放縮法證明不等式的基本策略

1、“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發(fā)點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對讀者能有所幫助。1、添加或舍棄一些正項（或負項）例1、已知求證：

2、證明： 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數f（x）=，求證：f（1）+f（2）+f（n）>n+.證明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）>.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于

3、分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）例3、已知an=n ，求證：3證明：=1 =1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.4、放大或縮小“因式”；例4、已知數列滿足求證：證明 本題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項放大或縮小例5、設求證： 證明： ， 本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。6、固定一部分項，放縮另外的項；例6、求證：證明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放

4、縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知，證明：不等式對任何正整數都成立.證明：要證，只要證 .因為 ，故只要證 ，即只要證 .因為，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮例8、.已知i，m、n是正整數，且1imn.(1)證明：niAmiA；(2)證明：(1+m)n(1+n)m證明：(1)對于1im，且A =m··(mi+1)，由于mn，對于整數k=1，2，i1，有，所以(2)由二項式定理有：(1+m)n=1+C

5、m+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在于根據問題的特征選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處