復(fù)數(shù)域上的極限與連續(xù)

1、第三講 復(fù)數(shù)域上的極限與連續(xù)一定義距離(兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的距離)兩個(gè)復(fù)數(shù)的距離為.有了兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的距離后,容易得出下面的結(jié)論(如圖2.1). 二復(fù)數(shù)序列的極限復(fù)數(shù)列,存在,使得對,當(dāng)時(shí),有. 圖2.1引理 若,則.三復(fù)函數(shù)的極限定義 設(shè)單值函數(shù),是D的一個(gè)聚點(diǎn)(非孤立點(diǎn)).若對于,當(dāng)時(shí),有,則稱當(dāng)時(shí)以A為極限,記為.引理 設(shè),則有.四復(fù)函數(shù)的連續(xù)定義 設(shè)定義在復(fù)數(shù)集D上,是D的一個(gè)聚點(diǎn),若,則稱在點(diǎn)連續(xù).注:若點(diǎn)是D的一個(gè)孤立點(diǎn),則在點(diǎn)連續(xù).引理 復(fù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).復(fù)函數(shù)在點(diǎn)集D上的每一點(diǎn)連續(xù),則是D上的連續(xù)函數(shù).五復(fù)級數(shù)定義 設(shè)復(fù)數(shù)列,復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前項(xiàng)之和,然而得部分和序列,級數(shù)和,

2、即.引理 復(fù)數(shù)列,若,有.絕對收斂:級數(shù)收斂,則稱絕對收斂.級數(shù)絕對收斂當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)和級數(shù)收斂.六復(fù)函數(shù)列設(shè)復(fù)函項(xiàng)級數(shù),在點(diǎn),使復(fù)數(shù)列收斂,則稱復(fù)函數(shù)列在點(diǎn)收斂,稱為復(fù)函數(shù)列的收斂點(diǎn).收斂域=所有收斂點(diǎn).復(fù)函項(xiàng)級數(shù)絕對收斂收斂.補(bǔ)充內(nèi)容:實(shí)數(shù)域上有 下面把上面的情況推廣到復(fù)數(shù)域上:(1)形式上的令()由得.下面是對Euler公式的嚴(yán)格定義和證明:設(shè),對,令得到序列,不妨設(shè),那么 (1)再對實(shí)數(shù)序列進(jìn)行分析,收斂于,因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則有由(1)可知也是柯西序列,所以收斂.記的極限為,即定義級數(shù)收斂且絕對收斂,收斂域?yàn)檎麄€(gè)復(fù)數(shù)域.(2)形式上的令定義序列,利用上面同樣的方法,可得(3)同理,也有由(1)(2)(3)得證(Euler公式).練習(xí):1. 設(shè)(1)表示為實(shí)部虛部的形式;(2)求;(3)求的Euler指數(shù)表示;(4)的三角表達(dá)式;解 (1),.(2); .(3).(4).2. 求(1);(2);(3);(4).解 (1).(2).(3).(4).3.