[第五講] Berry相位之爭

1、 第五講 Berry相位之爭前 言一，關于“什么是Berry相位”的爭論 1，“量II”書中的推導 2，一個反例：一維矢量平移總是拓撲平庸的 3，正確的說法：一盆有小孩的洗澡水二，關于“Berry相位本質”的爭論 1，非得從含時Schrodinger方程才可以導出Berry相位嗎？ 2，二維流形上矢量平移及協變導數計算3，二維流形的和樂相因子計算 4，Berry相位的本質是幾何的參考文獻一，關于“什么是Berry相位”的爭論1，文獻1、2及3、4中的推導 在Berry原始文獻1中所敘述的正確做法是：一個含時過程，其Hamilton量通過含時參量依賴于時間，即為， （1）假設這個含時過程是個絕熱

2、演化過程，即時刻都有如下準定態(tài)方程成立， （2）注意,這里的Hamilton量雖然變化極其緩慢(標準下面再討論)，但經長時間演化后，Hamilton量的變化可以很大。由于存在準定態(tài)方程，可以合理地假設抽出一個如下相因子稱之為動力學相因子。于是，總體而言，可以假設滿足此時初條件的含時解為 （3）至此，1中緊接著就研究：此時關鍵問題是，當相位為不可積相因子、不能寫成的函數，特別是，在連續(xù)循環(huán)一周C之后，是非單值的。并指出，根據必須滿足含時Schrodinger方程，可以直接得到的表達式。由于此種計算很直接，原文予以省略?，F將其補述如下，于是得到即當然也就有（注意，Berry認為下面公式（4）無意義

3、，因此他在1中原文里并未寫出這個公式。） （4）于是1中最后得到，連續(xù)循環(huán)一周后，動力學方程解和為 （5）根據Berry這一開創(chuàng)性工作，后來人們將戲統(tǒng)循環(huán)一周返回后，由于參數空間的拓撲不平庸性，所出現的不為零相因子稱為Berry相位。這在數學家Simon當時所寫的文章中，對此相因子的數學背景有更深的剖析2。3第222-224頁和4也補充了這段計算。3、4在作了含時展開繼以絕熱近似后，3中第224頁和4公式（13）也給出了（4）式但是，3、4錯誤的將公式（4）當作了Berry相位。在3中第224頁緊接著就強調指出：“從上述推導可明顯看出，Berry絕熱相的出現，是由于要求量子態(tài)隨時間的演化必須滿

4、足Schrodinger動力學方程。因此，從根本上講，無論，或者，其根源都來自動力學的要求。”（著重號是原有的）。這里，曾先生用著重號強調兩點：其一，Berry相因子來源于含時Schrodinger方程；其二，認為Berry相因子既然來源于動力學方程，所以它本質上是動力學的。 3中這段強調議論恰恰是錯誤的。因為這段敘述忘記了Berry原文1在此處推導之前，上面還有一段關于不可積相因子的敘述。3、4的敘述引起了強烈的質疑5?，F在來看看是怎么回事。 2，一個反例：一維矢量平移總是拓撲平庸的 在詳細論證i) 什么是Berry相因子，ii) 它的本質是動力學的還是幾何的這兩個問題之前，先舉一個一維例子

5、來說明3、4中強調的說法是錯誤的。由于一維準定態(tài)的時空演化過程，其拓撲性質總是平庸的。因此可以指望，這時（4）式相因子在循環(huán)一周之后將恒為零。證明：利用含時態(tài)已歸一的性質，有 再利用一維定態(tài)波函數總可以取成實函數這一事實，進一步有于是有這導致的被積函數恒為零，即。 由這個一維定態(tài)例子啟發(fā)我們：一般地說，這個的表達式含有平庸的情況，即等于零的情況。所以不能將這個表達式籠統(tǒng)地稱作為Berry相因子。只當循環(huán)一周后不為零的情況下，才是Berry相因子。這時系統(tǒng)的內稟空間必定是拓撲不平庸的，而且相因子本身也必定是不可積的。至于4中所得結果以及例算都是含時疊加態(tài)在特定（兩個能級數值相等，符號相反）情況下

6、，按上面公式（4）在形式上算得的相因子。它們與Berry相因子毫無關系。就是說，即便算出此相因子不為零，也不意味著系統(tǒng)拓撲性質是不平庸的（見下）。舉例，一維活塞問題。即一維活動墻的準定態(tài)無限深方阱問題。這時，無論怎樣絕熱地移動兩面墻即保持阱內粒子狀態(tài)的無量綱量子數不變的任意含時準穩(wěn)態(tài)演化過程中，不僅在兩面墻移動一周還原時，而且在過程中時時刻刻都有。3，正確的說法：一盆有小孩的洗澡水應當說，人們早就知道這個關于的表達式（4）。只是由于以下兩點，因而對其“視而不見” ：其一，在得到這個表達式之前已經作了絕熱近似，因而這個表達式就已經無關緊要了。這是因為，由于時時刻刻都存在準定態(tài)方程，于是，在時刻的

7、定態(tài)解前面可以添加任意相因子，而不影響定態(tài)解的成立。顯然，不同時刻，這個相因子可以相同或不同。這樣一來事情就成為，整個含時過程可以有一個任意時間函數的相因子，而不影響每個時刻定態(tài)解的成立。就是說，在絕熱近似即時時刻刻都有準定態(tài)方程成立的假設下，從所作假設和邏輯自洽角度來看，已不必計較任意時間函數的相因子了。這就是Berry之前，人們?yōu)槭裁磳@個含時因子表達式“視而不見”的緣故；其二，再加之，Berry之前，人們也不知道這里面還有一個不可積相因子的問題?？偠灾捎谏鲜鰞牲c，Berry之前的人們對這個含時因子表達式并非不知道，而是“視而不見”。在Berry之后的現在來看，應當說，這個公式既含有

8、小孩，也含有洗澡水。不可以籠統(tǒng)地稱作為小孩！然而，3、4將水盆里所有的東西都當作了小孩。并且進一步還對小孩作了新的定義，探討了小孩的來源小孩來自動力學，而不是來自幾何學（拓撲不平庸性）。用疊加態(tài)作個說明。取文獻4中第一個例子?？纯磫栴}是怎么回事。一維諧振子，或是任何兩能級系統(tǒng)。這是一個與時間無關的問題。取初態(tài)于是有取演化的一個循環(huán)周期（）之后，。所以總相位是。按公式（4）計算得當時；當時。就這樣，4將這個相位稱作了Berry相因子。這個例子實在沒有任何數學背景。因為這個量子系統(tǒng)根本沒有參數空間，更談不上拓撲非平庸問題。其實，它正是在Berry之前當人們作了絕熱近似后將其棄置不顧的洗澡水。二，關

9、于“Berry相位本質”的爭論1，非得從含時Schrodinger方程才可以導出Berry相位嗎？ 答案是否定的?？梢詮亩☉B(tài)Schrodinger方程出發(fā)推導AB相因子?？蓞⒁?4。 2，流形上矢量平移、協變導數計算 先研究單位球面。取球坐標（）作為活動標架。容易得到它們在固定的直角坐標中的表示： （6）可以證明6：一般說來，活動標架的導數構成一組封閉關系。比如，由（6）式就能得到，對球坐標活動標架的微分表示式為： （7） 平面上兩根不相交的直線稱為平行線。但在球面上，這種平行線的概念是不存在的，因為：球面所有的大圓均相交。但可以引入對球面上矢量作平行移動的概念。令為球面某點的切平面內一個矢量

10、。并稱其為屬于曲面（點）的矢量。眾所周知，對矢量作普通意義下的平行移動意味著，它對移動參數的全微分等于零： （8）現在，設沿一小弧線段，按普通意義的平行移動，將其平移到鄰近的點。由于點切平面與點切平面有不同的法線方向，矢量將不再處于點的切平面內，也即不再屬于曲面（點）的矢量。這就是說，屬于曲面的矢量，其全微分為零一般不與其沿曲面（某條曲線作）平行移動的概念相一致。所以，需要擴充矢量平移的概念，使矢量移動時保持仍屬于曲面（在各點都處于該點切平面內）。 為此，定義：對矢量的絕對微分（或協變微分）為，屬于曲面某點的矢量，當它沿曲面移動時，其微分矢量向此點切平面的投影，稱為此矢量在此點的絕對微分，即在

11、切平面上的投影矢量 （9）于是，將上面“全微分為零”的條件換為較弱的“絕對微分為零”的條件7： （10）方程（8）表示三維歐氏空間中矢量平行移動。與此相對照，（10）式是這個概念的發(fā)展曲面上的矢量沿曲面的某一條曲線作平行移動。詳細些說，（10）式是當黎曼空間作為浸入空間的曲面時，從包容空間來看，“上矢量的平行移動要使的切分量永遠為零”，就是要使矢量的微分變化量與處處正交，即8“總是垂直于的切仿射空間”。 這些概念說明如下。設矢量是球面某點切平面內的任一矢量，則當其移動時，它變化的微分量為將活動標架的微分表示式（7）式）代入此處，得這里。顯然，矢量在此點的切平面內并與垂直。 在球面上移動矢量顯然

12、不存在模長改變的問題，即。得 （11）于是，在球面上沿某條曲線對矢量作絕對微分的表達式為： （12）（12）式是對的絕對（協變）微分。這里尚未涉及它沿球面某條曲線的平行移動。 由此可知以下兩點： 其一，當矢量沿球面任一條曲線作平行移動，即時，由三維歐氏空間來看，矢量的全微分變化量中不存在繞法線方向轉動的成份。因為，此時有 （13）就是說，微分變化量總是沿此點球面的法線方向。微分變化量中不存在垂直于法線的成份，當然也就不存在繞法線方向轉動的成份。顯然，反過來也可以說，矢量的微分變化量中不存在繞法線方向轉動（也即當因移動而變化時，面不繞軸轉動），也可以作為對矢量沿球面上任一曲線作平行移動的充要條件

13、。這正是上頁由包容空間所看到的在球面上的平行移動8。 其二，一個矢量如果沿球面大圓作平行移動，它在切平面內活動標架中的坐標將保持不變。比如，若矢量沿球面的一條經線作平行移動，則有這導致 （14）由于沿經線，所以。按定義，是移動矢量與之間的夾角，說明此矢量沿球面的經線大圓平行移動時，它在活動標架的中的坐標一直保持不變。類似地，若矢量沿球面的赤道線作平行移動，由于，即 。表明該矢量在赤道線的中坐標保持不變。沿傾斜大圓的情況，可將球坐標的極點變換到這個大圓上，即為剛才所說沿經線平移的情況。此條可以推廣為：沿任意曲面的最短程線作平行移動時，該矢量在沿線的切平面活動標架中的坐標保持不變。（14）式是球面

14、上矢量平移的基本方程。3，Berry相位本質是幾何的（I）二維流形和樂相因子計算下面在球面上以初等方式實現和樂計算。 A（14）式所表示的當矢量平移時其 分量的變化，也可以采用通常辦法，用 C聯絡系數表達式來得到。詳見第4, ii)。 B 舉例： A ) 考慮直角坐標第一象限由三條大圓弧所圍的部份球面（全球面的）。設z軸A點球面上有一矢量，它切A點處X-Z面中的大圓弧，即初始時。由A點出發(fā)，沿X-Z面大圓弧平行移動。由于此段大圓是球面上最短程線，平行移動中繼續(xù)保持與此段大圓相切，直至B點。在B點經線與XY面的赤道線垂直相交，因此將與赤道線段BC呈垂直交角，直到C點。自C點它又成為YZ面經線的切

15、線保持如此直到返回A點。平移轉一圈的結果，與出發(fā)時相比，此時的已經轉過了角度。這一角度也可以用所圍球面S對球心所張的立體角來表示： （15） B）上例中，若沿AB弧平移到緯度角處的點，即轉向此緯線平移到YZ面內的點，再沿YZ面的經線返還到A點。這時 和上面情況差別在于，弧段不再是大圓（最短程線），矢量沿它平移時，坐標會發(fā)生改變。在點處，和弧呈垂直交角，但按角定義，與此處夾角仍為零，即有。在處則為說明在處，此矢量與的夾角成為 （16）接著沿弧段平行移動并返回A點的途中，不再有角度的變化。但弧段本身在A點與弧段有一夾角。所以平移一圈后總共轉過角度為 （17）其實，這個轉角又等于圈C內的部份球面積S

16、對球心所張的立體角： （18）這是因為 上面例算中，平移矢量轉角與所圍曲面對球心所張立體角的關系 （19）是普遍的，與球面上曲線的形狀無關7。它們全體構成球面上的U（1）和樂群。此普遍結論可證明如下。 證明：分為兩部份7。第一，證明以大圓弧段為邊界的球面邊多角形的面積為： （20）注意兩個大圓必相交于球面上相對的兩個點（可稱為這兩個大圓的南北兩極），于是整個球面積被分為：i, 這個多邊形面積； ii, 與此多邊形關于球心對稱的另一多邊形面積；iii, 個二角形的面積，它們的內角 等于原多角形的外角。于是有： 這就得到上述S的公式。 第二，往證：依正向，即逆時針方向沿此多角形平行移動矢量。設初始

17、時刻位于頂點，屬于球面并沿大圓弧方向。在沿平行移動中，因弧段是大圓，移動中與的夾角保持不變。按逆時針轉到矢量方向來計算角度的正號，于是轉到矢量的角度應等于 其中為多角形在頂點的外角。移動至點后，與邊的夾角為 此值一直保持到點。類似討論下去， 最后可以確定當移至點后，它將與構成夾角 對于平面，多角形內角和為，外角和為，于是得： 。 這個角即為矢量回轉多角形一圈之后的轉角。結合結論（20）式，即知有 （21）顯然，球面上任何閉合曲線均可以由這種大圓線段多角形近似到任意程度，所以公式（21）對矢量沿球面任何閉合曲線平行移動均成立。證畢。進一步，取球面上一個歸一化的復矢量稱作態(tài)矢 （22）讓它沿球面某

18、一閉合曲線作平行移動，計算相應的和樂相因子。 如果分別令和是上節(jié)中的矢量，讓它們沿此閉合曲線平行移動，并用許多大圓線段作多角形逼進這一閉合曲線，類似（21）式推導，立即得到此態(tài)矢量平行移動轉一圈的（21）式結果。 也可直接計算如下：如果沿曲線平行移動一微小弧段后，此復矢量獲得一小相位，即。顯然有 （23）這里表示取虛部數值。于是沿閉回路C轉一圈后，獲得相因子為 （24）這里為回路所圈的球面面積。其中， （25）注意，所以只需計算（25）式的分量（法向分量）。由及，（25）式的分量為 這里是球面點處垂直指向Z軸的單位矢量?？芍?。代入（24）式即得 （26）上面所取復矢量（22）式中的疊加系數是相

19、等的。但這并不失一般性。因為，球面上的任何閉回路總只涉及球面的局部，于是對具有一般疊加系數的給定復矢量，總可以找到相應的坐標復蓋（球面點的參數化，比如上下兩套開集球坐標網絡）10，使矢量在這兩套開集的球坐標活動標架之一里，能夠表示為（22）式的形式，并保持整個回路在同一個單值分枝之內。4，Berry相位的本質是幾何的流形的聯絡系數和度規(guī)計算i) 流形的概念是歐氏空間的推廣。粗略地說，流形就是流變著的形狀，它在每一點的近旁和歐氏空間的一個開集是同胚的。因此在每一點的近旁可以引進局部坐標系。流形正是一塊塊“歐氏空間”粘起來的結果11。 以上做法的理論根據是H. Whitney定理11： “任意一個

20、維光滑流形總能嵌入到維歐氏空間中作為子流形。”這說明盡管流形的概念較為抽象，其實它正是歐氏空間的推廣。并最終仍可作為歐氏空間的嵌入子流形來實現。也就是說，可以取較高維數的歐氏空間作為它的包容空間。這給了我們一個幾何直觀的方法來獲得黎曼空間（引入了度量張量的可微流形）。特例是，三維歐氏空間內的曲面論就是這樣一類例子。曲面可以看作二維黎曼空間。準確些說是，任一個二維黎曼空間可以局部地實現為三維歐氏空間中的某一曲面。這樣所產生的幾何稱為曲面的內蘊幾何。這種幾何在曲面扭曲貼合（沒有伸縮的扭曲變形重合）中是不變的7、9。上面對球面的討論，正是給定了聯絡系數分布的二維黎曼空間的一種表現。公式（7、14）便

21、包含了球面上的這些聯絡系數。 在維流形M的任一點m（）近旁所引入的的同胚歐氏空間，可利用其局部坐標系（）作出M在其點m附近的切矢量，用以構造局部標架，就是說，在M的點m作出一個仿射空間。與流形M有一個共同點m，這樣的空間稱為切仿射空間，此空間中的矢量稱為流形M在m點的切矢量，簡稱為m點的矢量。這說明為何前面使用的是在球面各點切空間中的絕對（協變）微分。 纖維叢是流形向乘積的推廣。常用的是矢量叢。簡單地說，設E，M是兩個光滑流形，映射是光滑的， M上各點的切仿射空間由n維矢量集合構成。稱（E，M，）為流形M上的矢量叢。E為全空間，M稱為底空間，稱為叢投影，稱作纖維。直觀地說，矢量叢E是積流形和纖

22、維粘合的結果。粘合時要求纖維上的線性關系保持不變。中的維矢量稱為波截面。球面的內蘊幾何可以看作是嵌入3維歐氏空間中的二維黎曼流形。用纖維叢的語言，此球面稱為底空間，球面每點的切平面便是纖維，逆映射（即球面每點向切平面中矢量的一種對應，也即，定義在球面上的兩分量的矢量場）便是波截面。平移矢量坐標微分變化的展開系數便是聯絡。ii) 球面的度規(guī)與聯絡系數計算。在曲線坐標（）中，單位球面（）一小線段的長度為 （27）于是，球面上切平面二維仿射空間中，協變及抗變度規(guī)分別為（） （28）注意這里度規(guī)是對參數直接寫出的。則是單位球面的兩個抗變線段元， 它們的協變線段元為 （29）按照聯絡系數和度規(guī)間的關系1

23、3： （30）由此可得球面的聯絡系數： ， （31）其余聯絡系數為零。 利用這些聯絡系數和度規(guī)，就可以用一種正規(guī)普適的方法將前面平移矢量的分量變化再次寫出來。這時所用公式是矢量平移中分量變化的下述表達式： （32）矢量的兩個抗變分量分別為。這里的表達式是由于要求矢量歸一化，即, 也即 。代入（32）式，有 （33）顯然，（33）式中第一式即為前面的（14）式。第二式不獨立，實際上也是第一式。這只要將第二式左邊微分出來，對的微分項將消去右邊的第一項，也得到。 證畢。 iii) 例如，帶AB效應的楊氏雙縫實驗中（在縫屏后面放置一根細磁弦），縫屏后面的波函數便帶著一個不可積的相因子（當積分路徑掃過或

24、穿過磁場強度不為零的區(qū)域時，是與積分路徑有關的，而不僅只和積分的上下限有關；只在磁場強度為零的區(qū)域，積分與路徑無關，僅與積分上下限有關。）14： （34）這就是電磁現象中不可積相位。注意，在此空間中的波函數將不是簡單的復值函數，而是數學家稱作的截面，物理學家稱作的波截面。它不僅帶有這個不可積的相因子，還帶有如下不定冪次的相因子（數學家稱為轉換函數、轉換因子、轉換條件現在它們僅僅構成簡單的群）： （） （35）被稱作Berry相位的這些相因子不可以丟棄（不像通常的外部整體相因子）。因為它們均有實驗觀測效應。因此，這時縫屏后面空間波函數并不是通常意義下的波函數，而是多分枝的波截面。之所以如此是由于

25、屏后空間的拓樸非平庸性質：由于磁弦的存在，空間區(qū)域已由曲面單聯通轉變?yōu)榍娑嗦撏?4。 再例如，磁單極子周圍磁場雖然是正規(guī)的，但相應的矢勢卻必須有一根或幾根奇點線奇異弦。顯然，這種奇異弦是非物理的。造成這種現象的原因正是球面拓樸非平凡性質：為避免球面上坐標描述的奇性，必須同時采用至少兩套開集坐標覆蓋。因此在坐標系的重疊區(qū)內，由不同坐標覆蓋所描述的波函數之間，將出現由規(guī)范變換產生的（指數上包含磁單極子強度的）轉換相因子。這說明磁單極子周圍的空間波函數也不是普通的復值函數，而是波截面。但值得注意的是，屬于不同動力學狀態(tài)的波截面總是滿足同樣的轉換相因子10。 最后，總結以下三點：1） 上面關于Ber

26、ry相位問題所說的和所計算的，全都是幾何學，并不涉及物理學。所以，Berry相位的本質是幾何的或者說是拓樸的。2）楊振寧先生說：“不同的波截面（比如說，它們屬于不同的能量）顯然滿足同樣的轉換條件，因為有同樣的”12。粒子具有不同的動量時，情況也如此。這里楊先生是在強調這個相因子與粒子所處的動力學狀態(tài)沒關系，而只取決于作為參數的磁單極子強度(或磁通)。正是（）凸現了球面拓樸非平凡性質，正是g ()產生了曲面單連通到曲面多連通的拓樸性質改變。從別種情況的Berry相位計算來看，結果也相似：Berry相位表達式不依賴于粒子所處的動力學狀態(tài)，甚至系統(tǒng)的動力學性質，而只依賴于系統(tǒng)哈密頓量中所含參數空間的

27、幾何性質。2） 由“滿足含時Schrodinger方程定出Berry相位表達式”，并不就能夠強調“Berry相位的物理根源來自動力學的要求”。 因為，除了剛才說的第一、第二條理由之外，還有：i)這個事實本身并不是新發(fā)現的。在最初Berry自己的文章中，本來 Berry就是以“滿足Schrodinger方程定出Berry相位表達式”的，可是Berry仍然強調這個相因子的性質是幾何的，并沒有強調它“根源于動力學”。更不必說數學家Simon文章對這個相因子的幾何分析了2。其實，Berry相位問題正是說明了：來自Schrodinger方程的東西并不一定就是動力學的，雖然動力學的東西一定來自于Schrodinger方程。ii) 不是必須要從“滿足含時Schrodinger方程定出Berry相位表達式”。事實上，從定態(tài)Schrodinger方程定出Berry相位表達式更為直接和簡便。這里，由于已經是不可積相因子的圈積分，可以不必采用絕熱定理就能分離出絕熱相因子14。鑒于這里三條理由，這些相因子不宜說是“根源于動力學”或“來自動力學的要求”，還是按大家的普遍提法，說它是幾何的或拓樸的更為恰當。其實，幾何的或拓樸的提法不僅在