰域中， 除之外，再無其它閉軌，稱為孤立閉軌。如果在孤立閉軌的充分小的鄰域中出發(fā)的非閉軌線，當(dāng)（或）都分別盤旋地趨于閉軌，則稱它為系統(tǒng)（6.3）的極限環(huán)。極限環(huán)將平面分為兩個(gè)區(qū)域：內(nèi)域和外域。當(dāng)極限環(huán)附近的軌線均正向(即時(shí))趨近于它時(shí)，稱此極限環(huán)為穩(wěn)定的。如果軌線均負(fù)向(即時(shí))趨近于此極限環(huán)時(shí)，則稱它為不穩(wěn)定的。當(dāng)此極限環(huán)的一側(cè)軌線正向趨近于它，而另一側(cè)軌線負(fù)向趨近于它時(shí)，

4、此極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的。5）李雅普諾夫(Liapunov)函數(shù)（函數(shù)）考慮非線性的自治微分方程組 （6.4）假設(shè)在某區(qū)域（為正常數(shù)）內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)在域上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，）若在上，恒有，則稱函數(shù)為常正的； ）若在上，則稱函數(shù)為定正的； ）若在上，恒有，則稱函數(shù)為常負(fù)的； ）若在上，則稱函數(shù)為定負(fù)的；）若在原點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)既可取正值又可取負(fù)值，則稱為變號(hào)函數(shù)。常正、常負(fù)函數(shù)統(tǒng)稱為常號(hào)函數(shù)；定正、定負(fù)函數(shù)統(tǒng)稱為定號(hào)函數(shù)。以上定義的函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)（函數(shù)）。6）全導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，把函數(shù)稱為關(guān)于系統(tǒng)（6.4）的對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，記為，特別地，如果系統(tǒng)已明確（或不易混淆

5、），符號(hào)的下標(biāo)可略去。2 基本理論與基本方法1）平面系統(tǒng)的奇點(diǎn)分類二維線性自治系統(tǒng)的一般形式為 （6.5）它的系數(shù)矩陣，其特征方程是。將特征方程改寫為，其中。若，是（6.5）的唯一奇點(diǎn)，稱為初等奇點(diǎn)，時(shí), 稱為高階奇點(diǎn)。我們主要研究初等奇點(diǎn)的性態(tài)。定理6.1 對(duì)于系統(tǒng)（6.5），當(dāng)時(shí)，是它的唯一初等奇點(diǎn)（簡(jiǎn)稱為奇點(diǎn)），為矩陣的不為零的特征根，則可以根據(jù)特征根的不同情況將奇點(diǎn)分為以下類型：）若都是實(shí)數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。）若都是實(shí)數(shù)，且，則為鞍點(diǎn)。）若，則當(dāng)時(shí)，為穩(wěn)定奇結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為不穩(wěn)定奇結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)。）為一對(duì)共軛復(fù)根，則當(dāng)時(shí)，為穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為不穩(wěn)定焦

6、點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為中心。注：奇結(jié)點(diǎn)（也稱臨界結(jié)點(diǎn)）是它周圍的軌線均沿確定的方向趨于（或遠(yuǎn)離）它，且不同軌線切向也異。若特征根的初等因子的次數(shù)為1，則對(duì)應(yīng)臨界結(jié)點(diǎn)，初等因子的次數(shù)為2，則對(duì)應(yīng)退化結(jié)點(diǎn)。定理6.2 設(shè)為方程組 （6.6）的孤立奇點(diǎn)，若，滿足條件 在奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)； ，。則如果是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)（6.5）的結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)或鞍點(diǎn)，那么也是非線性系統(tǒng)（6.6）的同類型奇點(diǎn)。2）穩(wěn)定性定理與方法方法1常系數(shù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定一般地，維常系數(shù)線性微分方程組 （6.7）其中為階常數(shù)矩陣。方程組（6.7）的特征方程為 （6.8）。定理6.3 若特征方程（6.8）的根均具有負(fù)實(shí)部，則方程組（6.

7、7）的零解是漸近穩(wěn)定的。若特征方程（6.8）具有正實(shí)部的根，則方程組（6.7）的零解是不穩(wěn)定的。若特征方程（6.8）沒有正實(shí)部的根，但有零根或具零實(shí)部的根，則方程組（6.7）的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的，這要看零根或具零實(shí)部的根其初等因子的次數(shù)是否等于1而定。定理6.4 設(shè)給定常系數(shù)的次代數(shù)方程其中，作行列式，這里。那么，所給代數(shù)方程的一切根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是下列不等式同時(shí)成立：，。注意：這是霍維茲（Hurwitz）定理，用來判別代數(shù)方程根的實(shí)部是否均為負(fù)。方法2 一次（線性）近似系統(tǒng)穩(wěn)定性判定若非線性微分方程組 （6.9）滿足條件，當(dāng)時(shí)。 顯然是方程組（6.9）的解。方程組（6

8、.9）對(duì)應(yīng)的線性方程組 （6.7）稱為方程組（6.9）的一次近似系統(tǒng)（或線性近似系統(tǒng)）。定理6.5 若特征方程（6.8）沒有零根或零實(shí)部的根，則非線性方程組（6.9）的零解的穩(wěn)定性與其線性近似系統(tǒng)（6.7）的零解的穩(wěn)定性態(tài)一致。這就是說，當(dāng)特征方程（6.8）的根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)方程組（6.9）的零解是漸近穩(wěn)定的，而當(dāng)特征方程具有正實(shí)部的根時(shí)，其零解是不穩(wěn)定的。方法3 李雅普諾夫第二方法（函數(shù)法）不必求出方程組的解，而通過構(gòu)造一個(gè)具有特殊性質(zhì)的函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)或函數(shù)）及其通過方程組的全導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，來確定方程組解的穩(wěn)定性。這種方法稱為李雅普諾夫第二方法。以下兩個(gè)定理是這個(gè)方法的具體實(shí)現(xiàn)。定理6.

9、6（李雅普諾夫穩(wěn)定性定理） 對(duì)于微分方程組， （6.4）如果有定正函數(shù)，其通過（6.4）的全導(dǎo)數(shù)為常負(fù)函數(shù)或恒等于零，則方程組（6.4）的零解是穩(wěn)定的； 如果有定正函數(shù)，其通過（6.4）的全導(dǎo)數(shù)為定負(fù)函數(shù)，則方程組（6.4）的零解是漸近穩(wěn)定的；如果存在函數(shù)和某非負(fù)常數(shù)，而通過（6.4）的全導(dǎo)數(shù)可以表示為，且當(dāng)時(shí)為定正函數(shù)，而當(dāng)時(shí)為常正函數(shù)或恒等于零；又在的任意小鄰域內(nèi)都至少存在某個(gè)，使，則方程組（6.4）的零解是不穩(wěn)定的。 定理6.7 如果存在定正函數(shù)，其通過（6.4）的全導(dǎo)數(shù)為常負(fù)函數(shù)，但使得在的點(diǎn)的集合中除零解之外并不包含方程組（6.4）的整條正半軌線，則方程組（6.4）的零解是漸近穩(wěn)定的。 3）極限環(huán)存在性定理定理6.8（龐加萊班狄克生（bendixson）環(huán)域定理） 對(duì)于二階駐定微分方程組(6.3)，設(shè)其右端函數(shù)在相平面的某區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果內(nèi)存在有界的環(huán)形閉域，在其內(nèi)不含有方程組（6.3）的奇點(diǎn)，而（6.3）的經(jīng)過域上點(diǎn)的解，當(dāng)（或）時(shí)不離開該域，則或者其本身是一個(gè)周期解（閉軌線），或者它按正向（或負(fù)向）趨近于內(nèi)的某一周期解（閉軌線）。定理6.9（班狄克生準(zhǔn)則）如果于內(nèi)存在單連通域，在其內(nèi)函數(shù)不變號(hào)且在內(nèi)的任何