山東省2015年高三復習圓錐曲線的考點知識

1、考點卡片1軌跡方程【知識點的認識】1曲線的方程和方程的曲線在平面內(nèi)建立直角坐標系以后，坐標平面內(nèi)的動點都可以用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示，這就是動點的坐標當點按某種規(guī)律運動形成曲線時，動點坐標（x，y）中的變量x、y存在著某種制約關系，這種制約關系反映到代數(shù)中，就是含有變量x、y的方程一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）=0的實數(shù)解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么這個方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線2求曲線方程的一般步驟（直接法）（1）建系設點

2、：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担茫▁，y）表示曲線上任一點M的坐標；（2）列式：寫出適合條件p的點M的集合M|p（M）；（3）代入：用坐標表示出條件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化簡：化方程f（x，y）=0為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是在曲線上的點【常用解法】（1）直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式（如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求關鍵是條件的轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)

3、化為某一基本軌跡的定義條件（3）相關點法：用所求動點P的坐標（x，y）表示已知動點M的坐標（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再將x0，y0代入M滿足的條件F（x0，y0）=0中，即得所求一般地，定比分點問題、對稱問題可用相關點法求解，相關點法的一般步驟是：設點轉(zhuǎn)換代入化簡（4）待定系數(shù)法（5）參數(shù)法（6）交軌法2圓與圓的位置關系及其判定【知識點的認識】1圓與圓的位置關系2圓與圓的位置關系的判定設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|=d（1）幾何法：利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的關系判斷 外離（4條公切線）：dr1+r2 外切（3條公切線）：d=

4、r1+r2 相交（2條公切線）：|r1r2|dr1+r2 內(nèi)切（1條公切線）：d=|r1r2| 內(nèi)含（無公切線）：0d|r1r2|（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，但要注意一個x值可能對應兩個y值3橢圓的簡單性質(zhì)【知識點的認識】1橢圓的范圍2橢圓的對稱性3橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點頂點坐標（如上圖）：A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為拖圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長4橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=，

5、且0e1離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓當且僅當a=b時，c=0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a25橢圓中的關系：a2=b2+c24橢圓的應用【知識點的知識】橢圓定義的應用：1、利用定義求橢圓的標準方程；2、利用橢圓上點P與兩焦點的距離等于2a解決焦點三角形問題5拋物線的簡單性質(zhì)【知識點的知識】拋物線的簡單性質(zhì)：6拋物線的應用【知識點的知識】拋物線的簡單性質(zhì)：7雙曲線的定義【定義】 雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之

6、比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點（focus），定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率【標準方程】（a，b0），表示焦點在x軸上的雙曲線；（a，b0），表示焦點在y軸上的雙曲線【性質(zhì)】 這里的性質(zhì)以（a，b0）為例講解：焦點為（±c，0），其中c2=a2+b2；準線方程為：x=±；離心率e=1；漸近線：y=±x；焦半徑公式：左焦半徑：r=|ex+a|，右焦半徑：r=|exa|【實例解析】例1：雙曲線=1的漸近線方程為 解：由=0可得y=

7、±2x，即雙曲線=1的漸近線方程是y=±2x故答案為：y=±2x 這個小題主要考察了對漸近線的理解，如果是在記不住，可以把那個等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個式子就是它的漸近線例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x2y=0，且過點P（4，3），求雙曲線的標準方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x2y=0，設雙曲線方程為y2=（0），雙曲線過點P（4，3），32=，即=5所求雙曲線方程為y2=5，即：=1 一般來書，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達式來，關鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點在x軸還是y軸，知道這些

8、參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達式了【考點點評】 這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當大的，在這里可以有所取舍，對于基礎一般的同學來說，盡量的把這些基礎的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫8雙曲線的簡單性質(zhì)【知識點的知識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a0，b0）（a0，b0）圖形性質(zhì)焦點F1（c，0），F(xiàn)2（ c，0）F1（0，c），F(xiàn)2（0，c） 焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范圍|x|a，yR|y|a，xR對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）軸實軸長2a，虛

9、軸長2b離心率e=（e1）準線x=±y=±漸近線±=0±=09雙曲線的應用【知識點的知識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a0，b0）（a0，b0）圖形性質(zhì)焦點F1（c，0），F(xiàn)2（ c，0）F1（0，c），F(xiàn)2（0，c） 焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范圍|x|a，yR|y|a，xR對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=（e1）準線x=±y=±漸近線±=1±=110圓錐曲線的共同特征【知識點的知識】圓錐曲線的共同特征： 圓錐去想上的點

10、到一個定點的距離與它到定直線的距離之比為定值e當0e1時，圓錐曲線是橢圓；當e1時，圓錐曲線是雙曲線；當e=1時，圓錐去想是拋物線其中定點是圓錐曲線的一個焦點，定直線是相應于這個交點的準線11直線與圓錐曲線的關系【直線與圓錐曲線的關系】 直線與圓錐曲線的關系主要是相不相交，交點個數(shù)為多少，由此而引出的圓錐曲線到直線的距離，圓錐曲線與直線相切，直線截圓錐曲線的線段長度等問題，是高考的一個重點，也是高考的一個難點下面簡單的說一個例題供大家參悟【例題講解】例：已知ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（0，1），（0，1），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m0）（1）求頂點C的軌跡E的方程，并判斷

11、軌跡E為何種圓錐曲線；（2）當m=時，過點F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點，設點N關于x軸的對稱點為Q（M，Q不重合） 試問：直線MQ與x軸的交點是否為定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由 解：（1）設點C（x，y），由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m0），得：，化簡得：mx2+y2=1（x0）當m1時，軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，1）兩點；當m=1時，軌跡E表示以（0，0）為圓心，半徑是1的圓，且除去（0，1），（0，1）兩點；當1m0時，軌跡E表示焦點在x軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，1）兩點；當m0時，軌跡E表示焦點在y軸上的雙曲線，且除

12、去（0，1），（0，1）兩點（2）當m=時，曲線E的方程為由題意可知直線l的斜率存在切不等于0，則可設l：y=k（x1），再設M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，y2） （x1x2）聯(lián)立，得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，M，Q不重合，則x1x2，y1y2MQ所在直線方程為，令y=0，得=直線MQ過定點（2，0） 這個題符合高考的一貫命題思路，先求曲線表達式，第二問討論的是直線與點的關系，嚴格的來說線段也可以說是點的關系解題思路就是應用韋達定理，把直線的自變量和因變量都用x1，x2和參數(shù)k表示，然后看自變量和因變量的關系，應該說思路不難，難點在于計算，這也告訴大家，要解決好

13、這類題，計算能力必須加強，另外，考的時候盡量合理利用時間【考點點評】 本考點是非常重要的一個考點，基本上都是作為壓軸題的形式在考試中出現(xiàn)，解決這類題除了掌握常用的一些方法外，還需要加強計算的能力，在考試當中盡量的多拿分12直線與圓錐曲線的綜合問題【概述】 直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫坐標或者縱坐標的關系，通過這兩個關系的變形去求解【實例解析】例：已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1（1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率（1）求圓錐曲線C的方程；（2）設經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個定點P，使的值是常數(shù) 解：（1）依題意，設曲線C的方程為（ab0），c=1，a=2，所求方程為（2）當直線AB不與x軸垂直時，設其方程為y=k（x1），由，得（3+4k2）x28k2x+4（k23）=0，從而，設P（t，0），則=當，解得此時對kR，；當ABx軸時，直線AB的方程為x=1，xA=xB=1，對，即存在x軸上的點