數(shù)學(xué)分析(1)第二章數(shù)列極限復(fù)習(xí)自測(cè)題

1、數(shù)學(xué)分析（1）第二章 數(shù)列極限復(fù)習(xí)自測(cè)題一、仔細(xì)體會(huì)并熟練掌握的定義（注意體會(huì)并正確理解和在定義中的作用和含義，掌握用定義驗(yàn)證數(shù)列極限的基本思想【對(duì)任意給定的正數(shù)，尋找在的過(guò)程中，使得實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)】和實(shí)現(xiàn)基本思想的具體實(shí)施方法【對(duì)任意給定的正數(shù)，求解關(guān)于的不等式“”，得出“某常數(shù)”的這種形式的解】），并用此定義證明下列極限：（1），；（2）；（3）；（4）；（5）若，則對(duì)于任意給定的正整數(shù)，（稱(chēng)為極限的開(kāi)方法則）。二、正確理解并掌握和的幾何意義，并用此幾何意義解決下面的問(wèn)題：（1）若，則；（2）若，則，為固定的正整數(shù)；（3）數(shù)列收斂（也稱(chēng)存在）是指：存在數(shù)，使得；數(shù)列發(fā)散（也稱(chēng)不存在）是指：對(duì)任

2、意的數(shù)，。證明：對(duì)任意的數(shù)，即發(fā)散。（4）試寫(xiě)出的對(duì)偶命題（稱(chēng)為的否定形式），即的精確的不等式表示。三、仔細(xì)體會(huì)并熟練掌握數(shù)列極限的常用性質(zhì)【極限的惟一性，有界性，保號(hào)性，保不等式性，運(yùn)算性（包括四則運(yùn)算性，迫斂性或夾逼性），子列性】以及常用性質(zhì)的證明方法（注意體會(huì)定義在討論數(shù)列極限問(wèn)題中的作用），并用這些性質(zhì)解決下面的問(wèn)題：1、用四則運(yùn)算性計(jì)算下列極限（注意體會(huì)四則運(yùn)算法則使用的前提條件）：（1）；（2）；（3），其中。2、用迫斂性或夾逼法則計(jì)算或證明下列極限（注意體會(huì)夾逼法則使用的前提條件）：（1）；（2）；（3）若，則，（注意體會(huì)與極限的開(kāi)方法則的區(qū)別）；3、用保號(hào)性證明：若，且，則存在

3、正數(shù)，當(dāng)時(shí)有（稱(chēng)為數(shù)列極限保序性的一般形式）；4、利用子列性證明和不存在（注意子列性在討論數(shù)列發(fā)散問(wèn)題中的作用）。（注：子列性的一個(gè)典型的作用是提供判斷某些數(shù)列發(fā)散的有效方法）四、仔細(xì)體會(huì)并熟練掌握關(guān)于數(shù)列極限存在性的單調(diào)有界定理和柯西準(zhǔn)則，并用它們解決下面的問(wèn)題：1、分別用單調(diào)有界定理和柯西準(zhǔn)則兩種方法證明數(shù)列和（其中）；收斂；2、（1）若數(shù)列滿(mǎn)足：，（），證明存在，并求其值；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足：設(shè)，（），證明存在，并求其值。3、（1）體會(huì)柯西準(zhǔn)則【收斂對(duì)任意給定的正數(shù)，存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)，總有】中，標(biāo)準(zhǔn)與的關(guān)系；（2）寫(xiě)出柯西準(zhǔn)則的對(duì)偶命題；（3）用柯西準(zhǔn)則的對(duì)偶命題可得一個(gè)有用的結(jié)論：若存在的兩個(gè)子列和，使得，則不存在，即發(fā)散。試?yán)么私Y(jié)論證明：和，都不存在。4*、記，則（1）；（2），；（注意：利用不等式，當(dāng)時(shí)，）（3）和都存在，且；（注意：利用（1）和（2）以及單調(diào)有界定理，以及）（4），從而發(fā)散；（注意：利用（3）和）；（5）。五、（1）歸納已學(xué)過(guò)的求數(shù)列極限的方法（定義法、定義的幾何意義法、極限的性質(zhì)法、利用極限存在的條件的方法等）；（2）歸納已學(xué)過(guò)的判斷數(shù)列極限不存在的判別方法（極限定義的對(duì)偶命題、極限定義幾何意義的對(duì)偶命題、子列性產(chǎn)生的方法、柯西準(zhǔn)則的對(duì)偶命題）。六、第二章的學(xué)習(xí)報(bào)告要求至