微分幾何陳維桓

1、習題答案1p.41 習題2.3 1. 求下列曲線的曲率：(2) ；(4).解. (2)，, , , .(4)，,， ，().4. 求曲線在處的曲率和密切平面方程. 解. 設曲線的弧長參數(shù)方程為, ，. 則滿足題給的方程組，所以有.對上式求導得. (1)再求導，得. (2)在處，由(1)解出，. 不妨設. 所以.代入(2)得.所以，.于是.所以在處，曲率為，密切平面方程為，即.7. 證明：若一條正則曲線在各點的切線都經(jīng)過一個固定點，則它必定是一條直線. 證明. 設曲線的弧長參數(shù)方程為，它的Frenet標架為，曲率和撓率分別為. 再設定點為(常向量). 由條件，和都在的過點的切線上，所以. 故可設

2、.對上式求導，利用Frenet公式可得.所以，是直線. p. 47 習題2.4 1. 計算習題2.3第1題中各曲線的撓率. (2) ；(4) .解. (2) ，, ，. (4)，,， ，, (). 4. 假定是正則弧長參數(shù)曲線，它的撓率，曲率不是常數(shù)，并且， (1)其中為常數(shù). 證明該曲線落在一個球面上. 證明. 由條件(1)，求導得.因為不是常數(shù)，上式說明. (2)設它的Frenet標架為. 考慮向量函數(shù). (3)對上式求導，利用Frenet公式和(2)式，得.所以是常向量. 代入(3)得到，.這說明在以為中心，以為半徑的球面上. 10. 設是單位球面上經(jīng)度為，緯度為的點的軌跡. 求它的參數(shù)

3、方程，并計算它的曲率和撓率. 解. 單位球面的參數(shù)方程為，.其中為經(jīng)度，為緯度. 將代入，得曲線的參數(shù)方程.于是，.，.,.所以，.p. 55 習題2.51，6. 設正則曲線的曲率處處不為零. 則下述命題是等價的：(a)是一般螺線(即的切向量與固定方向成定角)；(b)的主法線與固定平面平行；(c)的撓率與曲率之比是常數(shù). 證明. 設曲線的弧長參數(shù)方程為，它的Frenet標架為，曲率和撓率分別為.(a)(b). 設固定方向的單位向量為. 則是常數(shù). 因為，求導得到，即主法線方向與固定方向垂直. 所以主法線與以為法向量的一個固定平面垂直. (b)(c). 設固定平面的單位法向量為. 則. 于是.

4、這說明是常數(shù)，其中. 因為，可設.用與等式兩邊作內積，得是常數(shù). 再由是單位向量可知也是常數(shù). 不妨設，則上式成為求導得到.所以是常數(shù). (c)(a). 設是常數(shù). 令.則.所以是常向量，從而切方向與固定方向成定角. 4. 證明：曲線和曲線可以通過剛體運動彼此重合. 證明. 對曲線作參數(shù)變換，可知是圓柱螺線：. ()它的曲率和撓率分別為，. 因此只要證明曲線的曲率，撓率，從而根據(jù)曲線論基本定理，它們可以通過剛體運動彼此重合. 直接計算可得，.，. 注. 此類證明題，一般是由等式確定一個函數(shù)，然后證明. p. 63 習題2.62. 作正則參數(shù)曲線關于一張平面的對稱曲線. 證明：曲線和在對應點的曲

5、率相同，撓率的絕對值相同而符號相反. 證明. 設曲線的弧長參數(shù)方程為，它的Frenet標架為，曲率和撓率分別為. 再設是過定點，以為單位法向量的平面.由上圖可見在方向的投影向量，從而在平面上的投影向量.同理，在方向的投影向量. 用表示關于平面的對稱點. 由于是和的中點，所以求導得，.所以也是的弧長參數(shù). 設的Frenet標架為，曲率和撓率分別為和. 則.再求導，得.于是，.由此得. 所以有，. 3. 如果正則參數(shù)曲線的向徑關于弧長的階導數(shù)是，求它的階導數(shù). 解. 由Frenet公式可得p. 69 習題2.74. 假定曲線和曲線的曲率處處不為零，且它們之間存在一一對應，使得曲線在每一點的主法線是

6、曲線在對應點的次法線. 證明：曲線和在對應點之間的距離為常數(shù)，并且曲線的曲率和撓率滿足關系式.證明. 設曲線和的弧長參數(shù)方程分別為和，它們之間的一一對應由函數(shù)關系給出. 再設它們的Frenet標架分別為和，曲率和撓率分別為和.由條件，可設， (1)， (2)其中. 對(1)式兩邊求導，得. (3)再用(2)兩邊分別與(1)兩邊作內積，得，所以為常值函數(shù). 這說明和在對應點之間的距離為常數(shù).將(3)重寫為. (4)上式再求導，得.用(2)兩邊分別與上式兩邊作內積，得. 因為，所以，即有.8. 證明：圓柱螺線的漸伸線是落在與其軸線垂直的平面內的一條曲線，并且它也是圓柱螺線所在圓柱面與該平面的交線的

7、漸伸線. 證明. 1.以圓柱螺線的軸線為軸，建立空間直角坐標系. 它的參數(shù)方程為. 因為，從開始計算的弧長為. 由于單位切向量為，根據(jù)定理7.3，漸伸線方程為，其中是任意一個取定的常數(shù). 記. 則漸伸線方程可以寫成. (1)它是落在與其軸線(軸)垂直的平面內的一條曲線. 2. 圓柱螺線所在圓柱面與該平面的交線是平面內的一個圓.它的弧長為. 單位切向量為.所以它的一般的漸伸線方程為. (2)在(2)中取，就得到上面的漸伸線(1).注. 在工業(yè)上，圓的漸伸線一般被用來作為齒輪的齒廓線. p.75 習題2.8 1. 求下列平面曲線的相對曲率. (2) 雙曲線：，.(4) 擺線：，.(6) 曳物線：，.解.(2)，.(4)，.(6)，.2. 設平面曲線在極坐標系下的方程是，其中是極距，是極角. 求曲線的相對曲率的