數(shù)列求和方法總結(jié)結(jié)

1、數(shù)列求和方法小結(jié) 數(shù)列求和基礎(chǔ)過關(guān)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法：1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn 2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 當(dāng)q1時(shí)，Sn 當(dāng)q1時(shí)，Sn 3倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因子可提的數(shù)列求和4. 分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可直接求和的數(shù)列5錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和6裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的典型例題例1. 已知數(shù)列：1，求它的前n項(xiàng)的和Sn解： an1 an2則原數(shù)列可以表示為：(21)，前n項(xiàng)和Sn(21)2n2

2、n2n22n2變式訓(xùn)練1.數(shù)列前n項(xiàng)的和為 （ ）A B C D 答案:B。解析：例2. 求Sn1解： an2() Sn2(1)變式訓(xùn)練2：數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，若前n項(xiàng)之和為10，則項(xiàng)數(shù)n為（ ） A11 B99C120 D121解：C .an，Sn，由10，11，n11例3. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，bnan·2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn解：取n1，則a1a11又Sn可得：an1(nN*) an2n1Tn1·23·225·23(2n1)·2n 2Tn1·223·235·24(2n1)

3、83;2n1得：Tn22324252n1(2n1)·2n12(2n1)·2n16(1n)·2n2Tn6(n1)·2n2變式訓(xùn)練3.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n2，bn為等比數(shù)列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求數(shù)列an和bn通項(xiàng)公式 設(shè)Cn，求數(shù)列Cn前n項(xiàng)和Tn 解：（1）當(dāng)n1時(shí)a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n2，故an通項(xiàng)公式為an4n2，即an是a12，d4的等差數(shù)列，設(shè)bn的公比為q，則b1qdb1，d4， q，故bnb1qn1（2）CnTnC1C2Cn13×45×42（2n1）4n14Tn1×43

4、×425×43（2n3）4nn（2n1）4n兩式相減 3Tn Tn例4. 求Sn1!2·2！3·3！n·n！解： ann·n!(n1)!n! Sn(n1)!1!(n1)!1變式訓(xùn)練4.以數(shù)列an的任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn(an、an1)均在一次函數(shù)y2xk的圖象上，數(shù)列bn滿足條件：bnan1an，且b10 求證：數(shù)列bn為等比數(shù)列 設(shè)數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若S6T4，S59，求k的值解：由題意，an12ank bnan1an2ankanankbn1an1k2an2k2bn b10， 2 bn是公比為2的等比數(shù)列

5、 由知anbnk bnb1·2n1 Tn Sna1a2an(b1b2bn)nk Tnnkb1(2n1)nk 解得：k8歸納小結(jié)1求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的方冪和，從而可用基本求和公式；其二是消項(xiàng)，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項(xiàng)的和2對(duì)通項(xiàng)中含有(1)n的數(shù)列，求前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)注意討論n的奇偶性3倒序相加和錯(cuò)位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和用到的方法，在復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視(1)公式法：必須記住幾個(gè)常見數(shù)列前n項(xiàng)和 等差數(shù)列：；等比數(shù)列： ； 例 已知數(shù)列,為等差數(shù)列，且 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2） 證明+=練習(xí)：

6、（1）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第二、三、四項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)任意自然數(shù)n均有成立求c1c2c3c2003的值（2）已知數(shù)列an滿足a1a，an1canc+，其中a1，c0(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)ac，bnn(1an)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn(2)裂項(xiàng)法：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）常用的裂項(xiàng)，； 例 求和：（2）在數(shù)列中，又 求數(shù)列的前項(xiàng)的和。練習(xí)：

7、 已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和為 (3)錯(cuò)位相減法：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。 例求數(shù)列1，3a，5a2，7a3，(2n1)an-1的前n項(xiàng)和練習(xí)：（1）設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項(xiàng)和（2）已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。(4)分組求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例：（1）求1+1,的前n項(xiàng)和（2）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前10項(xiàng)的和為145，求練習(xí)：（1）求和：=1-3+5-7+9-11+（3） 求和： (5)倒序求和：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè) 。 等差數(shù)列的求和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的。 例 設(shè)，求和（6）分段求和法求和例已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，且，（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（