迎春杯分類一計(jì)數(shù)與數(shù)論答案及詳解

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 迎春杯分類一計(jì)數(shù)與數(shù)論 答案及詳解計(jì)數(shù)：1. 國(guó)際象棋中“馬”的走法如圖1所示，位于位置的“馬”只能走到標(biāo)有×的格中，類似于中國(guó)象棋中的“馬走日”。如果“馬”在8×8的國(guó)際象棋棋盤中位于第一行第二列（圖2中標(biāo)有的位置），要走到第八行第五列（圖2中標(biāo)有的位置），最短路線有 條。（12）2.3.給你一架天平和兩個(gè)砝碼，這兩個(gè)砝碼分別重50克和100克，如果再添上3個(gè)砝碼，則這5個(gè)砝碼能稱出的重量種類最多是 種.（天平的左右兩盤均可放砝碼）【答案】94【解析】只有50，100兩種砝碼，可以組成的重量：50，100，150，即：3種，

2、當(dāng)加入砝碼a，可以組成的重量：是50，100，150分別加減a，還有50，100，150本身，還要有a，所以此時(shí)有：3×3+1=10種，再加入一枚砝碼，同理：有10×3+1=31種，再加一枚：為31×3+1=94種.分析教師：辛洪濤4.將下圖中的2007分成若干個(gè)1×2的小長(zhǎng)方形，共有 種分法.【答案】15【解析】從右下角，觀察發(fā)現(xiàn)，從右向上只有唯一的分法，右面的區(qū)域只有唯一的情況.事實(shí)上只有左邊和中間的兩塊有選擇余地左邊有5種情況，中間有3種情況所以一共就有53=15種5. 已知九位數(shù)2007122既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么，這個(gè)九位數(shù)是 。2

3、007312126. 將09填入下面算式，每個(gè)數(shù)字只能用一次；那么滿足條件的正確填法共有 種。60因?yàn)?個(gè)加數(shù)只有一個(gè)達(dá)到三位，所以結(jié)果的千位只能為1，各位可能的進(jìn)位最多為2，所以十位上的和最大為9+8+2=19，進(jìn)位不超過1，所以加數(shù)中三位數(shù)的百位只能為9，同時(shí)結(jié)果中的百位只能為0，因?yàn)槭槐仨氁虬傥贿M(jìn)一位，且個(gè)位三位數(shù)之和最小為9最大為21且均不滿足題意，所以個(gè)位數(shù)必向十位進(jìn)1。因此十位的數(shù)字組合只能為（3，8）（4，7）（4，8）（5，6）（5，7）（5，8）（6，7）（6，8）（7，8）一一枚舉有5組數(shù)可行：十位（3，8），個(gè)位（4，5，7）；十位（4，7），個(gè)位（3，5，8）；十位

4、（4，8），個(gè)位（2，6，7）；十位（6，8），個(gè)位（2，4，7）；十位（7，8），個(gè)位（3，4，5）。每組可能的組合有2×1×3×2×1=12種，故正確填法共有12×5=60種。7. 有10個(gè)整數(shù)克的砝碼（允許砝碼重量相同），將其中一個(gè)或幾個(gè)放在天平的右邊，待稱的物品放在天平的左邊，能稱出1，2，3，200的所有整數(shù)克的物品來；那么，這10個(gè)砝碼中第二重的砝碼最少是克?！敬鸢浮?8【解析】 首先此題是一道關(guān)于砝碼的計(jì)數(shù)問題，涉及到最值問題和對(duì)稱原理從最后所求進(jìn)行分析，要求第二重的砝碼最少，無法進(jìn)行直接突破，使用的是最值原理的重點(diǎn)思路之一：從反

5、面考慮。第二重砝碼最少，那么就應(yīng)該使其他的砝碼盡量大。分析10個(gè)砝碼的總重量很顯然應(yīng)該是200，其中最重的砝碼應(yīng)該最大是100，因?yàn)槿绻谐^100克的砝碼，100克的物品就無法稱出。這樣其他9個(gè)砝碼總和應(yīng)該是100克。根據(jù)對(duì)稱原理，只要懲處1克的，就可以稱出199克的（只要在200克中相應(yīng)的拿出1克的就可以），所以只要能稱出1到100克就可以稱出101到199克。同理，要能稱出1到100克，只要能稱出1到50克就可以，所以要稱出1到50克，就應(yīng)該有1克，2克，4克，8克，16克，18克，這樣離200克還差51克，同時(shí)還差3個(gè)砝碼，把51平均分成三份，所以每個(gè)砝碼應(yīng)該是17，這樣就得到10個(gè)砝

6、碼，分別是1，2，4，8，16，17，17，17，18，100，所以第二種的砝碼至少應(yīng)該是18克。8. 一些棋子被擺成了一個(gè)四層的空心方陣（右圖是一個(gè)四層空心方陣的示意圖）后來小林又添入28個(gè)棋子，這些棋子恰好變成了一個(gè)五層的空心方陣（不能移動(dòng)原來的棋子），那么最開始最少有 個(gè)棋子【答案】【解析】將四層空心方陣變成五層空心方陣有三種方法：1、在最外層增加一圈則五層方陣最外層至少有40枚棋子所以不符合題意；2、在最內(nèi)層增加一圈則最外層應(yīng)有8×4+28=60枚棋子，最開始應(yīng)有60+52+44+36=192枚棋子；3、在最內(nèi)層增加一行一列，在最外層的另外兩個(gè)方向也增加一行一列，那么五層方陣

7、最內(nèi)層邊長(zhǎng)為x，最外層邊長(zhǎng)為x+4×2=x+8共增棋子2x-3+2（x+8）-1=4x+12，所以4x+12=28，解得x=4，最外層邊長(zhǎng)4+8=12，原有棋子122-(4-2)2-28=112，所以最開始最少有112個(gè)棋子。9. 將5枚棋子放入右側(cè)編號(hào)的4×4表格的格子中，每個(gè)格子最多放一枚，如果要求每行,每列都有棋子那么共有 種不同放法43212345678910111213141516【解析】本題采用分類、分步討論將5枚棋子放入4×4的方格中，可以發(fā)現(xiàn)不論怎么放一定會(huì)有2個(gè)棋子在一條直線上的情形，所以我們不妨先從這2個(gè)棋子開始放，選定一行有4種選法，然后在一

8、行中選定2個(gè)格子，即2列，有種選法，故填完前2個(gè)共線棋子有4×6=24種填法。如右圖示例，接下來我們填第三枚棋子，第三枚棋子填入后又會(huì)有2種情形出現(xiàn)：(1) 第三枚棋子與2個(gè)所在的列共線：那么第三枚棋子共有6個(gè)格子可以填，即6種填法。而最后2枚棋子只可能成對(duì)填入2個(gè)圓圈或2個(gè)中，則此類情況共種(2) 第三枚棋子與前2個(gè)所在的列不共線那么第三枚棋子也有6種填法，而最后的2枚棋子必須填入同一列， 共有種 答案 288+144=43210. 對(duì)于由15組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進(jìn)行如下的一次置換操作：記首位數(shù)字為k，則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對(duì)換例如，245

9、13可以進(jìn)行兩次置換：245134251312543可以進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有個(gè)【答案】24【解析】 經(jīng)過4次置換后最后結(jié)果必為12345，所以可進(jìn)行4次置換的五位數(shù)可由12345進(jìn)行4次首位與其他位的調(diào)換得到，規(guī)則為從首位上調(diào)換出的數(shù)不能再與首位調(diào)換，那么這樣的調(diào)換方法共有種，即可進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有24個(gè)。數(shù)論：1.2.3. 一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是 .36126或541894.在紙上寫著一列自然數(shù)1，2，98，99.一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個(gè)數(shù)劃去，然后把這三個(gè)數(shù)的和寫在數(shù)列的最后面.例如一次操作后得到4，5，98，99，6；而兩次操作后得到7

10、，8，98，99，6，15.這樣不斷進(jìn)行下去，最后將只剩下一個(gè)數(shù)，則最后剩下的數(shù)是 .49505. 有4個(gè)不同的數(shù)字共可組成18個(gè)不同的4位數(shù).將這18個(gè)不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)也是完全平方數(shù)，則這18個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是 .98106.有4個(gè)不同的數(shù)字共可組成18個(gè)不同的4位數(shù)。將這18個(gè)不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)也是完全平方數(shù)。那么這18個(gè)數(shù)的平均數(shù)是： 。64447. 如果兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126，那么，它們的和是 238. 從1,2,3,4,5,6中選取若干個(gè)數(shù)，使得它們的和是3的倍數(shù)，但不

11、是5的倍數(shù)那么共有 種不同的選取方法19取出的和的可能為3、6、9、12、18、21。和為3的有1+2、3，共2種；和為6的有1+5、2+4、1+2+3、6，共4種；和為9的有3+6、4+5、1+2+6、1+3+5、2+3+4，共5種；于所有數(shù)之和為21，所以和為12與和為9的情況相同（和為12的數(shù)即為除和為9之外的數(shù)）共5種，同理 3的情況相同，共2種，和為21的有1種，因此共有2+4+5+5+2+1=19種。9. 將數(shù)字4,5,6,7,8,9各使用一次，組成一個(gè)被667整除的6位數(shù)，那么，這個(gè)6位數(shù)除以667的結(jié)果是 【答案】【解析】因?yàn)槭?的倍數(shù)所以此六位數(shù)是3和667的公倍數(shù)，且3&#

12、215;667=2001，所以此六位數(shù)是2001的倍數(shù)我們發(fā)現(xiàn)六位數(shù)中2001倍數(shù)的特征為：前三位是后三位的2倍。所以下面將六位數(shù)分成2段，根據(jù)倍數(shù)關(guān)系驗(yàn)證即可，結(jié)果為956478.10. 200名同學(xué)編為1至200號(hào)面向南站成一排第1次全體同學(xué)向右轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)后所有的同學(xué)面朝西）；第2次編號(hào)為2 的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第3次編號(hào)為3的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第200次編號(hào)為200的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；這時(shí)，面向東的同學(xué)有 名【答案】8【解析】因?yàn)殚_始所有人面向南，最后的結(jié)果是面向東，所以轉(zhuǎn)3、7、11次的人即為所求。根據(jù)題意，編號(hào)有幾個(gè)約數(shù)就向右轉(zhuǎn)幾次，那么最后面向東面的數(shù)必是奇數(shù)個(gè)數(shù)的倍數(shù)，即這個(gè)數(shù)的約數(shù)

13、是奇數(shù)個(gè)，且個(gè)數(shù)為4n+3。哪些數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個(gè)呢？由于是奇數(shù)個(gè)約數(shù)，這些數(shù)一定是平方數(shù)。如：4的約數(shù)有1、2、4三個(gè)；9的約數(shù)有1、3、9三個(gè)；25的約數(shù)有1、5、25三個(gè)，64的約數(shù)有1、2、4、8、16、32、64七個(gè)但是：如平方數(shù)16既是1、4、16的倍數(shù)，還是2、8的倍數(shù)，即16的約數(shù)有5個(gè)，不符合個(gè)數(shù)為4n+3這一要求。所以要?jiǎng)h除。以下這些數(shù)是最后面向東面的同學(xué)：4、9、25、49、64、121、144、169。共8位同學(xué)。11. 在算式(AB)(CD)中，,代表的是三個(gè)互不相同的四則運(yùn)算符號(hào)（即加、減、乘、除），A,B,C,D是4個(gè)互不相同的非零阿拉伯?dāng)?shù)字如果無論,具體代表的是哪三個(gè)互不相同的四則運(yùn)算符號(hào)，(AB)(CD)的計(jì)算結(jié)果都是整數(shù)那么，四位數(shù)是 【答案】9321【解析】本題中主要會(huì)出現(xiàn)非整數(shù)的原因就是÷的位置，所以只需要考慮÷出現(xiàn)在什么地方。當(dāng)是÷時(shí)，就需要A一定是B的倍數(shù)，同理C一定是D的倍數(shù)，最后只要AB的結(jié)果也是CD的倍數(shù)即可。本題嚴(yán)密的推理論證過程相對(duì)復(fù)雜，因?yàn)閿?shù)字比較小，不妨采用符合前一組條件的數(shù)枚舉嘗試便容易得到答案 12. 如