等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列_，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_，通常用字母_表示.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是_.3.等差中項(xiàng)如果_，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam_，(n，mN*).(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則_.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為_.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差

2、為_的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn_或Sn_.6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn，(A、B為常數(shù)).7.等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_值.1.有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10，190及2,8,14，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.2.已知兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且xy，則的值為_.3.已知數(shù)列an中，a3

3、a822，a67，則a5_.4.在數(shù)列an中，若a11，an1an2 (n1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.5.(2011·江西)設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10S11，則a1等于 ()A.18 B.20 C.22 D.24題型一等差數(shù)列的判定或證明例1已知數(shù)列an中，a1，an2 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn (nN*).(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.探究提高證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，通常有兩種方法：(1)定義法：an1and；(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2.就本例而言，所用方法為定義法. 已知數(shù)列a

4、n的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn (n2)，a12.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式.題型二等差數(shù)列的基本量的計(jì)算例2設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范圍.探究提高(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法. (2011·福建)已知等差數(shù)列an中，a11，a33

5、.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值.題型三等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用例3(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an4n25，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.探究提高求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1<0，S2 0090.(1)

6、求Sn的最小值及此時(shí)n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a62且S530，則S8等于 ()A.31 B.32 C.33 D.342.數(shù)列an為等差數(shù)列，a1033，a21，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S202S10等于()A.40 B.200 C.400 D.203.(2011·大綱全國(guó))設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k等于 ()A.8 B.7 C.6 D.5二、填空題4.(2011·遼寧)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2S6，a41，則a5_.5.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S33，S624，則a9_.6.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且6S55S35，則a4_.三、解答題7在等差數(shù)列an中，已知a2a7a1212，a2·a7·a1228