均值不等式求最值的十種方法

1、用均值不等式求最值的方法和技巧一、幾個(gè)重要的均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立.注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：。一、拼湊定和通過(guò)因式分解、納入根號(hào)內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例 (1) 當(dāng)時(shí)，求的最大值。 (2)已知，求函數(shù)的最大值。解： 。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：通過(guò)因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形

2、式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值。例2 求函數(shù)的最大值。解：。因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：將函數(shù)式中根號(hào)外的正變量移進(jìn)根號(hào)內(nèi)的目的是集中變?cè)?，為“拼湊定和”?chuàng)造條件。例3 已知，求函數(shù)的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故，又。二、 拼湊定積通過(guò)裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，配項(xiàng)湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。例4 (1)已知，求函數(shù)的最大值(2)設(shè)，求函數(shù)的最小值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：有關(guān)分式的最值問(wèn)題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹?/p>

3、的形式，然后“拼湊定積”，往往是十分方便的。例5 已知，求函數(shù)的最大值。解：，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：有關(guān)的最值問(wèn)題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法將分母“拼湊定積”。例6 已知，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)椋?，令，則。所以。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：通過(guò)有理代換，化無(wú)理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡(jiǎn)，化難為易，創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境。三、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問(wèn)題。例5、已知正數(shù)滿(mǎn)足，試求、的范圍四、拼湊常數(shù)降冪例7 若，求證：。分析：基本不等式等號(hào)成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能，它能在“等”與“不等”

4、的互化中架設(shè)橋梁，能為解題提供信息，開(kāi)辟捷徑。本題已知與要求證的條件是，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項(xiàng)，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。評(píng)注：本題借助取等號(hào)的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡(jiǎn)潔明了。例8 若，求的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故的最大值為7。例9 已知，求證：。證明：，又，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。五、拼湊常數(shù)升冪例10 若，且，求證。分析：已知與要求證的不等式都是關(guān)于的輪換對(duì)稱(chēng)式，容易發(fā)現(xiàn)等號(hào)成立的條件是，故應(yīng)拼湊，巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：，當(dāng)且

5、僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。例11 若，求證：。證明：。又。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。六、約分配湊通過(guò)“1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊，使分母能約去或分子能降次。例12 已知，求的最小值。 解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，上式取“=”，故。例13 已知，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)?，所以。所以。?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，上式取“=”，故。例14 若，求證。分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于的輪換對(duì)稱(chēng)式，當(dāng)時(shí)，等式成立。此時(shí)，設(shè)，解得，所以應(yīng)拼湊輔助式為拼湊的需要而添，解題可見(jiàn)眉目。證明：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。七、引入?yún)?shù)拼湊 某些復(fù)雜的問(wèn)題難以觀察出匹配的系數(shù)

6、，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開(kāi)辟解題捷徑。例15 已知，且，求的最小值。解：設(shè)，故有。當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時(shí)，故的最小值為36。八、 引入對(duì)偶式拼湊 根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個(gè)與之對(duì)偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。例16 設(shè)為互不相等的正整數(shù)，求證。證明：記，構(gòu)造對(duì)偶式，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，所以，因此。評(píng)注：本題通過(guò)對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式。九、確立主元拼湊 在解答多元問(wèn)題時(shí)，如果不分主次來(lái)研究，問(wèn)題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。例17 在中，證明。分析：為輪換對(duì)稱(chēng)式，即的地位相同，因此可選一個(gè)變?cè)獮橹髟?，將其它變?cè)醋鞒Ａ浚ü潭ǎ?，減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，化陌生為熟悉。證明：當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立。 當(dāng)時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)，即為正三