學(xué)年論文 (1)new

1、方程非振動(dòng)性解的條件賴玉蓮 翻譯（廣東石油化工學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)08-？，學(xué)號(hào)：？）原作者：J.H.shen數(shù)學(xué)系，湖南長(zhǎng)沙師范學(xué)院，中國(guó)湖南410081email：jhshI.P.SAVROULAKIS數(shù)學(xué)系，尼納大學(xué)，451 10尼納，希臘Email：ipstav.qcc.uoi.gr(2000年9月25日收到, 2001年7月20日接受)摘要考慮二線性函數(shù)方程 .(*)其中，單調(diào)遞增，t或者0且是固定值。在上述文件正在審議的方程被稱為連續(xù)變量（或連續(xù)變量或持續(xù)時(shí)間）差分方程的很可能是固定的時(shí)間在這些方程出現(xiàn)的延誤。在1994年，Golda 和Werbowski研究了二階線性

2、方程：， (1.10)其中是給出是實(shí)值函數(shù)，當(dāng)時(shí)，表示函數(shù)g的第m個(gè)迭代 并建立了一些振動(dòng)條件。特別地，他們證明了方程(1.10)的所有振動(dòng)性解當(dāng)： . (1.11)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是條件(1.11)（或(1.7)）在某種程度上說(shuō)是一個(gè)“尖”的條件，當(dāng)（或者），它變?yōu)?（1.12）這是下列方程所有解振動(dòng)的充分條件：因?yàn)槿绻覀兛紤]到最后2個(gè)方程，則（1.4）減少2個(gè)條件到(1.12)注意，上述提到的所有振動(dòng)性條件唯一除了(22),其中非振動(dòng)性條件（1.8）和(1.9)是為方程（1.5）建立的從上述的討論中，問(wèn)題作為是否自然長(zhǎng)生的條件當(dāng)t取最大時(shí)， .(1.13)且當(dāng)t取最大的時(shí)候 .(1.14)暗示

3、方程（1.10）和（1.5）分別有一個(gè)非振動(dòng)的解。 這篇論文的主要目的是回答上述的問(wèn)題。我們會(huì)證明它，在附加條件下，條件（1.13）暗含了方程(1.10)有一個(gè)非振動(dòng)解。我們會(huì)證明(1.4)是保證方程（1.5）有一個(gè)非振動(dòng)解存在的條件。值得注意的是條件（1.9）在我們的結(jié)果中不再需要而條件（1.14）弱于條件（1.8）。最后結(jié)果通過(guò)考慮了更多的一般方程將被給出 .(1.15)其中，從（1.10）的一個(gè)解（或者（1.15）我們了解一個(gè)連續(xù)實(shí)值函數(shù)這樣對(duì)于任意上極限且x在滿足（1.10）(或者（1.15）)。這樣如果一個(gè)解擁有任意大的零則稱為振動(dòng)解，否則稱為非振動(dòng)解。所以，一個(gè)非振動(dòng)解要么是最終正

4、解要么是最終負(fù)解。主要結(jié)果2.1方程（1.10）的非振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)我們會(huì)為（1.10）用下列的假設(shè)：（）;（），且是嚴(yán)格遞增的。（）是嚴(yán)格遞增的。 定理2.1讓（）成立。假設(shè)（）或者（）滿足，如果 當(dāng)t取最大時(shí) .(1.13)則方程（1.10）有一個(gè)非振動(dòng)解。要證明定理（2.1）我們要用到以下幾個(gè)引理：引理（2.1）考慮一階非線性函數(shù)方程 （2.1）其中是給出的函數(shù)，假設(shè) 當(dāng)t取最大時(shí) .(2.2)則方程（2.1）有一個(gè)最終正的連續(xù)函數(shù)解證明：不失一般性，我們假設(shè) (2.3) 設(shè) (2.4)則滿足關(guān)系式: .(2.5)我們要求 (2.6)事實(shí)上，設(shè) 則設(shè)則所以在絕對(duì)遞增。因?yàn)?，則0在，所以，注意到且

5、 我們有，從這里跟（2.4）我們可以推出（2.6）下面，我們給函數(shù)做以下定義： .（2.7）從（2.5）我們不難得到： .(2.8)（2.7）和(2.8)說(shuō)明了在是連續(xù)的，我們證明得到： .(2.9)事實(shí)上，從(2.5)、(2.6)和（2.7），我們有： .(2.10)因?yàn)?，?2.2)，（2.7）和(2.9)，我們有：一般我們有所以，(2.9)成立從（2.7）我們得到這就表示是（2.1）的一個(gè)連續(xù)的正解，證明完成。我們現(xiàn)在在函數(shù)上注釋。如果滿足條件（），則表示函數(shù)的相反數(shù)，而定義；如果滿足條件（），則表示的逆函數(shù)，而定義引理2考慮一階非線性函數(shù)方程 .(2.11)其中，滿足條件（）。則存在一

6、個(gè)連續(xù)變化的變量方程把方程（2,11）變成（2.1），這樣的變量變化由，其中由下式定義： (2.12)其中是任意連續(xù)遞增函數(shù)且滿足下列條件 .(2.13)此外，我們可得當(dāng)且僅當(dāng)振動(dòng)時(shí)振動(dòng)。證明：在(2.11)里用代替t，得： .(2.14)在條件左側(cè)的只有u(t),為了完成這個(gè)轉(zhuǎn)化我們令，從(2.12)我們有從(2.13)我們可以看出h是連續(xù)的。因?yàn)樵谶f增，所以h也是遞增的。最后，要證明當(dāng)且僅當(dāng)振動(dòng)時(shí)振動(dòng)，當(dāng)可以去證明。事實(shí)上，如果振動(dòng)，然后有數(shù)列，這樣當(dāng)。設(shè)，這樣因?yàn)?。所以，。這就表示是振動(dòng)的。反過(guò)來(lái)，如果是振動(dòng)的，這樣存在一個(gè)數(shù)列，。設(shè)（這里的是h反函數(shù)），則當(dāng)。所以，振動(dòng)?，F(xiàn)在為了證明，

7、我們只需要去證明當(dāng)時(shí)，其中n取正整數(shù)。否則，序列有一個(gè)限制L，則因?yàn)閷?duì)所有t,，所以上述是不可能的.證明完成。討論2.1：把（2.11）轉(zhuǎn)化為（2.1）的一種方法是假設(shè)函數(shù)，其中是待定的。我們首先令，其中。另外，條件(2.13)需要。從（），它說(shuō)明了b=0,。引理2.3假設(shè)（）和（）成立。則方程（1.10）有最終的正解當(dāng)且僅當(dāng)一階非線性函數(shù)方程： .(2.15)有一個(gè)最終的連續(xù)正解。證明：假設(shè)是方程（1.10）的最終正解。方程（1.10）兩邊都除以得： (2.16)設(shè) .(2.17)其中， 是最終連續(xù)的正解滿足： .(2.18)這表示是方程(2.15)的一個(gè)最終連續(xù)正解。下一步，我們假設(shè)是方程

8、(2.15)的一個(gè)最終連續(xù)正解，不失一般性，我們可以假設(shè)當(dāng)，作同樣的討論，跟引理2.2的證明一樣，我們可以看到它存在連續(xù)改變的方程： .（2.19）代入方程： .(2.20)其中，是一個(gè)引理2.2，當(dāng)且僅當(dāng)方程(2.20)有一個(gè)最終連續(xù)的正解時(shí)，方程（2.19）有一個(gè)最終連續(xù)正解。因?yàn)楫?dāng)，我們?nèi)菀卓吹椒匠蹋?.19）有一個(gè)最終連續(xù)的正解。設(shè)就是這樣的一個(gè)解，把：代入(2.15)，我們得到，即： 這就表明了是方程（1.10）的一個(gè)正解。證明完畢。定理2.1的證明我們首先考慮滿足（）這種情況。從引理2.3，它可以證明方程（2.15）有一個(gè)最終連續(xù)正解。設(shè)是引理2.2的一個(gè)變化的變量。定義，從條件（

9、1.13），我們有：所以，從引理2.1方程（2.1）有一個(gè)最終連續(xù)正解，從引理2.2，我們看到方程（2.15）有一個(gè)最終連續(xù)正解。下一步，我們考慮滿足（）這種情況，因?yàn)闈M足（），這說(shuō)明滿足（），。用=t代入方程（1,10），我們有： .(2.21)條件（1.13）暗含t滿足最大：因?yàn)樵跐M足（）這種情況，我們得到（2.21）有一個(gè)最終連續(xù)正解。證明完畢。例2.1：考慮下列方程 (2.22)我們?nèi)菀椎玫剿?，從定?.1方程（2.22）有一個(gè)非振動(dòng)解。事實(shí)上，就是這樣的一個(gè)非振動(dòng)解。2.2 方程（1.15）非振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)我們會(huì)為方程（1.15）建立下列非振動(dòng)定理。定理2.2設(shè)，假設(shè)： t取最大 (2.

10、23)則方程（1.15）有一個(gè)非振動(dòng)解。備注2.2：當(dāng)p=1是，條件（2.23）簡(jiǎn)化為條件（1.14）且方程（1.15）簡(jiǎn)化為（1.5）。所以，條件（1.14）滿足方程（1.5）有一個(gè)非振動(dòng)解。另一方面，當(dāng)條件（2.23）在某種意義上是“尖”，同樣條件（2.23）方程（1.15）有一個(gè)非振動(dòng)解的充分條件。為了證明這個(gè)定理，我們需要2個(gè)中間結(jié)果。第一個(gè)是的不動(dòng)點(diǎn)定理。引理2.4設(shè)是aBnach空間（B，|.|）有界閉凸子集，設(shè)S：是這樣的一個(gè)連續(xù)映射。則，。第二個(gè)是下列的定理。引理2.5設(shè)是這樣的一個(gè)函數(shù)序列：（i） 存在一個(gè)常數(shù)M，使得當(dāng)；（ii） 對(duì)所有上是連續(xù)的；（iii） 存在一個(gè)常數(shù)其

11、中，T是常數(shù)。則存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)和一個(gè)使得在當(dāng)。備注2.3，作者不知道引理2.5的一個(gè)精確參考，但是它在是一個(gè)結(jié)果序列。證明定理2.2：設(shè)（2.23）的右邊為c,則由的結(jié)果（同樣看到條件（1.4），方程： .(2.24)從方程有一個(gè)非振動(dòng)解，其中是特征方程的一個(gè)根。顯然，下列等式成立：對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)r,我們定義作為所有真正的有界連續(xù)函數(shù)空間，與通常提供范數(shù)；設(shè)。顯然是是aBnach空間有界閉凸子集。設(shè)T0使得對(duì)（2.23）成立。定義到S的映射如下：其中 則當(dāng) (2.25)然而當(dāng)，我們同樣有所以當(dāng)時(shí)（2.25）成立。對(duì)所有，我們說(shuō)S(y)是連續(xù)的。因?yàn)?，這就說(shuō)明了對(duì)所有則存在使得對(duì)所有。選擇一個(gè)正整數(shù)N使得，然后對(duì)所有我們有：對(duì)所有,其中暗含系列在一致收斂。所以，S（y）是連續(xù)的。從這里跟（2.25）我們有注意到。這跟引理2.5暗含是緊密的。因此，由引理2.4，對(duì)所有，S(y)=y，即： (2.26)其中 (2.27)我們說(shuō)對(duì)所有從（2.26）我們有假設(shè)存在，則我們可以設(shè)所有另一方面，從（2.26）,我們有一對(duì)矛盾。所以對(duì)所有。最后，我們定義，