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1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列_,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_,通常用字母_表示.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是_.3.等差中項(xiàng)如果_,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:anam_,(n,mN*).(2)若an為等差數(shù)列,且klmn,(k,l,m,nN*),則_.(3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為_.(4)若an,bn是等差數(shù)列,則panqbn也是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差
2、為_的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn_或Sn_.6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn,(A、B為常數(shù)).7.等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列an中,a1>0,d<0,則Sn存在最_值;若a1<0,d>0,則Sn存在最_值.1.有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,190及2,8,14,200,由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列,則這個(gè)新數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.2.已知兩個(gè)數(shù)列x,a1,a2,a3,y與x,b1,b2,y都是等差數(shù)列,且xy,則的值為_.3.已知數(shù)列an中,a3
3、a822,a67,則a5_.4.在數(shù)列an中,若a11,an1an2 (n1),則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.5.(2011·江西)設(shè)an為等差數(shù)列,公差d2,Sn為其前n項(xiàng)和,若S10S11,則a1等于 ()A.18 B.20 C.22 D.24題型一等差數(shù)列的判定或證明例1已知數(shù)列an中,a1,an2 (n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn (nN*).(1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說(shuō)明理由.探究提高證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列,通常有兩種方法:(1)定義法:an1and;(2)等差中項(xiàng)法:2an1anan2.就本例而言,所用方法為定義法. 已知數(shù)列a
4、n的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn (n2),a12.(1)求證:是等差數(shù)列;(2)求an的表達(dá)式.題型二等差數(shù)列的基本量的計(jì)算例2設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足S5S6150.(1)若S55,求S6及a1;(2)求d的取值范圍.探究提高(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用方法. (2011·福建)已知等差數(shù)列an中,a11,a33
5、.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35,求k的值.題型三等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用例3(1)在等差數(shù)列an中,已知a120,前n項(xiàng)和為Sn,且S10S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值;(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an4n25,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.探究提高求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值,常用的方法:利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng);利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得和的最值;將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1<0,S2 0090.(1)
6、求Sn的最小值及此時(shí)n的值;(2)求n的取值集合,使anSn.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a62且S530,則S8等于 ()A.31 B.32 C.33 D.342.數(shù)列an為等差數(shù)列,a1033,a21,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則S202S10等于()A.40 B.200 C.400 D.203.(2011·大綱全國(guó))設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a11,公差d2,Sk2Sk24,則k等于 ()A.8 B.7 C.6 D.5二、填空題4.(2011·遼寧)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S2S6,a41,則a5_.5.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S33,S624,則a9_.6.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且6S55S35,則a4_.三、解答題7在等差數(shù)列an中,已知a2a7a1212,a2·a7·a1228
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