微分幾何陳維桓習題答案2

1、習題答案2p.58 習題3.12. 在球面上，命，. 對于赤道平面上的任意一點，可以作為一的一條直線經(jīng)過兩點，它與球面有唯一的交點，記為. (1) 證明：點的坐標是，并且它給出了球面上去掉北極的剩余部分的正則參數(shù)表示；(2) 求球面上去掉南極的剩余部分的類似的正則參數(shù)表示；(3) 求上面兩種正則參數(shù)表示在公共部分的參數(shù)變換；(4) 證明球面是可定向曲面. 證明. (1) 設. 如圖，三點共線，故有使得. (1)由于，取上式兩邊的模長平方，得. 從而，. (2)由(1)可知，又，所以，. (3)因此給出了的正則參數(shù)表示. (2)令是兩點連線與赤道平面的交點. 同理，有，. (4)，. (5)因此

2、(4)給出了的正則參數(shù)表示.(3) 由(2)和(4)式可得，從而上面兩種正則參數(shù)表示在公共部分上的參數(shù)變換公式為，. (6)由(3)和(5)可知.所以參數(shù)變換是可允許的，并且是改變定向的參數(shù)變換. 注. 如果采用復坐標，令，則上面的參數(shù)變換可寫成. 這就是廣義復平面上的共形變換. (4) 在上采用(1)式給出的正則參數(shù)表示，在上采用正則參數(shù)表示則在公共部分的參數(shù)變換公式為，. (4)由于構成的開覆蓋，并且，所以是可定向的. 5 寫出單葉雙曲面和雙曲拋物面作為直紋面的參數(shù)方程. 解. (1) 對單葉雙曲面，取腰橢圓，為準線. 設直母線的方向向量為. 則直紋面的參數(shù)方程為.由于的分量滿足單葉雙曲面

3、的方程，可得，.由得任意性得到，.因此. 取得，.(2) 對雙曲拋物面，令，則. 曲面的參數(shù)方程為，.p. 94 習題3.21. 證明：一個正則參數(shù)曲面是球面它的所有法線都經(jīng)過一個固定點. 證明. “”設是球面，參數(shù)方程為，球心為，半徑為. 則有，. (1)微分可得，. (2)所以，從而，即有函數(shù)使得. (3)這說明球心在它的所有法線上. “”設的所有法線都經(jīng)過一個固定點. 則有函數(shù)使得(3)式成立，即有. 分別用作內積，可得(2). 這說明，從而(1)式成立，其中(否則只是一個點，不是正則曲面)是常數(shù). 因此是以為球心，以為半徑的球面，或球面的一部分. 3. 證明：一個正則參數(shù)曲面是旋轉面它

4、的所有法線都與一條固定直線相交.證明. “”設是旋轉面，旋轉軸為軸. 它的參數(shù)方程為，.因為，所以上任意一點處的法線的參數(shù)方程為.由于軸的參數(shù)方程為，并且，所以與共面. 如果與處處平行，則，從而. 此時是垂直于軸的平面. 所以當不是垂直于軸的平面時，旋轉面的所有法線都與軸相交. “”通過選取坐標系，不妨設固定直線為軸. 設的參數(shù)方程為，. 由條件，的所有法線都與軸相交，所以法線不能與軸平行，即，.因此，不能全為零. 不妨設在點鄰近. 通過參數(shù)變換，曲面的參數(shù)方程可以寫成，. (1)于是，.因為所有法線都與軸相交，即有. 這說明是一個僅僅依賴于的函數(shù). 設，其中. 作參數(shù)變換. 由上式得，的參數(shù)

5、方程(1)可以改寫為.這是一個旋轉面，由平面上的母線繞軸旋轉而得. 5. 設是圓錐面，是上的一條曲線. (1)將曲線的切向量用的線性組合表示出來；(2) 證明：的切向量平分了和的夾角. (1)解.的參數(shù)方程為.的切向量為(2)證明. 因為，在曲線上每一點處，.由上可知. 所以，；，. p. 104 習題3.32. 設球面的參數(shù)方程是.求它的第一基本形式. 解. 記. 則，.所以，從而.5. 設在曲面上一點，由微分的二次方程 (1)確定了在該點的兩個切方向. 證明：這兩個切方向彼此正交函數(shù)滿足 ，其中是曲面的第一基本形式. 證明. 由條件，二次方程(1)有兩個互異的實根和，因此可以分解為兩個一次

6、因子的乘積：. (2)其中是關于變量的函數(shù). 因為上式是關于文字的二次多項式，比較兩邊的系數(shù)，得，. (3)由(2)可知(1)所確定兩個切方向為，. (4)這兩個切方向彼此正交 (課本(3.18) (由(4)式). (由(3)式) 8. 已知曲面的第一基本形式為. (1) 求曲線與的交角；(2) 求曲線，和所圍成的曲邊三角形的各個邊長和各個內角. (3) 求曲線，和所圍成的曲邊三角形的面積. 解. (1) 已知. 因為交點為. 在交點處. 對于，；對于，. 所以它們的切方向滿足.于是它們的交角為，或. (2) 不妨設常數(shù). 如圖，在曲紋坐標下，與的交點為，與的交點為，與的交點為. 因為是計算內

7、角，在點. 同理，所以內角. 在點，所以.在點，.所以，. 曲線，的弧長分別為，.注. 在90版中，本題為，故，.(3)因為，所以曲邊三角形的面積p. 110 習題3.41. 設空間曲線以弧長為參數(shù)，曲率是. 寫出它的切線曲面的參數(shù)方程，使得相應的參數(shù)曲線構成正交曲線網(wǎng). 解. 設曲線的Frenet標架是. 則它的切線曲面參數(shù)方程可寫為.由，可得它的第一基本形式. (1)直母線(即-曲線)的正交軌線的微分方程為，即. 為此，作參數(shù)變換，. 則逆變換為，切線曲面的參數(shù)方程為.在新參數(shù)下，. 第一基本形式化為.所以參數(shù)曲線構成正交曲線網(wǎng). 也可將，直接代入(1)式得到上式：.3. 求曲線的參數(shù)曲線

8、的正交軌線，其中是常數(shù). 解.，. 第一基本形式為.-曲線的正交軌線的微分方程為，即. 解這個微分方程：，得到-曲線的過的正交軌線為.-曲線的正交軌線的微分方程為，即. 過的正交軌線為. p. 110 習題3.51. 證明：在懸鏈面，與正螺面，之間存在保長對應. 證明. 懸鏈面的第一基本形式為. 正螺面的第一基本形式為.對正螺面作參數(shù)變換，令. 則，參數(shù)變換是可允許的. 由于，正螺面的第一基本形式化為.根據(jù)定理5.3，在懸鏈面與正螺面之間存在保長對應. 對應關系式為. p. 110 習題3.51. 判斷下列曲面中哪些是可展曲面？說明理由. (1) ；(2) ；(3) ； (4) .解. (1)

9、 .所以它是可展曲面，因為它是正則曲線()的切線面. (2) ，其中是圓柱螺線，. 所以它是可展曲面. (3)令，.則，直接計算得. 當時，它是馬鞍面，所以不是可展曲面.當或時，它是平面，所以是可展曲面.當且時，它不是正則曲面.(4) 令，. 則. 由于，它不是可展曲面.2. 考慮雙參數(shù)直線族，其中是直線族的參數(shù). (1) 求參數(shù)和之間的關系，使得由此得到的單參數(shù)直線族是一個可展曲面的直母線族；(2) 確定相應的可展曲面的類型. 解. (1) 對于固定的參數(shù)，該雙參數(shù)直線族中的一條直線可以寫成點向式：.設所求的函數(shù)關系為. 則得到一個單參數(shù)直線族，它們構成的直紋面的方程為.于是是可展曲面，其中是任意常數(shù). 即所求的函數(shù)關系為.(2) 此時的參數(shù)方程為，其中，.由于，不是柱面.如果是錐面，則有函數(shù)使得，其中為常向量. 于是，從而，是常數(shù). 由此得，矛盾. 因此是切線曲面. 事實上，記，其中. 則.取新的準線. 則.于是的參數(shù)