平面向量十一種類型

1、 平面向量專題高考真題類型一：向量的坐標(biāo)表示類型二：幾何形狀類型三：比值類型四：系數(shù)的計算類型五：數(shù)量積類型六：夾角的計算類型七：面積計算類型八：長度的計算類型九：三點共線恒等式類型十：基底系數(shù)判斷類型十一：求最值問題 高考真題2011年10（5分）（2011江蘇）已知，是夾角為的兩個單位向量，=2，=k+，若=0，則實數(shù)k的值為 ABCEFD2012年 9如圖，在矩形ABCD中，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是 2013年 10設(shè)分別是的邊上的點，若（為實數(shù)），則的值為 2014年 12（5分）（2014江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，則

2、的值是_2015年 6.已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 則的值為_.2016年 13.如圖，在中，是的中點，是上兩個三等分點，則的值是 （偏于向量表示和運(yùn)算） 2017年 12如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°若，則 （偏于向量分解）【答案】3【解析】由可得，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，所以【考點】向量表示【名師點睛】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不

3、等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將原問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域的問題，是此類問題的一般方法（3）向量的兩個作用：載體作用，關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題2018年12. 在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D若，則點A的橫坐標(biāo)為_（偏于綜合）【答案】3【解析】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果.詳解：設(shè)，則由圓心為中點得易得，與聯(lián)立解得點D的橫坐標(biāo)所以.所以，由得或，因為，所

4、以點睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法. 類型一：向量的坐標(biāo)表示1.如圖所示，在ABC中，3，若a，b，則_(用a，b表示)2已知ABCD的頂點A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點D的坐標(biāo)為_答案(1,5) 有無三種可能性？解析設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3.已知點A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點B的坐標(biāo)為_ 設(shè)點B的坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y5)由3a，得解得4.,在ABC中，點P在

5、BC上，且2，點Q是AC的中點，若(4,3)，(1,5)，則_. 33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)5.已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b_.由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)，即m4.從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)6.已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為_在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y

6、)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點D的坐標(biāo)為(2,4)7.若三點A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實數(shù)a的值為_答案解析(a1,3)，(3,4)，根據(jù)題意，4(a1)3×(3)，即4a5，a.8.已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)方法二設(shè)點P(x，y)，則(x，y)，因為(4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，

7、y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)類型二：幾何形狀1.若點O是ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|2|，則ABC的形狀為_2.已知平面上有四個互異點A、B、C、D，若(2)·()0，則ABC的形狀為_類型三：比值1.如圖所示，在ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求APPM的值類型四：系數(shù)的計算1.如圖，在四邊形ABCD中，AB2AD1，AC，且CAB，BAD，設(shè)，則_.2.已知：如圖，|1，與的夾角為120°，與的夾角為30°，若(、R)，則

8、等于_3.設(shè)兩個向量a(2，2cos2 )和b，其中，m，為實數(shù)若a2b，則的取值范圍是_4.如圖，在邊長為單位長度的正六邊形ABCDEF中，點P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動點，設(shè)(，R)，則的取值范圍是_解析不妨以點A為原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)則(x，y)，2x，當(dāng)點P在CE上時，3，當(dāng)P在D點時，4.5.已知ABC為等邊三角形，AB2.設(shè)點P，Q滿足，(1)，R，若·，則_.類型五：數(shù)量積 1. 設(shè)E、F分別是RtABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB3，AC6，則·_.2.若等邊三角形ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點M滿足，則·_

9、.3.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(3bc)cos Aacos C，SABC，則·_.4.在ABC中，a，b，c，且|a|1，|b|2，|c|，則a·bb·cc·a_.5. 如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3， BC，則·_. 類型六：夾角的計算1.已知向量a，b滿足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_2.已知非零向量a，b滿足|ab|ab|a|，則ab與ab的夾角為_3.已知平面向量a、b，|a|1，|b|，且|2ab|，則向量a與向量ab的夾角為_解析 |2ab|24

10、|a|24a·b|b|27，|a|1，|b|，44a·b37，a·b0，ab.如圖所示，a與ab的夾角為COA，tanCOA，COA，即a與ab的夾角為. 答案 類型七：面積計算1.已知O是ABC的內(nèi)部一點，0，·2，且BAC60°，則OBC的面積為_解析由·|cos 60°2，得|4，SABC|sin 60°，由0知，O是ABC的重心，所以SOBCSABC.答案類型八：長度的計算1.已知向量p的模為，向量q的模為1，p與q的夾角為，且a3p2q，bpq，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的長度較小的對角線長為_解析由題

11、意可知較小的對角線為|ab|3p2qpq|2p3q| .答案類型九：三點共線恒等式1.如圖，已知點G是ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且x，y，則的值為_易知，xy，故.由于與共線，所以yx，即xy(xy)，因此.2.如圖，經(jīng)過OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)m，n，m，nR，則的值為_答案3解析設(shè)a，b，由題意知×()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三點共線得，存在實數(shù)，使得，即nbmaab，從而消去得3.類型十：基底系數(shù)判斷1.設(shè)G為ABC的重心，且sin A·sin B·sin C·0，則B的大

12、小為_答案60°解析G是ABC的重心，0，()，將其代入sin A·sin B·sin C·0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共線，sin Bsin A0，sin Csin A0，則sin Bsin Asin C根據(jù)正弦定理知bac，ABC是等邊三角形，則角B60°.2. 已知點p在所在的平面內(nèi)，若，則與的面積比值為 3. 在中，則類型十一：求最值問題1.設(shè)(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點，若A，B，C三點共線，則的最小值為_答案解析由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(當(dāng)且僅當(dāng)ba時，等號成立)2. 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動若xy，其中x，yR，求xy的最大值思維點撥