數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教程實(shí)驗(yàn)18(二重積分的幾何體的形象化)

1、實(shí)驗(yàn)18二重積分的可視化實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦脭?shù)學(xué)軟件Mathematica的繪圖功能幫助學(xué)生建立二重積分的積分區(qū)域的幾何形狀以及空間幾何體的外觀，加深對(duì)所求積分的理解。預(yù)備知識(shí) 二重積分、Mathematica相關(guān)積分命令實(shí)驗(yàn)內(nèi)容研究?jī)蓚€(gè)空間區(qū)域的體積問題?！卷?xiàng)目1】 計(jì)算函數(shù)之下，x-y平面中介于拋物線和直線之間的區(qū)域R上的立體的體積：【Step1】：首先來(lái)觀察一些積分區(qū)域的形狀和所求立體的形狀fx_,y_:=x2+(1/2) y2;c1x_:=-x2+4 x+2;c2x_:=2 x+2;domain=Plotc1x,c2x,x,0,2.5,PlotRange->0,6.5,PlotStyle

2、®RGBColor1,0,0圖18-1 積分區(qū)域 立體的形狀如下： Plot3Dfx,y,x,0,3,y,0,7,AxesLabel®x,y,z圖18-2 上表面但由于表面遮住了積分區(qū)域，因此無(wú)法看清具體的立體形狀，我們改進(jìn)一下，定義一個(gè)特征函數(shù)以保留需要的去處不需要的：Kx_,y_:=If(2 x+2)£y£(-x2+4 x+2),1,0;Plot3Dfx,y Kx,y,x,0,3,y,0,7,AxesLabel®x,y,z,PlotPoints®50,Mesh®False,PlotRange®0.01,20,C

3、lipFill®None圖18-3 空間幾何體形狀【Step2】計(jì)算積分Integratefx,y,x,0,2,y,2 x+2,-x2+4 x+2【項(xiàng)目2】 三個(gè)正圓柱面彼此相互垂直相交所圍成幾何體的體積設(shè)想在空間有三個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的正圓柱面，底半徑都等于1，其中一個(gè)用x軸作為它的軸（稱為Cx），另外兩個(gè)分別以y軸和z軸作為它的軸，稱為Cy和Cz，這三個(gè)圓柱面彼此相交于圍繞著原點(diǎn)的一個(gè)立體區(qū)域，我們需要求出它的體積?！維tep1】 首先想一想它在x-y平面以上的部分： 底面：，是一個(gè)圓盤；頂面：圓柱面Cx和Cy被Cz截出的部分。Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y

4、_:=Sqrt1-x2;ceilingx_,y_:=MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y2£1,1,0;pic1=Plot3Dceilingx,y Kx,y,x,-1,1,y,-1,1,Lighting®True,PlotPoints®50,BoxRatios®1,1,1,ViewPoint®2,2,2,AxesLabel®x,y,z,PlotRange®0.01,1,ClipFill®None,Mesh®False圖18-4 上半部分 Clearf,K;fx_,y_:=Sq

5、rt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;Dceilingx_,y_:=-MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y2£1,1,0;pic2=Plot3DDceilingx,y Kx,y,x,-1,1,y,-1,1,Lighting®True,PlotPoints®50,BoxRatios®1,1,1,ViewPoint®-2,-2,-2,AxesLabel®x,y,z,PlotRange®-1,-0.01,ClipFill®None,Mesh®False圖18-5 下半部分

6、【Step2】： 其次考慮其在第一卦限的立體部分，通過(guò)圖像觀察：Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;ceilingx_,y_:=MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y2£1,1,0;Plot3Dceilingx,y Kx,y,x,0,1,y,0,1,Lighting®True,PlotPoints®50,BoxRatios®1,1,1,ViewPoint®2.357,1.369,2.131,AxesLabel®x,y,z,PlotRange®0.01,1,ClipFill®None,Mesh®False圖18-6 第一卦限內(nèi)的形狀【Step3】：計(jì)算體積首先，這個(gè)體積是可由極坐標(biāo)計(jì)算的；其次，由對(duì)稱性，整個(gè)體積是第一卦限內(nèi)體積的8倍，而這個(gè)體積又是在區(qū)域上面體積的2倍；第三，在底板R部分上面的頂板由Cy給出，它的方程是：第四，體積為：用Mathematica計(jì)算得到：16*IntegrateSqrt1-r2 Cosu2 r,r,0,1,u,0,Pi/4實(shí)驗(yàn)練習(xí)一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)。用Mathemat