第八章桿件的應力和強度計算

1、1第八章第八章 桿件的應力和強度計算桿件的應力和強度計算 81 應力的概念應力的概念 82 軸向拉壓桿的應力和強度計算軸向拉壓桿的應力和強度計算 83 材料的力學性質材料的力學性質 84 平面彎曲的應力和強度計算平面彎曲的應力和強度計算 85 組合變形構件的強度計算組合變形構件的強度計算2 81 應力的概念應力的概念應力是反映截面上各點處分布內力的集度， 一、應力的概念一、應力的概念如圖 B點處的應力為： AFpAlim0 將應力分解為垂直于截面和相切于截面的兩個分量。垂直于截面的應力分量稱為正應力，用 表示，與截面相切的應力分量稱為剪應力，用 表示。3 應力的符號規(guī)定：正應力以拉為正，壓為負

2、。當剪應力使 隔離體有繞隔離體內一點順時針轉動趨勢時，該剪應力為正；反之為負。 量綱： 力/長度2N/m2 Pa通常用 MPaN/mm2 10 6 Pa有些材料 GPa kN/mm2 10 9 Pa工程上用 kg/cm2 0.1 MPa482軸向拉壓桿軸向拉壓桿 應力和強度計算應力和強度計算一、橫截面上的應力一、橫截面上的應力 求應力，先要找到應力在橫截面上的分布情況。應力是內力的集度，而內力與變形有關，所以可以由觀察桿件變形來確定應力在截面上的分布規(guī)律。平面假設：變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且垂直于桿軸線。設想桿件由無數根平行于軸線的縱向纖維組成觀察到如下現象：1）橫向線縮短，

3、但仍保持為直線，且仍互相平行并垂直于桿軸線。2）縱向線仍保持與桿軸線平行。 5平面假設平面假設各纖維伸長相同各纖維伸長相同各點內力相等各點內力相等應力在橫截面應力在橫截面上均勻分布上均勻分布AdAdAdFFAAANN作用在桿橫截面上的內力為：正應力的計算公式為： AFN正應力的正負號與軸力FN相同，拉為正，壓為負。式中：FN -軸力；A-桿件的橫截面面積6例例 圖所示為一民用建筑磚柱，上段截面尺寸為240240mm ，承受荷載FP150kN；下段370370mm，承受荷載FP2100kN。試求各段軸力和應力。解：1)求軸力kNFFPN5011kNFFFppN1502122)求應力MPaAFN8

4、7. 024024010503111MPaAFN1 . 13703701015032227二、強度計算二、強度計算強度條件：maxAFN式中： - 稱為最大工作應力 - 稱為材料的許用應力max -桿件橫截面上的軸力；A桿件的危險截面的橫截面面積；NF對等直桿來講，軸力最大的截面就是危險截面；對軸力不變而截面變化的桿，則截面面積最小的截面是危險截面。 8LNLLAFmaxYYNYAFmax若拉壓桿材料的容許拉應力1和容許壓應力y的大小不相等，則桿件必須同時滿足下列兩個強度條件： 根據上述強度條件，可以進行三種類型的強度計算：1)強度校核 在已知荷載、桿件截面尺寸和材料的容許應力的情況下，驗算桿

5、件是否滿足強度要求。若 ，則桿件滿足強度要求；否則說明桿件的強度不夠。92）截面選擇在已知荷載、材料的容許應力的情況下，由 來確定桿件的最小橫截面面積。 NFA3）確定容許荷載 在已知桿件的截面面積和材料容許應力的情況下，由 來求出桿件的最大荷載值。 AFN10例例：一直徑d=14mm的圓桿，許用應力=170MPa，受軸向拉力FP=2.5kN作用，試校核此桿是否滿足強度條件。解：解：MPa16210144105 . 2623maxmaxAFN滿足強度條件。118-3 8-3 材料的力學性質材料的力學性質為了解決構件的強度和變形問題，必須了解材料的一些力學性質，而這些力學性質都要通過材料實驗來測

6、定。工程材料的種類雖然很多，但依據其破壞時產生變形的情況可以分為脆性材料和塑性材料兩大類。脆性材料在拉斷時的塑性變形很小，如鑄鐵、混凝土和石料等，而塑性材料在拉斷時能產生較大的變形，如低碳鋼等。這兩類材料的力學性質具有明顯不同的特點，通常以低碳鋼和鑄鐵作為代表進行討論。試驗條件及試驗儀器：1、試驗條件：常溫(20)；靜載（及其緩慢地加載）；標準試件。2、試驗儀器：萬能材料試驗機；變形儀（常用引伸儀）。1213一、拉伸時材料的力學性質一、拉伸時材料的力學性質1應力-應變曲線討論低碳鋼（Q235鋼）試件的拉伸圖如圖a) 為了消除試件的橫截面尺寸和長度的影響，將拉伸圖改為- 曲線，下面根據- 曲線來

7、介紹低碳鋼拉伸時的力學性質。低碳鋼拉伸試件從加載開始到最后破壞的整個過程，大致可以分為四個階段： 1）彈性階段（ Ob段） b點所對應的應力稱為材料的彈性極限（ ）pa點所對應的應力叫做比例極限（ ） eE tgE 142）屈服階段（cd段） 當應力超過彈性極限之后，應變增加很快，而應力保持在一個微小的范圍內波動，這種現象稱為材料的屈服，在曲線上表現為一段近于水平的線段。 c點所對應的應力稱為屈服極限（或流動極限），用s 來表示。 3）強化階段（de段） 材料經過屈服階段后，其內部的組織結構有了調整，使其又增加了抵抗變形的能力，在曲線上表現為應力隨著應變的增加，這種現象稱為材料的硬化。最高點e

8、所對應的應力稱為材料的強度極限，用b來表示。 4）頸縮階段（ef段） 應力超過b 之后，試件開始出現非均勻變形，可以看到在試件的某一截面開始明顯的局部收縮，即形成頸縮現象（如圖）。曲線開始下降，最后至f點，試件被拉斷。 15頸縮現象2.材料的延伸率和截面收縮率延伸率(delta) 100)(1LLL% 截面收縮率(psi) 100)(1AAA% 工程上常把5%的材料稱為塑性材料 而把5%的材料稱為脆性材料 和是衡量材料塑性性能的兩個主要指標，和值越大，說明材料的塑性越好。 163彈性模量和泊松比 彈性材料在受力和變形過程中，其應力和應變成正比關系，這就是虎克定律。 彈性模量：應力和應變的比值，

9、叫做彈性模量，用E來表示。 泊松比：橫向線應變與縱向線應變的比值稱為泊松比，用 來表示。 4冷作硬化若使材料應力超過屈服階段并在進入強化階段后卸載，則當再度加載時，材料的比例極限和屈服極限都將有所提高，同時，其塑性變形能力卻有所降低，這種現象稱為材料的冷作硬化。工程中常用冷作硬化的方法來提高鋼筋和鋼絲的屈服強度，并把它們稱為冷拉鋼筋和冷拔鋼絲。17二、壓縮時材料的力學性質二、壓縮時材料的力學性質 -鑄鐵壓縮強度極限； （4 4 6 6）bybybl188-4 8-4 平面彎曲梁的應力與強度計算平面彎曲梁的應力與強度計算 梁在垂直于桿軸線的外荷載作用下，在橫截面上一般要產生兩種內力：彎矩和剪力，

10、從而，在橫截面上將存在兩種應力：正應力和剪應力。 一、梁的正應力與強度計算一、梁的正應力與強度計算 為了使研究問題簡單，下面以矩形截面梁為例，先研究純彎梁橫截面上的正應力。 純彎梁：是指受力彎曲后，橫截面上只有彎矩而沒有剪力的梁，如圖所示AB梁的CD段。 191.梁的彎曲變形現象及應力計算假設觀察到以下變形現象:1）變形前互相平行的縱向線在變形后都變成了弧線且靠上部的縱向線縮短了，靠下部的縱向線伸長了。2）變形前垂直于縱向線的橫向線 ，變形后仍為直線，且它們相對轉動了一個角度后仍與彎曲了的縱向線正交。20根據上述現象，作如下假設：梁變形前的截面在變形后仍為一平面，只是繞截面內的某一軸旋轉了一個

11、角度，并且依然與彎曲后的桿件軸線垂直。梁在純彎曲時的平面假設平面假設：單向受力假設單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。 梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層中性層。 中性層與橫截面的交線稱為中性軸中性軸。（見下圖）推論推論：21中性軸將橫截面分為受壓和受拉兩個區(qū)域。 2.梁的正應力計算公式 ZIMy 式中 M截面的彎矩； Iz截面對中性軸的慣性矩； y欲求應力的點到中性軸的距離。 正應力與M和y成正比，與 Iz成反比。正應力沿截面高度呈直線分布，如圖

12、所示，距中性軸愈遠就愈大，在中性軸上正應力等于零。221)對于梁的某一橫截面來說，最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的地方，其值為： ZIMymaxmax 2)對于等截面梁，最大正應力發(fā)生在彎矩最大的截面上，其值為： zZWMIyMmaxmaxmaxmax Wz抗彎截面系數， maxyIWZzWz與梁的截面形狀有關，Wz愈大，梁中的正應力愈小。 矩形截面: 62maxbhyIWZZ 圓形截面： 323maxDyIWZ 233.強度條件 ZWMmaxmax 1）當梁材料的抗拉和抗壓的能力相同時，其正應力強度條件： 2）當梁材料的抗拉抗壓能力不同時，應分別對拉應力和壓應力建立強度條件： LzLLIyMm

13、axmaxYzYYIyMmaxmax24根據強度條件，可解決下列工程中常見的三類問題：已知外力、截面形狀尺寸、許用應力，校核梁的強度；已知外力、截面形狀、許用應力，設計梁的截面尺寸；已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷。25 例：例：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比FP1FP2？26解解：6211max1max1bhLFWMPz6222max2max2hbLFWMPz:2max1max得由bhFFPP2127例例 外伸梁受力作用及其截面如圖所示。已知材料的容許拉應力L=30MPa ，容許壓應力y=70MPa ,試校核

14、梁的正應力強度。 解 1) 畫彎矩圖 B截面有最大負彎矩，C截面有最大正彎矩。 2) 確定中性軸位置及計算截面對中性軸的慣性矩。 mm1393020017030185302008517030iCiiCAyAy28)(2AaIIzcz462323103 .404630200123020054170301217030mm3）強度校核 B截面強度校核：該截面彎矩為負值，最大拉應力發(fā)生在截面的上邊緣；最大壓應力發(fā)生在截面的下邊緣。LzBLMPaIyM3 .30103 .4061102066max上YzByMPaIyM69103 .40139102066max下29C截面強度校核：該截面的彎矩為正值，最

15、大壓應力發(fā)生在截面的上邊緣；最大拉應力發(fā)生在截面的下邊緣。YzCyMPaIyM1 .15103 .4061101066max上LzCLMPaIyM5 .34103 .40139101066max下所以梁的強度不夠。C截面的彎矩絕對值雖不是最大，但因截面受拉邊緣距中性軸較遠，而求得的最大拉應力較B截面大。所以當截面不對稱于中性軸時，對梁的最大正彎矩與最大負彎矩截面都要進行強度校核，確保梁的強度足夠。30二、矩形截面梁的剪應力計算及剪應力強度條件二、矩形截面梁的剪應力計算及剪應力強度條件1矩形截面梁的剪應力計算公式假設：1）截面上各點剪應力的方向都平行于截面上剪力的方向。2）剪應力沿截面寬度均勻分

16、布，即距中性軸等距離各點處的剪應力相等。梁上任一截面中cc線上的剪應力計算公式為： bISFzzQ 式中IbhZ312,2242yhbSZ31式中 ： FQ為截面的剪力； Sz 為面積A* 對中性軸的面積矩； A*是過欲求應力點的水平線與截面邊緣間的面 積； b為截面的寬度； Iz 為截面對中性軸的慣性矩。 剪力和面積矩均為代數量，在計算剪應力時，可用絕對值代入，剪應力的方向可由剪力的方向來確定，即與FQ方向一致。進一步的分析表明，矩形截面梁中的剪應力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布，在截面上下邊緣處，剪應力為零，在中性軸處，剪應力最大，為截面平均剪應力的1.5倍。 322梁的剪應力強度條件 b

17、ISFzZQmaxmaxmax 在進行梁的強度計算時，必須同時滿足正應力和剪應力強度條件，但在一般情況下，梁的強度計算大多是由正應力強度條件控制的。因此，在選擇截面時，一般都是先按正應力強度條件來計算，然后再用剪應力強度條件進行校核。AFbhFQQ2323max矩形截面的最大剪應力圓截面的最大剪應力AFQ34max對于工字形和T形截面，剪應力主要集中在腹板上，翼緣處的剪應力很小，最大剪應力也發(fā)生在中性軸上。 33 例：例：圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應力=160MPa，=100MPa，試求最小直徑dmin。解：解：1)求內力kN,40maxQFmkN4082maxqlM2）由正應力強

18、度條件：maxmax MWz即40103216010336d得d 137mm3）由剪應力強度條件：34maxmaxAFQ即434010410010326d得d 261 . mm所以dmin137mm348-5 8-5 組合變形構件的強度計算組合變形構件的強度計算 在實際工程結構中，桿件的受力情況是比較復雜的，往往不是發(fā)生單一的基本變形，而是同時發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形，這類變形稱為組合變形。 本節(jié)將介紹組合變形下桿件的應力和強度的計算方法，主要介紹偏心彎曲和斜彎曲情形。 偏心彎曲 斜彎曲 35一、斜彎曲一、斜彎曲1.正應力的計算 梁發(fā)生斜彎曲時，梁上將同時存在有正應力和剪應力。由于剪應力一

19、般都很小通常多不考慮。下面介紹梁斜彎曲時正應力的計算方法。 如圖所示為一斜彎曲梁，在FP作用下，k點處的正應力為： )sincos(yzyyzzIzIyMIzMIyM應力的正負號可采用直觀法來斷定。首先根據FPy 和FPz 單獨作用下判斷出 和 的正負號，然后就可判斷出的正負號。 362.正應力強度條件若材料的抗拉抗壓強度相等，梁斜彎曲時的強度條件為: yyzzWMWMmaxmaxmax根據這一強度條件，同樣可以進行強度校核、截面設計和確定許可荷載。在運用上式進行截面設計時，由于存在Wz 和Wy 兩個未知量,可以先假設一個Wz/Wy之值 對于矩形截面： Wz/Wy=h/b（一般取1.22） 工

20、字形截面：Wz/Wy=810 槽鋼截面：Wz/Wy=68 37例例 跨長為3m的矩形截面木檁條，受集度為q=800N/m的均布荷載的作用，檁條材料的容許應力 =12MPa，試按正應力強度條件選擇此檁條的截面尺寸，見下圖解：1）先將q分解為沿對稱軸y和z的兩個分量：mNqqy3583426sin800sin0mNqqz7153426cos800cos038再分別求出qy 和qz 產生的最大彎矩，它們位于檁條的跨中截面上，此兩個彎矩的值為：mkNLqMyz403812maxmkNLqMzy804812max2）根據強度條件，先假設截面的高寬比Wy/Wz=h/b=1.5 610124035 . 18

21、04zZWW3265 . 161bhbWz由 得 b=6.7910-2m h=1.5b=0.102m 故選用70mm100mm的矩形截面。39二、拉伸（壓縮）與彎曲二、拉伸（壓縮）與彎曲 當桿件上同時作用有橫向力和軸向力時，橫向力將使桿件彎曲，軸向力將使桿件發(fā)生伸長或縮短，因而桿件的變形為拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形 1.正應力的計算在FN、FP共同作用下橫截面上任一點的正應力為：zzNIyMAF的正負可根據FN來判定， 的正負可根據梁的彎曲變形來判定。402.正應力強度條件 zWMANmaxmax三、偏心拉伸（壓縮）三、偏心拉伸（壓縮）如圖一偏心受拉桿件，平行于桿件軸線的拉（壓）力FP的作用點不在截面的形心主軸上，而是位于到z、y軸的距離分別為ey 和ex 的任一點處，這類偏拉伸（壓縮）稱為雙向偏心拉伸（壓縮）。 yzzyyyzzIzPeIyPeAPIzMIyMAP41例例如 圖所示的偏心受壓桿，已知h=300mm，b=200mm，FP=42kN,偏心距ey=100mm，ez=80mm,試求AA截面上的A、B、C和D點的正應力。解：首先將力FP平移到截面的形心處mNeFMzPy42001 . 010423mNe