數(shù)列中裂項(xiàng)相消的常見(jiàn)策略

1、數(shù)列中裂項(xiàng)相消的常見(jiàn)策略化娟 （甘肅省臨澤一中 734000）裂項(xiàng)相消是數(shù)列中常見(jiàn)的求解策略，裂項(xiàng)的本質(zhì)是把數(shù)列中的乘積形式變成2項(xiàng)差的形式.近幾年的數(shù)學(xué)高考試題頻頻用到此法，本文就解決這類(lèi)問(wèn)題的策略結(jié)合常見(jiàn)的試題給予概括總結(jié)，以供參考.1 利用分式的通分進(jìn)行裂項(xiàng)通分在小學(xué)和初中階段都是常見(jiàn)的內(nèi)容，而裂項(xiàng)主要是逆用通分，把乘積式轉(zhuǎn)化為2式的差.例如可以利用進(jìn)行裂項(xiàng).例1 求和1+分析 因?yàn)?，所?原式=2例2 已知等差數(shù)列滿足： a=7,a+a=26, 的前n項(xiàng)和為S（1） 求a及S（2） 令b,求數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén).分析 （1）略.(2)由，得,從而 因此 =.2 利用根式的分母有理化進(jìn)行裂

2、項(xiàng)分母有理化可以把分母中的根式去掉，從而轉(zhuǎn)化為差的形式進(jìn)行裂項(xiàng).例如可以利用分式等.例3 已知數(shù)列滿足，求.分析 由=.得 =.3 利用配湊法進(jìn)行裂項(xiàng)把數(shù)列通過(guò)加一個(gè)數(shù)再減一個(gè)數(shù)或者乘一個(gè)數(shù)再除一個(gè)數(shù)，湊成差的形式進(jìn)行裂項(xiàng).例如等形式.例4 已知數(shù)列滿足條件，且，設(shè)，求的通項(xiàng)公式.分析 將代入，得 ，從而 .令則.從而 =2=2()+=，于是 .4 利用兩角差的正切公式進(jìn)行裂項(xiàng)把兩角差的正切公式進(jìn)行恒等變形，例如 可以變形為或者其他形式，從而解決問(wèn)題.例5 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作，（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.分析 （1）（2）由題意和第（1）小題的計(jì)算結(jié)果，知另一方面，利用，得于是5 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)對(duì)數(shù)運(yùn)算有性質(zhì)，有些試題則可以構(gòu)造這種形式進(jìn)行裂項(xiàng).例6 各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，證明：.分析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q），由，得，從而，因此， 左邊=右式.6 利用排列數(shù)或組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)排列數(shù)有性質(zhì)，組合數(shù)有這樣的性質(zhì)，都可以作為裂項(xiàng)的依據(jù).例7 求和：分析 直接利