第6章部分相干理論

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”國家級規(guī)劃教材國家級規(guī)劃教材傅里葉光學(xué)傅里葉光學(xué) 第第2 2版版電子教案電子教案周哲海 呂乃光 編著機械工業(yè)出版社第六章第六章 部分相干理論部分相干理論本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1、光場相干性的一般概念2、互相干函數(shù)3、相干度的測量4、傅里葉變換光譜學(xué)5、準單色光的干涉6、準單色光的傳播和衍射7、范西特-澤尼克定理1 1、光場相干性的一般概念、光場相干性的一般概念 在討論光的傳播、衍射等現(xiàn)象時，常常假定照明光是點光源產(chǎn)生的單色光，但實際的熱光源總是由大量獨立的基元輻射體（原子）組成的。對每一個輻射體來說，光輻射產(chǎn)生的時間、持續(xù)的時間間隔以及隨時間變換的方式

2、都是無規(guī)則的。光源發(fā)出的光波正是所有這些輻射體發(fā)出的光的組合。所以，我們所用的都是具有有限譜寬的并在空間有限擴展的我們所用的都是具有有限譜寬的并在空間有限擴展的光源，并非嚴格單色點光源光源，并非嚴格單色點光源。 考察光場相干性，實質(zhì)上是考察光場中具有時間延遲的空間兩點光振動之間的相關(guān)程度，它就既包含時間效應(yīng)，又包含空間效應(yīng)。前者是指時間相干性，源于光源的有限譜寬；后者是指空間相干性，源于光源的有限大小。 1 1、光場相干性的一般概念、光場相干性的一般概念1.1 1.1 時間相干性時間相干性 可通過邁克爾遜干涉儀的干涉實驗認識時間相干性。 下圖為邁克爾遜干涉儀的光路簡圖。點光源S發(fā)出的光經(jīng)透鏡準

3、直，用濾色片F(xiàn)選擇一定寬度的譜線照明干涉儀。反射鏡M1和M2垂直。固定M2，移動M1，逐漸增加光程差時，干涉條紋對比下降，最后條紋消失。 1 1、光場相干性的一般概念、光場相干性的一般概念cLccLcccL 假定光源發(fā)出的光是由一個個有限長度的波列所組成，并將波列在真空中傳播的長度稱為相干長度。單個波列持續(xù)的時間稱為相干時間。通常用相干長度和相干時間來衡量時間相干性的好壞。當(dāng)時間延遲遠大于，或光程差遠大于，觀察不到干涉條紋。 相干時間和光源譜寬之間的關(guān)系為 1c 式中 為譜線寬度，上式稱為時間相干性的反比公式。譜線越窄，相干時間和相干長度就越長，時間相干性越好?？梢缘玫?2cccLc式中為平均

4、波長。公式給出了描述時間相干性的諸物理量之間的關(guān)系。 1 1、光場相干性的一般概念、光場相干性的一般概念1.2 1.2 空間相干性空間相干性 可通過楊氏干涉實驗認識空間相干性。下圖所示的楊氏干涉實驗裝置，擴展光源擴展光源照明不透明屏上的兩個針孔P1和P2，在遠離它的觀察屏上P點附近觀察兩束光波疊加的結(jié)果。 對于固定的兩個針孔，當(dāng)光源寬度大到一定程度后，干涉條紋消失，此時對應(yīng)的光源寬度稱作臨界寬度， clbd其中，是P1和P2點對光源中心的張角，稱為干涉孔徑角。只有光源寬度小于bc時，P1和P2點的光振動才存在相關(guān)性，觀察屏上才會出現(xiàn)干涉條紋。 1 1、光場相干性的一般概念、光場相干性的一般概念

5、 從另一角度考慮，當(dāng)選定光源尺寸b，兩個針孔的距離d越小，干涉條紋越清晰，隨著d增大，干涉條紋對比度也下降，直至條紋消失。最大允許間隔為 cldb其中，是擴展光源對P1P2連線中點的張角，dc稱為橫向相干寬度。當(dāng)確定以后，距離超過dc的空間兩點，它們的光振動不存在相關(guān)性。 綜上所述 ccbd上述公式稱為空間相干性的反比公式。1 1、光場相干性的一般概念、光場相干性的一般概念總結(jié)一下：總結(jié)一下：實際光源總是具有有限頻帶寬度的擴展光源，其輻射光場的相干性應(yīng)包含時間相干性和空間相干性的雙重影響。只是對于光譜線很窄的擴展光源，空間相干性是主要的；對于有限譜寬的尺寸很小的光源，時間相干性是主要的。 2

6、2、互相干函數(shù)、互相干函數(shù) 相對時間延遲為的P1、P2點的光振動，即兩個時空點的光振動的相關(guān)函數(shù)稱為光場的互相干函數(shù)表示， 1212,u P tuP t其中，代表時間平均運算。 當(dāng)P1、P2點重合時，該點光振動的自相關(guān)函數(shù)稱為光場自相干函數(shù)， 1111,u P tuP t將 12歸一化后，有 121212112200稱 12為復(fù)相干度。 2 2、互相干函數(shù)、互相干函數(shù) 從P1和P2發(fā)出的次級子波在空間某一點P產(chǎn)生的合振動光強為 121212122ReI PIPIPIP IP上式正是平穩(wěn)光場的普遍的干涉定律平穩(wěn)光場的普遍的干涉定律。它表明兩束光在P點疊加所引起的光強度與每束光在P點的強度以及復(fù)相

7、干度實部的值有關(guān)。 上式可進一步寫為 12121212122cos2I PIPIPIP IP 12其中，是P1和P2點光振動之間的位相差，為兩個單色光波的平均頻率。 2 2、互相干函數(shù)、互相干函數(shù) 121212112200 復(fù)相干度的模的物理意義 12 12 1201 12a) 當(dāng)取最大值1時，P點的強度與頻率為的兩個單色光波在該的P1和取最小值0時，干涉項為零，P點強度為兩束光波在P點產(chǎn)生時，P1和P2點的光振動是部分相干的，表示它們的相干度。 點疊加所產(chǎn)生的干涉結(jié)果相同，這種情況下，相對時延為b) 當(dāng)P2點的光振動是相干的。 光強的簡單相加，所以P1和P2點的光振動是非相干的。c) 當(dāng) 互

8、相干函數(shù)和復(fù)相干度是兩個十分重要的物理量，它們表示時空中兩互相干函數(shù)和復(fù)相干度是兩個十分重要的物理量，它們表示時空中兩個不同點的光振動的關(guān)聯(lián)程度。個不同點的光振動的關(guān)聯(lián)程度。 3 3、相干度的測量、相干度的測量 光場的相干性質(zhì)，即兩個時空點的光振動的相干度 12，可以通過實驗由干涉條紋的對比度V(P)來確定， 121212122IPIPV PIP IP上式表明，只要測定出兩束光各自在P點產(chǎn)生的光強以及干涉條紋的對比度， 12就可以得到 。 若兩個光波在P點的強度相等，即 12IPIP時，復(fù)相干度的模就等于干涉條紋的對比度，即 12V P3 3、相干度的測量、相干度的測量3.1 3.1 時間相干

9、性的測量時間相干性的測量 歸一化的自相干函數(shù)定義為復(fù)時間相干度 11(), 1111110它描述P1點相對時延為的光振動的關(guān)聯(lián)程度，即光場的時間相干性。而且 11V即，復(fù)時間相干度的模就等于觀察點附近干涉條紋的對比度，它們都隨著時延變化。 0 1111）當(dāng)時，干涉條紋最清晰，V=1； 11 112）隨著的逐漸增大，減小，干涉條紋對比度下降；當(dāng)足夠大時，趨于零，輸出光強變?yōu)榫鶆虺?shù)，干涉現(xiàn)象消失。 3 3、相干度的測量、相干度的測量3.2 3.2 空間相干性的測量空間相干性的測量 12121211220000 120復(fù)空間相干度為它描述在同一時刻t，光場中兩點P1和P2的空間相干性，它的?？赏ㄟ^

10、測量零光程差附近干涉條紋的對比度確定。 4 4、傅里葉變換光譜學(xué)、傅里葉變換光譜學(xué)在討論時間相干性測量的邁克爾遜干涉實驗中，P點光強隨反射鏡M1位移發(fā)生變化，即 11111=2 +II記錄下這一光強變化，就得到干涉圖?；仡櫍夯仡櫍焊缮鎴D上干涉條紋對比度的變化決定于復(fù)時間相干度的模，顯然這一變化的根本原因正在于光源特定的光譜分布。由實驗獲得的干涉圖來確定一個未知光源的光譜分布，或者說由于干涉條紋的強度分布反推出光源的時間功率譜信息正是傅里葉變換光譜學(xué)的任務(wù)。 4 4、傅里葉變換光譜學(xué)、傅里葉變換光譜學(xué)可導(dǎo)出 1110-2 =2cos 2IId對于干涉圖的強度分布作余弦傅里葉變換，得 111110

11、-2cos 2IId 結(jié)果得到光源的功率譜 11及其鏡像。該式表明，在干涉圖的強度分布中包含著光源光譜分布的信息，只要作余弦傅里葉變換就可以提取這一信息。傅里葉變換光譜儀就是根據(jù)這一原理設(shè)計的。 與采用棱鏡光譜儀、F-B干涉儀、光柵干涉儀的傳統(tǒng)光譜技術(shù)相比，傅里葉變換光譜儀可以使用擴展光源，增大入射光束口徑，可獲得很大的輻射通量。并由于同時能記錄全部光譜成分，光能輸出要大得多，因而也具有更高的靈敏度和信噪比。另外，傅里葉變換光譜儀的分辨率要高得多，它決定于可動反射鏡的最大移動距離。 4 4、傅里葉變換光譜學(xué)、傅里葉變換光譜學(xué) 11c 當(dāng)測出光源的功率譜后，就可以由它確定相干時間和有效譜寬等描述

12、時間相干性的物理量的大小。 對功率譜密度函數(shù)作歸一化，得 1111110d則歸一化的自相干函數(shù)為 11110exp2jd該式指出復(fù)時間想干度與光源歸一化功率譜密度之間的傅里葉變換關(guān)系。 5 5、準單色光的干涉、準單色光的干涉cLc準單色光條件是指：1）光的譜線很窄，有效譜寬遠小于平均頻率，即2）光路中從光源到干涉區(qū)域所涉及到的最大光程差遠小于光的相干長度，或者。 12,J P P=0互強度定義為P1和P2兩點在相對時延的情況下光振動的互相關(guān)，即 121212,0 =,J P Pu P t uP t 12,P P12定義復(fù)空間相干度或，即 121212121122112211220,=0 =00

13、JP PJJ5 5、準單色光的干涉、準單色光的干涉若 121212=exp0j在準單色光近似下，輻射場的干涉定律為 12121212122cos2I PIPIPIP IP 121201212其中， ，和都是與時延 無關(guān)的量。 1IP 2IP 如果和在觀察區(qū)域內(nèi)近似不變，則該區(qū)域干涉條紋具有幾乎恒定的對比度和相位， 條紋對比度為 121212122 IP IPV PIPIP若兩束光強度相等，即 12IPIP，則 12V P測量出干涉條紋的對比度就可以確定復(fù)空間相干度的模12。 5 5、準單色光的干涉、準單色光的干涉1212212220, 1, 2,rrmm 12干涉條紋最大值出現(xiàn)在測量出干涉條紋

14、極大值的位置就可以確定復(fù)空間相干度的相位。 以上分析表明，準單色場的特點類似于頻率為的干涉條紋的對比度和位置分別決定于復(fù)空間相干度的模的嚴格單色場，區(qū)別在于準單色光和位相。下圖給出相干、部分相干、非相干三種情況下的強度分布。 12=1120112=0a)相干疊加b)部分相干疊加 c)非相干疊加5 5、準單色光的干涉、準單色光的干涉 12 12 在描述光場相干性的物理量和中，既包含時間效應(yīng)也包含空間效應(yīng)。只有在準單色場中才有可能把空間相干性效應(yīng)分離出來。下表列出了描述光場相干性的各種參數(shù)。 6 6、準單色光的傳播和衍射、準單色光的傳播和衍射6.1 6.1 互強度的傳播互強度的傳播 在準單色條件下

15、，互相干函數(shù)可表達為 1212exp2Jj12J其中， 是互強度，它與變量無關(guān)。 由波動方程可得到互強度滿足的兩個亥姆霍茲方程，2221121222222121224040JJcJJc 2122式中和分別是對P1和P2點的空間直角坐標的拉普拉斯算符。上式是準單色場中描述空間相干性傳播的基本規(guī)律。 6 6、準單色光的傳播和衍射、準單色光的傳播和衍射 互強度傳播的普遍公式為 互強度的傳播互強度的傳播 12*1212112212,;,;J Q QJ P P h Q PhQPdPdP 其中， exp, ;jkrh Q PKj r Kk為系統(tǒng)透射函數(shù)，為傾斜因子，為平均波數(shù)。 如右圖，自由空間的準單色場

16、中互強度傳播公式為 12121212121221 2exp,jk rrJ Q QJ P PKKdPdPrr 6 6、準單色光的傳播和衍射、準單色光的傳播和衍射1Q2QQ2見圖，若和重合為一點時，可得到上的強度分布為 111212121221 2exp,jk rrI QJ P PKKdPdPrr 1111221212121221 2exp,jk rrI P I PP PKKdPdPrr Q1上式表明點的光強等于上每一對點所做的貢獻之和。 121221 2exp jk rrKKrr12,P P每一對點產(chǎn)生的響應(yīng)為貢獻依賴于這兩點的強度以及相應(yīng)的復(fù)空間相干度。 ，每一對點的n 上式可看作是部分相干場

17、中強度傳播的惠更斯惠更斯菲涅耳原理。菲涅耳原理。6 6、準單色光的傳播和衍射、準單色光的傳播和衍射6.2 6.2 部分相干光的衍射部分相干光的衍射參看上圖，遠場條件下部分相干光的衍射公式為 02211111212111222,expII xyxyxyjxxyyd x d yzz F FF F1上式表明，衍射圖樣的強度分布是孔徑自相關(guān)函數(shù)與入射光波復(fù)空間相干度的乘積的二維傅里葉變換。 7 7、范西特、范西特澤尼克定理澤尼克定理1Q2Q121Q2Q如下圖所示，一擴展的準單色平面光源照明平面屏幕上和兩點。假定僅是平面的一部分，它與屏幕平面平行，距離為z。則和兩點的復(fù)空間相干度為 光源 1201212

18、1 212exp,jk rrCQ QI x ydxdyrrI Q I Q7 7、范西特、范西特澤尼克定理澤尼克定理,I x y1Q2Q由準單色擴展光源的強度分布可確定光場中和相干度，上式稱為范西特-澤尼克定理。在傍軸近似下，該定理的最終表達式為， 兩點的復(fù)空間122,exp,jeI x yjxydxdyzQ QI x y dxdy 222121212,zk121Q2Q式中， ，和分別表示和兩點到原點的距離。 公式表明當(dāng)光源本身線度以及觀察區(qū)域線度都比兩者距離z小很多時，觀察區(qū)域上復(fù)空間相干度正比于光強強度分布的歸一化傅里葉變換。 7 7、范西特、范西特澤尼克定理澤尼克定理 對于直徑為b的均勻亮度的準單色圓形光源，輻射光強分布為 220,2xyI x yI circb可推導(dǎo)出 jeJ)(2112式中，22=bdz=b z22d式中，是光源對Q1、Q2兩點連線中心點的張角，即光源的角直徑；，等于Q1、Q2兩點之間的距離，如下圖。 7 7、范西特、范西特澤尼克定理澤尼克定理1212相對變化的曲線。當(dāng)=3.833時，為第一個零極小，下圖給出相應(yīng)孔距為3.8331.22d若取=1時，12=0.88。它對理想值1偏離12%，可認為是最大允許偏離，此時 0.32cd以dc為直徑的圓面積Ac稱為相干面積。 本章小結(jié)本章小結(jié)1）實際光源總是具有有限頻帶寬