數(shù)論論文二元一次不定方程

1、二元一次不定方程數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘 要:不定方程在歷史上有極其豐富的研究,文獻(xiàn)極其豐富 ，也留下很多經(jīng)典難題,主要研究二元一次不定方程有整數(shù)解的條件,以及利用輾轉(zhuǎn)相除法求出它的一切整數(shù)解.關(guān)鍵詞:輾轉(zhuǎn)相除法;整數(shù)解;最大公約數(shù)引言未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù),且對(duì)解有一定限制(比如要求解為正整數(shù)等)的方程.數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丟番圖方程.研究不定方程要解決三個(gè)問題:判斷何時(shí)有解.有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù).求出所有的解.中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組問題,公元5世紀(jì)的 張丘建算經(jīng)中的百雞問

2、題標(biāo)志中國對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.百雞問題說：“雞翁一,直錢五,雞母一,直錢三,雞雛三,直錢一.百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何?”.設(shè)x,y,z分別表雞翁、母、雛的個(gè)數(shù),則此問題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解x,y,z,這是一個(gè)三元不定方程組問題.1預(yù)備知識(shí)定理1 設(shè)二元一次不定方程ax+by=c (1)(其中a,b,c是整數(shù)且a,b都不是0),有一整數(shù)解x=x,y=y;又設(shè)(a,b)=d,a= ad,b=b,則(1)的一切解可以表成x= x- bt,y= y+ at, (2)其中t=0,1,2,證 x,y是(1)的解,當(dāng)然滿足ax+by=c.

3、因此a(x- bt)+b(y+ at)=c+(b a-a b)t=c. 這表明對(duì)任何整數(shù)t (2)都是(1)的解.設(shè)x,y是(1)的任一解,則ax+by=c，減去ax+by=c,即得a(x-x)+b(y-y)=0.由上式及a=ad,b=bd得到 a(x-x)+b(y-y)=0.又d=(a,b),故(a,b)=1.有一整數(shù)t使得y-y=at,即y=y+at.將y代入上式即得x=x-bt.因此x,y可表成(2)的形狀.故(2)表示(1)的一切整數(shù)解.證畢2 利用輾轉(zhuǎn)相除法求二元一次方程的解 例1 求7x+4y=100的一切整數(shù)解. 解 解方程7x+4y=1,此處a=7,b=4,(a,b)=1.7=

4、41+34=31+13=31 因此7x+4y=1的一個(gè)解是x=(-1)1=-1,y=(-1)2=2. 故原方程的一個(gè)解是x=-100,y=200.由定理1可知其一切解可以表成X=-4t-100,y=7t+200(t=0,1,2,)定理2 二元一次不定方程ax+by=c,a>b>0,(a,b)=1 的一切整數(shù)解可由x=x,y=q-qx+y,得出。其中a=bq+r,0r<b,c=bq+r,0r<b 而又有(b,r)=(a,b)=1,故方程by+rx=r有整數(shù)解.設(shè)x=x,y=y是ax+by=c的任一整數(shù)解,則 y=q-qx+.又因?yàn)閥，q- qx都是整數(shù)，所以也是整數(shù).令=

5、y， 則x=x，y= y是by+rx=r的一個(gè)整數(shù)解，即ax+by=c的任一整數(shù)解能寫成下列形狀:x=x,y= q-qx+y,其中x，y是by+rx=r的某一整數(shù)解,反之,若x,y是by+rx=r的任一正整數(shù)解,則由x=x,y= q-qx+y所求得的x，y是ax+by=c的一解.例2 求107x+37y=25的一切整數(shù)解.解 由給定的方程得 y=-2x+=-2x+y,其中y=應(yīng)該是整數(shù)，故得一新的不定方程37y+33x=25 （1）又 x= =-y+ =-y+x,仿上令x=，又得一新的不定方程：33x+4y=25 （2） 又y=6-8x+=6-8x+y，其中y=，即最后算得x+4y=1 （3）顯然（3）的一切解是x=1-4t，y=t (t=0,1,2,).因此（2）的一切解是 x=1-4t，y=6-8x+y=-2+33t (t=0,1,2,).而（1）的一切解是y=-2+33t，x=-y+x=3-37t (t=0,1,2,).故給定方程的所有解是x=3-37t，y=2x+y=-8+107t (t=0,1,2,).結(jié)論利用輾轉(zhuǎn)相除法求方程解的本質(zhì)即現(xiàn)找出其一個(gè)特解,再由定理1得出其所有的解.而由定理2求解二元