中考數(shù)學(xué)提升講義-共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型及其延伸

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學(xué)共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型一、題源分析（人教版八年級(jí)上冊(cè)第55頁）如圖， ,求證 （人教版九年級(jí)上冊(cè)第63頁）如圖，都是等邊三角形，BE與DC有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎？二、共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型簡(jiǎn)要概述共頂點(diǎn)模型，是指兩個(gè)等腰或者等邊三角形的頂點(diǎn)重合，兩個(gè)三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等或者相似。例如上題中的三角形ADC和三角形ABE。尋找共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點(diǎn)（2）列出兩組相等的邊或者對(duì)應(yīng)成比例的邊（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個(gè)三角形中去，證明全等或相似即可。典例分析1：（2014年河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB

2、和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE填空：（1）AEB的度數(shù)為 ； （2）線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 。（2）拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等腰三角形，ACB=DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE。請(qǐng)判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。思路點(diǎn)撥：（1）第一問，考慮到兩個(gè)等邊三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，在點(diǎn)C處可以找到兩組相等的邊，列出來即可表示為：，觀察邊的形式，就可以得到全等的兩個(gè)三角形是：.（2）類比第一問，可以得到，故而全等的三角形為，之后再做計(jì)算即可。典例分析2：（2015年安徽）如圖1

3、，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC（1）求證：ADBC；（2）求證：AGDEGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值思路點(diǎn)撥：（1）第一問，結(jié)合共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)全等模型即可（2）類比第一問，全等模型的延伸，相似模型。根據(jù)，類比全等證明相似。（3）結(jié)合前兩問的相似即可得到即為相似比，亦即求解的值即可。典例分析3：（2011年廣州中考）如圖1，O中AB是直徑，C是O上一點(diǎn)，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上（1）證明：B、C、E三點(diǎn)共線；（

4、2）若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：。思路點(diǎn)撥：（1）第一問，共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（2）根據(jù)第一問的全等證明即可構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型求解。三、共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用1半角模型：所謂半角模型，是指在從角的頂點(diǎn)向角內(nèi)部引出兩條直線，這兩條直線形成的夾角恰好等于原角的一半大小。典例分析1：（2014年四川綿陽）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EAF=45，ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 思路點(diǎn)撥：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90即可。典例分析2：（2016南崗區(qū)模擬）已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在ABC外，連接BD、CD，且BDC=120，BD=DC，點(diǎn)M，N

5、分別在邊AB，AC上，連接DM、DN、MN，MDN=60，探究：AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系（1）如圖1，當(dāng)DM=DN時(shí)，=；（2）如圖2，當(dāng)DMDN時(shí)，猜想=；并加以證明思路點(diǎn)撥：典型的半角模型，將三角形DCN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120即可。總結(jié)：（1）半角模型的基本形式：大角包小角，小角得一半（2）半角模型的解題方法：將被兩條直線分開的兩個(gè)角中任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)全角大小即可。延伸例題：（2016春黃島區(qū)期中）問題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=

6、BE+FD，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論【類比引申】如圖（2），四邊形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)EAF與BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD【探究應(yīng)用】如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AEAD，DF=（4040）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)為米2K字模型：所謂K字模型，與半角模型類似，實(shí)則是指構(gòu)成的圖形類似于“K”字。題源：人教版課本新課標(biāo)八年級(jí)下冊(cè)第30頁，勾股定理的證明。典

7、例分析1：（2014年四川南充）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）思路點(diǎn)撥：過點(diǎn)C作x軸的垂線即可。典例分析2：（2015山東省德州市）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，DPC=A=B=90.求證：ADBC=APBP.（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)DPC=A=B=時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由.（3）應(yīng)用請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足DPC=A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值.總結(jié)：K字形模型解題基本思路是：利用角的和相等的原理，證明K的兩邊的三角形相似或全等。在不相似或者全等時(shí)，構(gòu)造三角形使兩個(gè)三角形全等相似。例如：（2016洛陽模擬）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且滿足ADE=60，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點(diǎn)E，試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作DFAC，交AC于點(diǎn)F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠使問題得到解決，請(qǐng)直接寫出AD與DE的數(shù)量關(guān)系：；（2）【類比