《理論力學(xué)》期末復(fù)習(xí)資料

1、一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)：一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)：rdtvdardtrdvrr 1 1、直角坐標(biāo)分量式：、直角坐標(biāo)分量式：zky jxirzvayvaxvazzyyxx 2 2、平面極坐標(biāo)分量：、平面極坐標(biāo)分量：rrr0rvrvr rrarrar223 3、自然坐標(biāo)分量、自然坐標(biāo)分量dtdsv dtdvavan2ddszvyvxvzyx大小大小大小大小)(),(ttrr1二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律_三條推論三條推論、自然坐標(biāo)分量式平面極坐標(biāo)分量式直角坐標(biāo)分量式3. 2. 1amF三、非慣性系力學(xué)：三、非慣性系力學(xué)： rv vv. 10 v2) r( rdtda aa. 202) (

2、. 30vmrmrdtdmamFam0FmrFududuh)()(22220zFyFyz,0 xFzFzx0yFxFxy2比耐公式比耐公式四、質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)四、質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)1 1、三條基本定理：、三條基本定理：動(dòng)能定理及其守恒定律對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：律動(dòng)量矩定理及其守恒定質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：動(dòng)量定理及其守恒定律.(3)F rdtJd.(2)Frm).1 (ieiicieic 2 2、柯尼希定理：、柯尼希定理：iiicrmmvT222121對(duì)平面平行運(yùn)動(dòng)剛體：對(duì)平面平行運(yùn)動(dòng)剛體：222121ccImvT3 3、變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)微分方程：、變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)微分方程：ieiFudtdmdtvmd)(3五、剛體力學(xué)五、剛

3、體力學(xué)：（：（平面平行運(yùn)動(dòng)）平面平行運(yùn)動(dòng)）1 1、運(yùn)動(dòng)學(xué)：、運(yùn)動(dòng)學(xué)： 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 對(duì)任何基點(diǎn)都相同。對(duì)任何基點(diǎn)都相同。 剛體上任何一點(diǎn)的速度和加速度剛體上任何一點(diǎn)的速度和加速度) (rrdtdaarvvApAp 瞬心：瞬心：純滾動(dòng)條件0v0,vAr rx,rx,rxccc作水平面純滾動(dòng)：2 2、靜力學(xué)、靜力學(xué)( (平衡條件平衡條件) )：iieiiiieiFrMF0043 3、動(dòng)力學(xué)：、動(dòng)力學(xué)：基本動(dòng)力學(xué)方程：基本動(dòng)力學(xué)方程：iiCiiyiixcMFFxm ccIymiiciincniicFmaFmaFrm 2 22mR52I,ml121I21I球桿圓盤，mR動(dòng)能定理：動(dòng)能定理：EVI21m

4、v21d)I21mv21(d2c2c2c2c機(jī)械能守恒W六、分析力學(xué)：六、分析力學(xué)：1 1、虛功原理：、虛功原理：0zFyFxF, 0rFiiiziiyiixiii適用條件：理想約束，質(zhì)點(diǎn)組和剛體適用條件：理想約束，質(zhì)點(diǎn)組和剛體 可求約束力可求約束力5解題步驟：解題步驟： 選對(duì)象和確定選對(duì)象和確定q 找主動(dòng)力找主動(dòng)力 建立坐標(biāo)系，列出虛功方程建立坐標(biāo)系，列出虛功方程 將虛位移化成獨(dú)立變量將虛位移化成獨(dú)立變量 令獨(dú)立的虛位移前的系數(shù)等于零，解出結(jié)果令獨(dú)立的虛位移前的系數(shù)等于零，解出結(jié)果2 2、拉氏方程：、拉氏方程：sQqTqT , 2 , 1,dtdsqLqL , 2 , 1, 0dtd解題步驟

5、：解題步驟： 選研究系統(tǒng)選研究系統(tǒng) 取廣義坐標(biāo)取廣義坐標(biāo) 求求 或或 QL)(VTL 列出拉氏方程列出拉氏方程 解出結(jié)果解出結(jié)果6 1、判斷一個(gè)力場(chǎng)是不是保守力場(chǎng)的判據(jù)是？ 力場(chǎng)存在勢(shì)能的充要條件是？保守力做功特點(diǎn)？ 質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械守恒條件是？ 2、由？定理可推出可變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)方程，其表達(dá)式為？ 3、在定、動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)重合的空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)所受的牽連慣性力有？科氏慣性力為？ 4、比耐公式適用條件？一質(zhì)點(diǎn)受有心力 作用，負(fù)號(hào)表示有心力為？力，則列出求解其軌道的微分方程為？ 5、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變？則能改變？概念舉例：概念舉例：2rkmF7 6、水面上浮著一只小船。如果船上一人向船尾走去，則船向

6、？移動(dòng)，若水的阻力不計(jì)，人和船組成的系統(tǒng)其質(zhì)心速度為？質(zhì)心加速度為？ 7、研究平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律時(shí)基點(diǎn)可任意選取嗎？ 研究其動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)基點(diǎn)可任意選取嗎？ 通常取哪一點(diǎn)為基點(diǎn)？ 8、作平面平行運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度公式和加速度公式為？ 9、在光滑的水平面上放一半徑為r，質(zhì)量為m1的圓環(huán)，有一質(zhì)量為m2的甲蟲(chóng)沿此環(huán)爬行，則由甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成的系統(tǒng)所受的外力矢量和為？質(zhì)心加速度為？8例例1 1、已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：求軌道、速度、加速度的大小。求軌道、速度、加速度的大小。計(jì)算題舉例：計(jì)算題舉例：ct21,aerbtct2解解：軌道方程為：軌道方程為：cbaer2btabe

7、r bteabr2 c212222242cbrrrv)4()2()(22222cbrrrrra 9例例2 2、一質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，在選定的極坐標(biāo)系下徑向速度和橫向速度分別為一質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，在選定的極坐標(biāo)系下徑向速度和橫向速度分別為恒量恒量c1和和c2。求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程和加速度的大小。設(shè)。求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程和加速度的大小。設(shè)t0時(shí)時(shí)r= =b，= = 0。0r 0 rr221rccrr rc2rccrrrarcrrrar2122222 2221222ccrcaaar解：解：dtcdrrbt01質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為: :已知已知tcbr1ln)ln(1120012btcbccdttcbc

8、dtbrccln1221ccber 1cr 2cr10例例3 3、已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 x=2*m*sin(t/3)，y=2*m*cos(t/3)。求其軌。求其軌道方程和曲率半徑，切向加速度和法向加速度。道方程和曲率半徑，切向加速度和法向加速度。 0dtdvamvan2292tmx3cos32tmy3sin32222294myxv解：解：2224myx質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為m211例例4 4、一質(zhì)點(diǎn)受有心力一質(zhì)點(diǎn)受有心力 作用，列出求解其作用，列出求解其軌道的微分方程。軌道的微分方程。2rkmF解：解：222hkududmrFududuh)()(222222kmurk

9、mF例例5 5、如下圖所示，船長(zhǎng)為如下圖所示，船長(zhǎng)為L(zhǎng)=2=2a，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的小船，在船頭上站一質(zhì)量為的小船，在船頭上站一質(zhì)量為m的的人，人，如不計(jì)水的阻力。試證當(dāng)人非勻速?gòu)拇^走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為多少如不計(jì)水的阻力。試證當(dāng)人非勻速?gòu)拇^走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為多少? ?解：解：00cvt時(shí)ieiF0)(0camM)x(mMxx1010c0amM)x(mMxx11caMm2mxxxx101cc0aLx01213例例6 6、如圖所示質(zhì)量為如圖所示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的水平圓盤面上沿著弦的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的水平圓盤面上沿著弦AB滑動(dòng)，圓滑動(dòng)，圓盤以勻角速盤以勻角速繞鉛重軸繞鉛重軸c轉(zhuǎn)動(dòng)

10、，如質(zhì)點(diǎn)被兩個(gè)彈簧系住，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)各轉(zhuǎn)動(dòng)，如質(zhì)點(diǎn)被兩個(gè)彈簧系住，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)各為為k，質(zhì)點(diǎn)在，質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)彈簧未形變。求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期。點(diǎn)時(shí)彈簧未形變。求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期。yx21TTrm2vm2hcoscos22rxxhxxmxkxm2 02xmmkx 222mkmxmrmxk cos2解：解：14例例7 7、有一鏈條，堆放在一傾角為有一鏈條，堆放在一傾角為 的斜面底邊，的斜面底邊，今用一沿光滑斜面向上的力今用一沿光滑斜面向上的力F拉鏈條，使鏈條以拉鏈條，使鏈條以加速度加速度a沿斜面作勻加速運(yùn)動(dòng)，試求此力沿斜面作勻加速運(yùn)動(dòng)，試求此力F與鏈與鏈條在斜面上的長(zhǎng)度條在斜面上的長(zhǎng)度x函數(shù)關(guān)系。設(shè)

11、鏈條的質(zhì)量線函數(shù)關(guān)系。設(shè)鏈條的質(zhì)量線密度為密度為 。mg解解：0u根據(jù)可變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)微分方程可得：根據(jù)可變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)微分方程可得：sin)(mgFdtmvd2sinsinvmamgdtdmvdtdvmmgFaxv22)sin3(gaxF15例例8 8、已知均質(zhì)圓柱、已知均質(zhì)圓柱A與滑輪與滑輪B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m1，半徑相同，圓柱，半徑相同，圓柱A向下作純滾向下作純滾動(dòng)，物體動(dòng)，物體C的質(zhì)量為的質(zhì)量為m2，斜面不光滑，斜面不光滑，A、B輪軸處摩擦不計(jì)。求圓柱輪軸處摩擦不計(jì)。求圓柱A質(zhì)質(zhì)心加速度及繩子對(duì)心加速度及繩子對(duì)C物的拉力。物的拉力。解：解：（1）分別?。┓謩e取圓柱圓柱A、滑輪、滑輪B球球

12、和物體和物體C為研究對(duì)象為研究對(duì)象（2）受力分析、運(yùn)動(dòng)分析）受力分析、運(yùn)動(dòng)分析2T1T1Tfgm2gm1N2212121)(rmrTT滑輪滑輪BamgmT222物體物體CcamTfgm111sin12121rmfr 圓柱圓柱Agmmmmac21212singmmmmmmmT)2( 2sin)2(3212121211gmmmmmT221112)2sin2(vA,CvC21rraac約束條件：約束條件：純滾動(dòng)純滾動(dòng)、繩子剛性（不可伸長(zhǎng)）繩子剛性（不可伸長(zhǎng)）16例例9 9、質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)圓柱放在粗糙的斜面上，斜面的傾角為的勻質(zhì)圓柱放在粗糙的斜面上，斜面的傾角為 ，圓柱外繞有細(xì)

13、繩，繩子跨過(guò)一輕滑輪，并懸掛一質(zhì)量為圓柱外繞有細(xì)繩，繩子跨過(guò)一輕滑輪，并懸掛一質(zhì)量為m的物體。設(shè)圓柱的物體。設(shè)圓柱體作純滾動(dòng)，圓柱體和滑輪間的繩子與斜面平行，求被懸掛物體的加速度體作純滾動(dòng)，圓柱體和滑輪間的繩子與斜面平行，求被懸掛物體的加速度及繩子中的張力。及繩子中的張力。 解：解：RaaRaMRRfTMaMgfTmaTmgTTT12121221,21)(sinmMgmMTgmMMmaa83)sin43(83)sin2(42)(rrdtdaaAp17例例1010、半徑為半徑為r r的實(shí)心勻質(zhì)圓柱質(zhì)量為的實(shí)心勻質(zhì)圓柱質(zhì)量為m1，其中部繞以細(xì)繩，再繞過(guò)滑輪，其中部繞以細(xì)繩，再繞過(guò)滑輪B與物體與物體

14、A相連，物相連，物A的質(zhì)量為的質(zhì)量為m2，物，物A與水平面間的摩擦系數(shù)為與水平面間的摩擦系數(shù)為m m，試求物體，試求物體A A和圓柱中心和圓柱中心C的加速度各為多少？（滑輪與繩子的質(zhì)量均忽略不計(jì)）的加速度各為多少？（滑輪與繩子的質(zhì)量均忽略不計(jì)） TTgm1gm2fN解：解：21112221rmIamTgmgmfamfTcAmraaTrIAc解上述方程得：解上述方程得： gmmmmaA212133mgmmmmac21213)2(m18例例1111、（作業(yè)（作業(yè)3.23.2）長(zhǎng)為長(zhǎng)為2 2L的均質(zhì)棒，一端抵在光滑墻上，而棒的均質(zhì)棒，一端抵在光滑墻上，而棒身則如圖示斜靠在與墻相距為身則如圖示斜靠在與

15、墻相距為d（dLcos ）的光滑棱角上。用虛的光滑棱角上。用虛功原理求出棒在平衡時(shí)與水平面所成的角功原理求出棒在平衡時(shí)與水平面所成的角 。mgxyo)tansin(dLyc0)seccos(2dLyc0)seccos(2dLmgLd3cos解解：0cymg虛功原理方程虛功原理方程19例例1212、如下圖所示的機(jī)構(gòu)，已知各桿長(zhǎng)為如下圖所示的機(jī)構(gòu)，已知各桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，彈簧的原長(zhǎng)，彈簧的原長(zhǎng)L，彈性系數(shù)，彈性系數(shù) k，若忽略各處摩擦不計(jì)，各桿的重量忽略不計(jì)。試用虛功原理求平衡，若忽略各處摩擦不計(jì)，各桿的重量忽略不計(jì)。試用虛功原理求平衡時(shí)時(shí)p的大小與角度的大小與角度 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 TTyxo解

16、：解：02ADypxTsincosLxLxDDcos2sin2LyLyAA)tansin2(tan)cos2(tankLLLkTp0)cos2sin2(pLTL0cos2sin2pLTL20例例1313、如下圖所示的機(jī)構(gòu)，已知各桿長(zhǎng)為如下圖所示的機(jī)構(gòu)，已知各桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，彈簧的原長(zhǎng)也，彈簧的原長(zhǎng)也L，彈性系數(shù)為，彈性系數(shù)為 k，若忽略各處摩擦不計(jì)，各桿的重量也忽略不計(jì)。試用虛功原理求平衡時(shí)，若忽略各處摩擦不計(jì)，各桿的重量也忽略不計(jì)。試用虛功原理求平衡時(shí) p的大小與角度的大小與角度 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。oTTxy解：根據(jù)虛功原理得：解：根據(jù)虛功原理得： 02cbypxT)cos1 (2Lxbsi

17、n2Lxbsin2LLyccos2Lyc0)cos2sin2cos2(pLLkLsin21kLp 21例例14、用光滑鉸鏈連成一六邊形，六根桿同長(zhǎng)用光滑鉸鏈連成一六邊形，六根桿同長(zhǎng)l同重同重w，其中一桿用螺釘固，其中一桿用螺釘固定在天花板上，上下桿的中點(diǎn)用一細(xì)繩相連接，繩長(zhǎng)定在天花板上，上下桿的中點(diǎn)用一細(xì)繩相連接，繩長(zhǎng)a（a 2l），求繩中張），求繩中張力。力。解：解：06BEyTywcos,sinlylyEEcos2,sin2lylyBB0)cos2cos6(TlwlwT 3w6TTE22例例15、如圖的機(jī)構(gòu)中，如圖的機(jī)構(gòu)中，AB=BC=L，BE=BD=b，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為

18、k，當(dāng)，當(dāng)x=a時(shí)，彈簧拉力為零，該系統(tǒng)在力時(shí)，彈簧拉力為零，該系統(tǒng)在力F作用作用下平衡，桿重不計(jì)。求平衡時(shí)下平衡，桿重不計(jì)。求平衡時(shí)x=?TTyx解解： 根據(jù)虛功原理列出方程：根據(jù)虛功原理列出方程： 0EDcxTxTxFcos)(cos)(cos2bLxbLxLxxEDc代入上面的方程可得：代入上面的方程可得：FbLT Lx2cos)cos2cos2(0bbkT)cos2(aLbbkTLbab0cos222kbFLax)22(aLbLxbkFbL230sinlg 例例16、試用牛頓方法和拉氏方法證明單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程試用牛頓方法和拉氏方法證明單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程其中其中 為擺線與鉛直線之間的夾

19、角，為擺線與鉛直線之間的夾角，l為擺線長(zhǎng)度為擺線長(zhǎng)度。sinmgml 0sinlg 解：解： （1 1）用牛頓法：）用牛頓法： （2 2）用拉氏方法：）用拉氏方法： qcos2122mglmlVTL0sinlg 0LLdtd0sin2mglml mgTl240sinrg 例例17、試用牛頓方法和拉氏方法證明質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程試用牛頓方法和拉氏方法證明質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程（2 2）用拉氏方法：）用拉氏方法： qcos2122mgrmrVTL0sinrg sinmgmr 0sinrg (1)(1)用牛頓法：用牛頓法： 解：解：mgN0LLdtd0sin2mgrmr 25例例18、設(shè)有一與彈簧相連的滑

20、塊設(shè)有一與彈簧相連的滑塊A，其質(zhì)量為，其質(zhì)量為m1，它可沿光滑水平面無(wú)摩擦，它可沿光滑水平面無(wú)摩擦來(lái)回滑動(dòng)。彈簧的彈性系數(shù)為來(lái)回滑動(dòng)。彈簧的彈性系數(shù)為k。在滑塊。在滑塊A上又連一單擺。擺的質(zhì)量為上又連一單擺。擺的質(zhì)量為m2，擺，擺長(zhǎng)為長(zhǎng)為l（桿子的質(zhì)量不計(jì)）。試用拉氏方程列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（桿子的質(zhì)量不計(jì)）。試用拉氏方程列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：解：（1）?。┤1+ +m2+ +彈簧為研究系統(tǒng)，此彈簧為研究系統(tǒng)，此系統(tǒng)除了保守力之外，其它力均不作虛功系統(tǒng)除了保守力之外，其它力均不作虛功可以用保守系拉氏方程求解?？梢杂帽Ｊ叵道戏匠糖蠼?。（2）選廣義坐標(biāo)：）選廣義坐標(biāo)：21,qxq取

21、彈簧原長(zhǎng)時(shí)取彈簧原長(zhǎng)時(shí)A所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。（3）求）求T，V，L：222212121vmxmT方法一：方法一：cos222222l xlxv方法二：方法二：sincoscossin2222lylxxlylxxcos2222222222l xlxyxv26cos21),cos2(212122222221glmkxVl xlxmxmTlgmkxl xlmxmmVTLcos21)cos2(21)(2122222221（4 4）列出拉氏方程）列出拉氏方程0sincos00sincos)(022221gxlLLdtdkxlmlmxmmxLxLdtd （5 5）解方程得出結(jié)果。）解方程得出結(jié)果。sin1cos，00)(22221gxlkxlmlmxmm 若系統(tǒng)做微振動(dòng)若系統(tǒng)做微振動(dòng)27例例19、一滑輪可繞過(guò)輪心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在此輪上繞過(guò)一條不可伸長(zhǎng)的輕一滑輪可繞過(guò)輪心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在此輪上繞