專題沖刺滿分模塊綜合串講二課后練習(xí)

1、專題 沖刺滿分-模塊綜合串講(二) 課后練習(xí)主講教師：數(shù)學(xué)高級教師題一：數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，若 a = 3 ，點(diǎn)(S , S) 在直線 y = n +1 x + n +1(n Î N*) 上nn+1nn1nì S üní n ý(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；îþ= a × 2a(2)若數(shù)列b 滿足bb 的前n 項(xiàng)和T，求數(shù)列；nnnnnnTn22n+3> 20 (3)設(shè)C =，求證： C + C + Cn12n27 nban1題二：設(shè) b0，數(shù)列an滿足 a1b，an(n2)an1n1(1) 求數(shù)列

2、an的通項(xiàng)公式；(2) 證明：對于一切正整數(shù) n，2anbn+11.題三：已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S，且滿足4(n +1)(S +1) = (n + 2)2 a (n ÎN*) nnnn(1) 求a1 ， a2 的值；(2) 求an ；n + 1，求證： T < 3 b =(3)設(shè)b的前 n 項(xiàng)和為T，數(shù)列nnnna4n+ a = 2a+ 4 ， 其中題四：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a 滿足 a2= 2a2 + a a， 且 ann+1nn n+1243n Î N * .(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；nan=(2) 設(shè)數(shù)列b 滿足b，是否存在正整數(shù) m, n (1

3、< m < n) ，使得b , b成等, bnn1mn(2n + 1) × 2n比數(shù)列？若存在，求出所有的 m, n 的值；若不存在，請說明理由.+1)2 +1，記數(shù)列cn 的前n 項(xiàng)和為 Sn ，其中 n Î N * ，(3) 令+1)an+2證明：£ S < 1 .5n1622 - 3題五：已知數(shù)列xn 滿足 x1 = 4 ，- 4 .n(1)求證： xn > 3 ；(2)求證： xn+1 < xn .第 - 1 - 頁ì2an +1 ,= ï2題六：已知數(shù)列a 滿足： a= 0 ， a， n = 2 , 3

4、, 4 ,í n +1 + 2an1nïn-122ïî(1)求 a5 , a6 , a7 的值；a (2)設(shè)b =2 -1n，試求數(shù)列 b的通項(xiàng)公式；nn2n(3)對于任意的正整數(shù) n ，試討論 an 與 an+1 的大小關(guān)系第 - 2 - 頁專題 沖刺滿分-模塊綜合串講(二)課后練習(xí)參考題一： (1)見詳解；(2) T = æ 2 n + 1 ö × 22n+3 - 8 ；(3)見詳解.nç 39 ÷èø9) 在直線 y = n +1 x + n +1 (n Î N*) 上

5、，詳解：(1)點(diǎn)(S , Snn+1nSn + n +1n +1 Sn+1 =n兩邊同除以 n +1，得 Sn+1- Sn= 1，n +1nì S üní n ý3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列于是是以îþSn2*(2)由可知，= 3 + (n -1) ´1 = n + 2 ，即 S = n + 2n(n Î N ) ，nn當(dāng) n = 1 時(shí)， a1 = 3 ，當(dāng) n 2 時(shí)， an = Sn - Sn-1 = 2n +1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) n = 1 時(shí)也成立， an = 2n +1(n Î N*) 于是b =

6、a × 2an = (2n +1) × 22n+1 nn Tn = b1 + b2 + 4Tn = 3× 25 + bn+ (2n - 3，相減，： T = æ 2 n + 1 ö × 22n+3 - 8 ç 39 ÷nèø9Tn2n111(3) Cn =+-× ( ) 3994n，2n+322 n(n + C1 + C2 + Cn = 3 ×2= 3n2 + 4n - 111+× ( )n9272742417120> -=2792727題二： 見詳解.詳解：

7、(1)解由 a1b0， nban1 1 n1n1知 a 0，a bb.nan1n1an1n n1令 A ，A .n1abn第 - 3 -頁1 11 1 1 A1 1 11 .當(dāng) n2 時(shí)，An A bn1b bbbn1 bn1bn1bn11b(1bn)bn1當(dāng) b1 時(shí)，An；1nb(b1)1bìnb(b1)nï，b1.níbn1當(dāng) b1 時(shí)，A n.所以 anïî1，b1bn -12nbn (b1 )(2)證明當(dāng) b1 時(shí)，欲證 2anbn+11，只需證 2nbn(bn+11).bn1b -1()()bn1 1 1 1æö

8、nnbn1因?yàn)?bn+11)b2nb2n1bn+1bn1bn 21b b bèøbnbn 1bb12nbn (b1)bn(222)2nbn，所以 2an1bn+1.bn1當(dāng) b1，2an2bn+11.綜上所述，2anbn+11.題三： (1) a =27 ；(2) a =(n +1)3 ；(3)見詳解.2n詳解：(1)當(dāng) n=1時(shí)，有 4´(1+1)(a +1）=（1+2）2a ，a =8 111當(dāng) n=2 時(shí)，有 4´(2 +1)(a + a +1) = (2 + 2)2 a ，a=27 2122(n + 2)2 a(2)當(dāng) n ³ 2 時(shí)，

9、有 4(S +1) =n ，nn +1(n +1)2 a4(S+1) =n-1 n-1n(n + 2)2 a(n +1)2 a(n +1)3a=n -n-1 ，即： n =得： 4ann +1n3nan-1an= an-1 = an-2= = a2 =1(n +1)3(n -1)3n333 a =(n +1)3 (n ³ 2) n(n +1)3aan343a= n × n-1 ×× 2 × a =×××× 2 = (n +1) 33另解： an1n3(n -1)333aaan-1n-21 a =(n +1

10、)3 又 當(dāng) n=1時(shí)，有 a =8 ，1n= n +1 =11= 1 -1<(3)b，na(n +1)2n(n +1) nn +1n11111 T =b + b + b + + b+ b=+ +n-1nn123(n +1)2223242n211111<+ +222´ 32´ 3(n -1)nn(n +1)= 1 + (1 - 1) + (1 - 1) + (- 1 ) + (1 -)11n -1nnn +142334= 1 + 1 -1< 3 42n +14第 - 4 - 頁(1)；(2).使得成等比數(shù)列.；(3)見詳解.題四：，詳解：(1) 因?yàn)?，?

11、的等比數(shù)列. 由又， 所以有，即 所以數(shù)列是公比為.得，.從而，數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)=，若成等比數(shù)列，則，即由，可得，所以，：.又，且，所以，此時(shí).使得成等比數(shù)列.故當(dāng)且僅當(dāng)，(3).遞減，0.511n + 2151£1- ( )× <，即£ S <.1622n +1216n2題五： 見詳解.n+1詳解：用數(shù)學(xué)歸納法證明)當(dāng) n = 1 時(shí)， x1 = 4 > 3所以結(jié)論成立)假設(shè) n = k(n 1) 時(shí)結(jié)論成立，即 xn > 3 ，k - 3)2> 0 則2xk - 42xk - 4所以 xk +1 > 3 即 n = k

12、 +1 時(shí)，結(jié)論成立第 - 5 - 頁由)、)可知對任意的正整數(shù) n ，xn > 3 -x2 + 4x - 3-(x -1)(x - 3)- xn =nn=nnn - 42xn - 42xn - 4> 3 ，所以 -(xn -1)(xn - 3) < 0 ，即 x- x< 0 因?yàn)?xn+1nn2x - 4n所以 xn+1 < xn 題六： (1)5，5，8；(2) b = n -1 ；(3) a > a.nnn+12詳解： a1 = 0 ， a2 = 1+ 2a1 = 1 ， a3 = 2 + 2a1 = 2 ， a4 = 1+ 2a2 = 3 ， a5

13、= 3 + 2a2 = 5 ； a6 = 1+ 2a3 = 5 ； a7 = 4 + 2a3 = 8 由題設(shè)，對于任意的正整數(shù) n ，：2n + 2aa12n+1 -12n -1=+ b ，2nbn+1 =2n+12n+11 bn+1 - bn=2= a21 -1= 0 為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列2 數(shù)列 b是以bn121n -1 bn =2對于任意的正整數(shù) k ，當(dāng) n = 2k 或 n = 1 , 3 時(shí)， an < an+1 ；當(dāng) n = 4k +1時(shí)， an當(dāng) n = 4k + 3時(shí)， an= an+1 ；> an+1 證明如下：首先，由 a1 = 0 ， a2 = 1

14、 ， a3 = 2 ， a4 = 3 可知 n = 1 , 3 時(shí)， an < an+1 ； 其次，對于任意的正整數(shù) k ，n = 2k 時(shí)， an - an+1 = a2k - a2k+1 = (1+ 2ak ) - (k +1+ 2ak ) = -k < 0 ；n = 4k +1時(shí)， an - an+1 = a4k +1 - a4k +2= (2k +1+ 2a2k ) - (1+ 2a2k+1 ) = 2k + 2a2k - 2a2k+1= 2k + 2(1+ 2ak ) - 2(k +1+ 2ak ) = 0= an+1 所以 ann = 4k + 3時(shí)， an - an+

15、1 = a4k +3 - a4k +4= (2k + 2 + 2a2k+1 ) - (1+ 2a2k+2 ) = 2k +1+ 2a2k+1 - 2a2k+2= 2k +1+ 2(k +1+ 2ak ) - 2 (1+ 2ak+1 ) = 4(k + ak - ak+1 ) +1事實(shí)上，我們可以證明：對于任意正整數(shù) k ， k + ak ak +1 (*)(證明見后)，> an+1 所以此時(shí) an綜上可知：結(jié)論得證第 - 6 - 頁對于任意正整數(shù) k ， k + ak ak +1 (*)的證明如下：)當(dāng) k = 2m ( mÎN* )時(shí)，k + ak - ak+1 = 2m + a2m - a2m+1 = 2m + (1+ 2am ) - (m +1+ 2am ) = m > 0 ，滿足(*)式 )