變化率與導(dǎo)數(shù)學(xué)案

1、§1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)學(xué)案§1.1.1 變化率問題學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解平均變化率的概念; 2.了解平均變化率的幾何意義; 3.會求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率.教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率.教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念.教學(xué)過程： (一)問題提出問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?hto 分析： (1)當(dāng)從增加到時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 (2)當(dāng)從增加到時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 可以看出： 思考: 當(dāng)空氣容量從V

2、1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度(單位:)與起跳后的時間(單位:)存在函數(shù)關(guān)系.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?思考計算: 和的平均速度探究: 計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度,并思考以下問題:(1)運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？ (二)平均變化率概念1.上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)從到的平均變化率.2.若設(shè), (這里看作是對于的一個“增量”可用代替,同樣)則平均變化率為思考: 觀察函數(shù)的圖象平均變化率表示什么?三、典例分析例1 已知函

3、數(shù)的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn)則 .解: 例2 求在附近的平均變化率.解: 四、課堂練習(xí)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為,則在時間中相應(yīng)的平均速度為 .2.物體按照的規(guī)律作直線運(yùn)動,求在附近的平均變化率.3.過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線,求出當(dāng)時割線的斜率.五、課堂反饋1 設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時，函數(shù)的改變量為（）ABCD2 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為，則在一段時間內(nèi)的平均速度為（）A4B8C6D63 將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加，則球的表面積增加等于（）ABCD4 在曲線的圖象上取一點(diǎn)（1,2）及附近一點(diǎn)，則為（）ABCD5 在高臺跳水運(yùn)動中，若運(yùn)動員離水面的高度h（單位：m）與起跳后時間t（單位：s）的函數(shù)

4、關(guān)系是，則下列說法不正確的是（）A在這段時間里，平均速度是B在這段時間里，平均速度是C運(yùn)動員在時間段內(nèi)，上升的速度越來越慢D運(yùn)動員在內(nèi)的平均速度比在的平均速度小§1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解瞬時速度、瞬時變化率的概念;2.理解導(dǎo)數(shù)的概念,知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù),體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;3.會求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)重點(diǎn)：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念.學(xué)習(xí)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景hto (一)平均變化率：(二)探究探究: 計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度,并思考以下問題:(1)運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)

5、有什么問題嗎？探究過程: 二、學(xué)習(xí)新知1.瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.運(yùn)動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度,那么,如何求運(yùn)動員的瞬時速度呢？比如,時的瞬時速度是多少？考察附近的情況:思考: 當(dāng)趨近于時,平均速度有什么樣的變化趨勢？結(jié)論: 小結(jié): 2.導(dǎo)數(shù)的概念從函數(shù)在處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù),記作或即說明: (1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在處的瞬時變化率; (2),當(dāng)時,所以.三、典例分析例1 (1)求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)在附近的平均變化率,并求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).分析: 先求,再求,最后求.解: (1) (2) 例2 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種

6、不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第時,原油的溫度(單位:)為,計算第時和第時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.解: 注: 一般地,反映了原油溫度在時刻附近的變化情況.四、課堂練習(xí)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為,求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時速度為.2.求曲線在時的導(dǎo)數(shù).3.例2中,計算第時和第時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.五、課堂反饋1自變量由變到時，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)（ ）A 在區(qū)間上的平均變化率 B 在處的變化率C 在處的變化率D 在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)2下列各式中正確的是（ ）A B C D 3設(shè)，若，則的值（ ）A 2 B . 2C 3 D 34任一做直線運(yùn)動的物體，其

7、位移與時間的關(guān)系是，則物體的初速度是（ ）A 0 B 3C 2 D 5函數(shù)， 在處的導(dǎo)數(shù)是 6，當(dāng)時 ， 7設(shè)圓的面積為A，半徑為，求面積A關(guān)于半徑的變化率。8（1）已知在處的導(dǎo)數(shù)為,求及的值。（2）若,求的值.9槍彈在槍筒中運(yùn)動可以看作勻速運(yùn)動，如果它的加速度是，槍彈從槍口，射出的時間為，求槍彈射出槍口時的瞬時速度。§1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系;2.理解曲線的切線的概念;3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題.教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.學(xué)習(xí)過程：一、

8、創(chuàng)設(shè)情景(一)平均變化率、割線的斜率(二)瞬時速度、導(dǎo)數(shù)我們知道,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時變化率,反映了函數(shù)在附近的變化情況,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？二、學(xué)習(xí)新知(一)曲線的切線及切線的斜率如圖,當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時,割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn):問題: (1)割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系？ (2)切線的斜率為多少？說明: (1)設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)時,割線的斜率,稱為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).(2)曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切

9、線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個,甚至可以無窮多.(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率,即說明: 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:求出點(diǎn)的坐標(biāo);求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程.(三)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時,是一個確定的數(shù),那么,當(dāng)變化時,便是的一個函數(shù),我們叫它為的導(dǎo)函數(shù).記作:或,即.注: 在不致發(fā)生混淆時,導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).(四)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量

10、之比的極限,它是一個常數(shù),不是變數(shù).(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)而言的,就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(3)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,這也是求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.三、典例分析例1 (1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解: 例2 如圖3.1-3,它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù),根據(jù)圖像,請描述、比較曲線在、附近的變化情況.解: 例3 如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時間(單位:)變化的圖象.根據(jù)圖像,估計時,血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到).解: 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率

11、0.40-0.7-1.4四、課堂練習(xí)1.求曲線在點(diǎn)處的切線.2.求曲線在點(diǎn)處的切線.五、課堂反饋1曲線在處的（ ）A 切線斜率為1 B 切線方程為 C 沒有切線 D 切線方程為2已知曲線上的一點(diǎn)A（2，8），則點(diǎn)A處的切線斜率為（ ）A 4 B 16 C 8 D 23函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是（ ）A 在點(diǎn)處的函數(shù)值 B 在點(diǎn)處的切線與軸所夾銳角的正切值C 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率 D 點(diǎn)與點(diǎn)（0，0）連線的斜率4已知曲線上過點(diǎn)（2，8）的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A 1 B 1 C 2 D 25若，則（ ）A 3 B 6 C 9 D 126設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件，則曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線