圓錐曲線(xiàn)中典型問(wèn)題的求解策略與方法

1、圓錐曲線(xiàn)中典型問(wèn)題的求解策略與方法 圓錐曲線(xiàn)中的幾個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題久考不衰，且常考常新，因此，掌握其求解的基本策略與方法是至關(guān)重要的。一. 求曲線(xiàn)方程問(wèn)題 求曲線(xiàn)方程問(wèn)題的基本形式有兩種：一是已知曲線(xiàn)的形狀與位置關(guān)系求曲線(xiàn)方程，即通常所說(shuō)的“求曲線(xiàn)方程”問(wèn)題，求解的基本策略是：根據(jù)題設(shè)的“定位”條件，合理選擇曲線(xiàn)方程形式，根據(jù)“定量”條件利用待定系數(shù)法建立關(guān)于特征參數(shù)（a、b、c、e、p）的方程（組），解出有關(guān)參數(shù)，得到所求曲線(xiàn)方程。二是題設(shè)條件給出了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但難以判斷曲線(xiàn)類(lèi)型和方程的具體形式，即通常所說(shuō)的“求軌跡方程”問(wèn)題，求解的基本策略是：分析清楚動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律（動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何條件）

2、，把該條件坐標(biāo)化，使條件坐標(biāo)化的常用方法有定義法、直接法、代點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、向量法等。 例1. 如圖1所示，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)和焦點(diǎn)分別是雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)和右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)及雙曲線(xiàn)在第一象限分別交于A、B兩點(diǎn)，且A為OB中點(diǎn)。圖1 （1）當(dāng)時(shí)，求雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率； （2）在（1）的條件下，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)在y軸上截距為，求拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)方程。 分析：（1）注意，故需求出e； （2）由題意知雙曲線(xiàn)方程為 根據(jù)已知條件利用特征參數(shù)a、b、c、p的關(guān)系可獲解 解：（1）由，得點(diǎn)A（p，）或A（）（舍去） 由A是OB的中點(diǎn)，得點(diǎn)B（2p，） 則，且點(diǎn)B到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 由離心率及雙曲線(xiàn)定義，得：

3、 （2）依題意設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，則雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，由漸近線(xiàn)在y軸上截距為，得，從而知雙曲線(xiàn)的半焦距c4。 由，得 所求雙曲線(xiàn)方程為 所求拋物線(xiàn)方程為 評(píng)注：圓錐曲線(xiàn)中的特征參數(shù)a、b、c、e、p（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離）及其間的關(guān)系：（橢圓取“”，雙曲線(xiàn)取“”），反映了圓錐曲線(xiàn)的本質(zhì)屬性，且與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，在解決圓錐曲線(xiàn)的諸多問(wèn)題中起著十分重要的作用。二. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題 求解的基本策略是，將其轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程的方程組的解的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)根問(wèn)題，因而判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、焦半徑公式的應(yīng)用，以及設(shè)而不求、整體代入、數(shù)形結(jié)合的思想方法技巧在這里

4、起著極為重要的作用。 例2. 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn)A、B。 （1）以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，求k的值。 （2）是否存在k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析：（1）所給圓過(guò)原點(diǎn)的條件為（C為AB中點(diǎn)），將其轉(zhuǎn)化為k的方程；（2）用假設(shè)法求解。 解：（1）將代入，消去y，得： 依題意知，由，得或或 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)C（x0，y0），由韋達(dá)定理，得 于是 即C（） 因以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則在RtAOB中，由兩點(diǎn)距離公式及弦長(zhǎng)公式，得： 化簡(jiǎn)，得，解得或（舍去） （2）假設(shè)存在k，使A、B關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段

5、AB，于是且AB中點(diǎn)在直線(xiàn)上。 由與聯(lián)立，消去y，得： 由韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式，可得AB中點(diǎn)C（） 顯然點(diǎn)C不在直線(xiàn)上，故滿(mǎn)足條件的k不存在。 評(píng)注：（1）中要注意圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)方程聯(lián)立得到相應(yīng)的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，對(duì)它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響；（2）屬探索型問(wèn)題，也是高考中的常見(jiàn)題型，基本解法有假設(shè)法、反證法。三. 最值問(wèn)題 求解的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當(dāng)題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可用圖形性質(zhì)來(lái)解；二是從代數(shù)角度考慮，當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、

6、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等。 例3. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，設(shè)，試求m的最小值。圖2 分析：設(shè)AB與x軸交點(diǎn)為M（t，0），則可根據(jù)題設(shè)條件利用向量數(shù)量積建立目標(biāo)函數(shù)。 解：如圖2，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)M（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）。當(dāng)AB與x軸斜交時(shí)，設(shè)AB： 由，得 當(dāng)軸時(shí)，上面結(jié)論仍成立。 由已知條件 得 當(dāng)tp時(shí)， 評(píng)注：選取自變量t是關(guān)鍵，這是一道立意新穎、涉及知識(shí)點(diǎn)多且難度適中的好題。四. 參數(shù)范圍問(wèn)題 求解的基本策略是構(gòu)建以待定參數(shù)為主元的關(guān)系式。常用方法有：不等式法（列出關(guān)于待定參數(shù)的不等式組，解得待定參數(shù)的范圍），函數(shù)法。 例4. 如圖3，拋物線(xiàn)的一段與橢圓的一段圍成封閉圖形，點(diǎn)N（1，0）在x軸上，又A、B兩點(diǎn)分別在拋物線(xiàn)及橢圓上，且AB/x軸，求NAB的周長(zhǎng)l的取值范圍。圖3 分析：利用l與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)和橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)之間的距離關(guān)系是求解的關(guān)鍵。 解：易知N為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，又