2016新課標(biāo)三維人教A版數(shù)學(xué)選修2-12.3雙曲線

1、231雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P5255，思考并完成以下問題1平面內(nèi)滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線？雙曲線的焦點(diǎn)、焦距分別是什么？2什么是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距點(diǎn)睛平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，關(guān)鍵詞“平面內(nèi)”當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x

2、軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2 點(diǎn)睛(1)標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊是1，左邊是關(guān)于x，y的平方差，并且分母大小關(guān)系不確定(2)a，b，c三個(gè)量的關(guān)系：標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中b2a2c2相區(qū)別，且橢圓中a>b>0，而雙曲線中，a，b大小不確定1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定

3、點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1中，a>0，b>0且ab()(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a>b()答案：(1)×(2)×(3)×2已知F1(3,3)，F(xiàn)2(3,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|4，則P點(diǎn)的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C不存在 D一條射線答案：B3已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案：1或1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)典例已知方程1對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()Ak>5Bk>5或2<k<2Ck>2或k<2 D2<k<2解析

4、方程對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，(k5)(|k|2)>0即或解得k>5或2<k<2答案B將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線的方程為1，則當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線若則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線活學(xué)活用若k>1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線解析：選C原方程化為1，k>1，k21>0，k1>0方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a4

5、，經(jīng)過點(diǎn)A；(2)經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，(6，3)解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b>0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2×<0，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b>0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b29，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn<0)，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，(6，3)，解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為11雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1或1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可2

6、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)定位：“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在“標(biāo)準(zhǔn)方程”的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解活學(xué)活用根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(，4)；(2)c，經(jīng)過點(diǎn)(5,2)，焦點(diǎn)在x軸上解：(1)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的方程為1由題意，知解得故雙曲線的方程為1(2)焦點(diǎn)在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中0<<6)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線方程是y21雙曲線定義

7、的應(yīng)用典例已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|32試求F1PF2的面積解因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以|PF2|PF1|6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|362×32100在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290°，所以SF1PF2|PF1|·|PF2|×3216一題多變1變條件，變?cè)O(shè)問若本例中雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不變，且其上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為10求點(diǎn)P

8、到F2的距離解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1，得a3，b4，c5由雙曲線定義得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|162變條件若本例條件“|PF1|·|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它條件不變，求F1PF2的面積解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2×4×48在解決雙曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應(yīng)用；與三角形有關(guān)的問題要考慮正、余弦定理、勾股定理等另外在運(yùn)算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已

9、知F1(8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|10，則P點(diǎn)的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C直線 D一條射線解析：選DF1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|10，所以滿足條件|PF1|PF2|10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線2在方程mx2my2n中，若mn<0，則方程表示的曲線是()A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線解析：選D將方程化為1，由mn<0，知>0，所以方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線3已知定點(diǎn)A，B且|AB|4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為()A BC D5解析：選C如圖所示，點(diǎn)

10、P是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上的點(diǎn)，當(dāng)P在M處時(shí)，|PA|最小，最小值為ac24橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是()A B1或2C1或 D1解析：選D依題意知解得a15焦點(diǎn)分別為(2,0)，(2,0)且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 By21Cy21 D1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m_解析：由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m>0，且m952，解得m16答案：167經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)和Q(6，7)，且焦點(diǎn)在y軸上

11、的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn<0)，則解得故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案：18已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且·0，|PF1|·|PF2|2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由·0，得PF1PF2根據(jù)勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220根據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|±2a兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|2得202×24a2，解得a24，從而b2541，所以雙曲線方程

12、為y21答案：y219已知與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)P，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：已知雙曲線1，由c2a2b2，得c216925，c5設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)依題意，c5，b2c2a225a2，故雙曲線方程可寫為1點(diǎn)P在雙曲線上，1化簡，得4a4129a21250，解得a21或a2又當(dāng)a2時(shí)，b225a225<0，不合題意，舍去，故a21，b224所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2110已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別為橢圓x25y25的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sin Bsin Asin C(1)求線段AB的長度；(2)求頂點(diǎn)C的軌跡方程解：(

13、1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y21a25，b21，c2a2b24，則A(2,0)，B(2,0)，|AB|4(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2<|AB|4，即動(dòng)點(diǎn)C到兩定點(diǎn)A，B的距離之差為定值動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的右支，并且c2，a1，所求的點(diǎn)C的軌跡方程為x21(x>1)層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1設(shè)，則關(guān)于x，y的方程1所表示的曲線是()A焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線B焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D焦點(diǎn)在x軸上的橢圓解析：選B由題意，知1，因?yàn)?，所以sin >0，cos >0，則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線故選B2若雙曲線y21(n

14、>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A1BC2 D4解析：選A設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2，已知|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|·|PF2|2又|F1F2|2，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2為直角三角形，且F1PF290°，于是SPF1F2|PF1|·|PF2|×21故選A3若雙曲線8kx2ky28的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，則k()A1 B1C D解析：選A依題意，知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，方程可化為1，則k&

15、gt;0，且a2，b2，所以9，解得k14已知雙曲線1(a>0，b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，若過焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的一支相交的弦長|AB|m，則ABF2的周長為()A4a B4amC4a2m D4a2m解析：選C由雙曲線的定義，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a，于是ABF2的周長l|AF2|BF2|AB|4a2m故選C5已知雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的點(diǎn)P到F1的距離為12，則點(diǎn)P到F2的距離為_解析：設(shè)F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上時(shí)，|PF2|PF1|10，所

16、以|PF2|22；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時(shí)，|PF1|PF2|10，所以|PF2|2答案：22或26過雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為_解析：因?yàn)殡p曲線方程為1，所以c13，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則F1(13,0)，F(xiàn)2(13,0)設(shè)過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(13，y)(y>0)，則1，所以y，即|AF1|又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24即所求距離分別為，答案：，7已知OFQ的面積為2，且·m，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)設(shè)<m<4，求與的夾角的正切值的取值范圍；(2)設(shè)以O(shè)為中心，

17、F為其中一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q，如圖所示，|c，mc2，當(dāng)|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)因?yàn)樗詔an 又<m<4，所以1<tan <4即tan 的取值范圍為(1,4)(2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，則|(x1c，y1)，所以SOFQ|·|y1|2，則y1±又·m，即(c,0)·(x1c，y1)c2，解得x1c，所以| 2，當(dāng)且僅當(dāng)c4時(shí)，|最小，這時(shí)Q的坐標(biāo)為(，)或(，)因?yàn)樗杂谑请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為18設(shè)圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個(gè)內(nèi)切，另一

18、個(gè)外切(1)求C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點(diǎn)M，F(xiàn)(，0)，且P為L上動(dòng)點(diǎn)求|MP|FP|的最大值解：(1)兩圓的圓心分別為A(，0)，B(，0)，半徑為2，設(shè)圓C的半徑為r由題意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，兩式相減得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4則圓C的圓心軌跡為雙曲線，其中2a4，c，b21，圓C的圓心軌跡L的方程為y21(2)由(1)知F為雙曲線L的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，連接MF并延長交雙曲線于一點(diǎn)P，此時(shí)|PM|PF|MF|為|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值為2232雙曲線的簡單幾何性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P5660，思

19、考并完成以下問題1雙曲線有哪些幾何性質(zhì)？2雙曲線的頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸分別是什么？3雙曲線的漸近線、等軸雙曲線的定義分別是什么？1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c范圍xa或 xa，yRya或 ya，xR對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心、原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)性質(zhì)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b；半實(shí)軸長：a，半虛軸長：b離心率e(1，)漸近線y±xy±x2等軸雙

20、曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y±x，離心率為e點(diǎn)睛對(duì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)雙曲線的焦點(diǎn)決定雙曲線的位置；(2)雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)雙曲線1的焦點(diǎn)在y軸上()(2)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊()(3)以y±2x為漸近線的雙曲線有2條()答案：(1)×(2)(3)×2雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是()A2B2C4 D4答案：C3雙曲線1的漸近線方程為()A3x±4y0

21、B4x±3y0C9x±16y0 D16x±9y0答案：A4雙曲線的漸近線方程為y±x，則離心率為_答案：或雙曲線的幾何性質(zhì)典例求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是1，a29，b24，a3，b2，c又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，實(shí)軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為y±x已知雙曲線方程求其幾何性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)方程的先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，確定方程中a，b的對(duì)應(yīng)值，利用c2a2b2得到c，然后確定雙曲線的焦點(diǎn)位置，

22、從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)活學(xué)活用求雙曲線9x2y281的實(shí)軸長、虛軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程解：將9x2y281變形為1，即1實(shí)軸長2a6，虛軸長2b18；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，(3，0)；離心率e，漸近線方程為y±3x由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程典例求過點(diǎn)(2，2)且與y21有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由于故可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)(2，2)得b22(舍去)；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可知，故可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)(2，2)得a22所以所求雙曲線方程為1法二：因?yàn)樗箅p曲線與已知雙曲線y21有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲

23、線方程為y2(0)，代入點(diǎn)(2，2)得2，所以所求雙曲線的方程為y22，即1(1)一般情況下，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是確定a，b的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，若給出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或焦點(diǎn)坐標(biāo)，則焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸易得再結(jié)合c2a2b2及e列關(guān)于a，b的方程(組)，解方程(組)可得標(biāo)準(zhǔn)方程(2)如果已知雙曲線的漸近線方程為y±x，那么此雙曲線方程可設(shè)為(0)活學(xué)活用求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y±x解：(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a>0，b>0)由題意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8

24、，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(2)設(shè)以y±x為漸近線的雙曲線方程為(0)，當(dāng)>0時(shí)，a24，2a26當(dāng)<0時(shí)，a29，2a261雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1雙曲線的離心率典例(山東高考)過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_解析如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過右焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為y(xc)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，代入雙曲線方程得1，化簡得yb或yb(點(diǎn)P在x軸下方，故舍去)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，b)，代入直線方程得b(2ac)，化簡可得離心率e2答

25、案2求雙曲線離心率的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若無法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過b2c2a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，借助于e，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程求解活學(xué)活用1如果雙曲線1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，因?yàn)锳OAF，F(xiàn)(c,0)，所以xA，因?yàn)锳在右支上且不在頂點(diǎn)處，所以>a，所以e>2答案：(2，)2設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|

26、PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_解析：不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，則在PF1F2中，PF1F230°，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e)20，所以e答案：層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下列雙曲線中離心率為的是()A1B1C1 D1解析：選B由e得e2，則，即a22b2因此可知B正確2中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x4y120上的等軸雙

27、曲線方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24解析：選A令y0得，x4，等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，c4，a2c2×168，故選A3雙曲線1的離心率e(1,2)，則k的取值范圍是()A(10,0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析：選B由題意知k<0，a24，b2ke21又e(1,2)，1<1<4，12<k<04已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(12，15)，則E的方程為()A1 B1C1 D1解析：選B設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，

28、b>0)，由題意知c3，a2b29，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則有兩式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是15(全國卷)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A B2C D解析：選D不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M點(diǎn)的坐標(biāo)為M點(diǎn)在雙曲線上，1，ab，ca，e故選D6(全國卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y&

29、#177;x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：法一：雙曲線的漸近線方程為y±x，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，164×()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21法二：漸近線yx過點(diǎn)(4,2)，而<2，點(diǎn)(4，)在漸近線yx的下方，在yx的上方(如圖)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知條件可得解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21答案：y217過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_解析：由題意知，ac，即a2ac

30、c2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28雙曲線1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_解析：雙曲線1的右頂點(diǎn)A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為y±x不妨設(shè)直線FB的方程為y(x5)，代入雙曲線方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B所以SAFB|AF|yB|(ca)·|yB|×(53)×答案：9(全國卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)當(dāng)APF周長最小時(shí)，求該三角形的面積解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線方程

31、x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F(xiàn)1(3,0)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，從而APF的周長|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|因?yàn)閨AF|15為定值，所以當(dāng)(|AP|PF1|)最小時(shí)，APF的周長最小，由圖象可知，此時(shí)點(diǎn)P在線段AF1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示)由題意可知直線AF1的方程為y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×21210已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，且(1)求雙曲線C的方程；(

32、2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2y25上，求m的值解：(1)由題意得解得所以b2c2a22所以雙曲線C的方程為x21(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)由得x22mxm220(判別式>0)所以x0m，y0x0m2m因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y25上，所以m2(2m)25故m±1層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A2B2C D1解析：選A不妨取焦點(diǎn)(4,0)和漸近線yx，則所求距離d2故選A2若雙曲線與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的方程為()Ay2x296 By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：選D設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)為(0，±4)，所以<0，且2(4)2，得24故選D3若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，2)，則它的離心率為()A BC D解析：選D設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)由題意，知過點(diǎn)(4，2)的漸近線方程為yx，所以2