數(shù)列的極限(1)

1、典型例題講解例1求.分析：當(dāng)n時(shí)，3n3+2n2n，4n33n2+2n1，是一個(gè)型的問(wèn)題，可以設(shè)法變形，使之出現(xiàn)的形式。因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)，0，為此只需將分子分母同除以n3即可。解：=.例2設(shè)aR，求的值。分析：求極限時(shí)，涉及到qn型的極限，當(dāng)|q|<1時(shí)，qn0；q=1時(shí)，qn1；q=1時(shí)，qn的極限不存在；|q|>1時(shí)，qn的極限也不存在。因此，在變形時(shí)，設(shè)法出現(xiàn)|q|<1時(shí)qn的形式，為此必須對(duì)|a|與2的大小分類討論。解：（1）當(dāng)|a|>2時(shí)，則原式=；（2）當(dāng)|a|<2時(shí)，則原式=；（3）當(dāng)a=2時(shí)，原式=；（4）當(dāng)a=2時(shí)，原式=.例3求.分析：當(dāng)n

2、時(shí)，所求的極限相當(dāng)于0·型，需要設(shè)法化為我們相對(duì)熟悉的型。解：=. 說(shuō)明：對(duì)于這種含有根號(hào)的0·型的極限，可以采用分子有理化或分母有理化來(lái)實(shí)現(xiàn)。如本題是通過(guò)對(duì)分子有理化，從而化簡(jiǎn)為，成為型。例4求.分析：當(dāng)n時(shí)，分子與分母都是無(wú)窮多項(xiàng)的和，對(duì)于這類極限，應(yīng)先求和，再求極限。解：=.例5已知，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：這是一個(gè)已知極限的值求參數(shù)的范圍問(wèn)題，我們?nèi)匀粡那髽O限入手來(lái)解決。解：，于是，即4<m+2<4，6<m<2.說(shuō)明：在解題過(guò)程中，運(yùn)用了逆向思維，由可知，的極限必為0，而qn0的充要條件是|q|<1，于是解不等式.例6若k為常數(shù)，且，

3、存在，求的值。分析：本題是在knan以及an的極限存在的情況下，求(1n)an的極限。從直覺(jué)可以感到，knan，當(dāng)n時(shí)有極限1，顯然knan是一個(gè)0·型的數(shù)列，可以猜測(cè)an的極限是0，所以這種猜測(cè)使我們想到必須先求出an的極限值，這樣才可以用極限四則運(yùn)算的法則求出的值。解：由，可得，于是，又由，得，于是=.例7數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知an=5Sn3 (nN+)，求的值。分析：為求a1+a3+a5+a2n1當(dāng)n時(shí)的極限，應(yīng)先求an的表達(dá)式。從已知條件中給出的an與Sn的關(guān)系式，可以利用an=SnSn1(n2)，設(shè)法求出an的表達(dá)式。解：由a1=S1，及a1=5S13=5a13，

4、可得a1=,又n2時(shí)，an=SnSn1，則an=5Sn3，an1=5Sn13，兩式相減得anan1=5Sn5Sn1=5an，an=an1，于是an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列a1, a3, a5, , a2n1是以為首項(xiàng)，()2=為公比的無(wú)窮等比數(shù)列，=.一、選擇題1有下列四個(gè)命題： （1）若an2=A2，則anA；（2）若an>0，A，則A>0；（3）若=0，則；（4）若=A，則=A2，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）（A）0（B）1 （C）2 （D）32等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和為Sn且，則Sn等于（ ）（A）（B） （C） 2 （D）23等差數(shù)列an、bn的

5、前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且，則=（ ）（A）1 （B） （C） （D）4已知，則的值（ ）（A）是（B）是（C）是6（D）無(wú)法確定5的值為b，則a的值（）（A）是4（B）是2 （C）是2（D）不確定二、填空題6的值等于（ ）（A）1 （B） （C） （D）07已知等差數(shù)列an公差d>0，a1>0，Sn=，則Sn8。9已知數(shù)列an，且2，則10已知a、b為常數(shù)，且=1，則a，b三、解答題11設(shè)f(x1)xx2xn，x0，x1，且f(x)中x的系數(shù)為Sn，x3的系數(shù)為T(mén)n，求12設(shè)x是方程x2|2x1|40的正根，且f(n)=，求13已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1b（b0），它的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2an（nN+），并且S1，S2，Sn是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為p （p0且|p|< l） （1）證明a2，a3，an，是一個(gè)等比數(shù)列； （2）設(shè)Wn=a1S1a2S2anSn，求