應(yīng)用統(tǒng)計(jì) 大工 期末復(fù)習(xí)綜合

1、隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)：（1）重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行（2）明確性：每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的全部可能結(jié)果（3）隨機(jī)性：試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果樣本點(diǎn)與樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)不可再分的結(jié)果，稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn)；樣本點(diǎn)的全體所組成的集合，稱(chēng)為E的樣本空間。隨機(jī)事件一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件。試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果，即最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，稱(chēng)之為基本事件。樣本空間稱(chēng)為必然事件空集稱(chēng)為不可能事件概率的定義與性質(zhì)概率的定義統(tǒng)計(jì)定義：在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果當(dāng)n增大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻

2、率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)；且一般說(shuō)來(lái)，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱(chēng)常數(shù)p為事件A的概率。這樣定義的概率稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)概率。P(A)=公理化定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對(duì)于試驗(yàn)E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，若它滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：（1）對(duì)任何事件，都有0P(A)1（2）對(duì)于必然事件，P()=1（3）對(duì)于任意互不相容事件，有，則稱(chēng)P(A)為事件A的概率。概率的性質(zhì)（1）P()=0（2）對(duì)于任意互不相容事件，P(A+B)=P(A)+P(B)（3）=1,P()=1-P(A)（4）如果BA，有P(B-A)=P(B)-P(A)（5）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)2、典型例題

3、解析題型：基本概念、公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算例1、計(jì)算題：寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件所包含的樣本點(diǎn)：擲一顆骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)。解：擲一顆骰子，其結(jié)果有6種可能：出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)，可以記樣本空間=1，2，3，4，5，6，那么“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”的事件為1，3，5。例2、計(jì)算題：口袋里裝有若干個(gè)黑球與若干個(gè)白球，每次任取一個(gè)球，共抽取兩次，設(shè)事件A表示第一次取到黑球，事件B表示第二次取到黑球，用A,B的運(yùn)算表示下列事件：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球（2）兩次都取到白球（3）兩次取到球的顏色不一致（4）兩次取到球的顏色一致解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味著第一次不取到黑球且第

4、二次取到黑球，即事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生，可用積事件表示（2）兩次都取到白球，意味著第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件A與B同時(shí)不發(fā)生，可用積事件表示（3）兩次取到球的顏色不一致，意味著第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即積事件發(fā)生或積事件發(fā)生，可用和事件+表示（4）兩次取到球的顏色一致，意味著兩次都取到黑球，或者兩次都取到白球，即積事件發(fā)生或積事件發(fā)生，可用和事件+表示例3、填空題：設(shè)。（1）若A和B互不相容，則P(B)= （2）若，則P(B)= （3）若P(AB)=0.2，則P(B)= 解題思路：根據(jù)概率的性質(zhì)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A

5、B)=0.6，（1）若A和B互不相容，則AB=，P(AB)=0，因此P(B)=P(A+B)-P(A)=0.6-0.3=0.3。（2）若，則P(AB)=P(A)，因此P(B)=P(A+B)-P(A)+P(A)=0.6。（3）若P(AB)=0.2，則P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6-0.3+0.2=0.5。答案：（1）0.3；（2）0.6；（3）0.5。附：知識(shí)拓展概率的歷史第一個(gè)系統(tǒng)地推算概率的人是16世紀(jì)的卡爾達(dá)諾。記載在他的著作<iber de Ludo Aleae中?？栠_(dá)諾的數(shù)學(xué)著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫(xiě)成短文。例如：誰(shuí)，在什么時(shí)候，應(yīng)該賭博？、為什

6、么亞里斯多德譴責(zé)賭博？、那些教別人賭博的人是否也擅長(zhǎng)賭博呢？等。然而，首次提出系統(tǒng)研究概率的是在帕斯卡和費(fèi)馬來(lái)往的一系列信件中,他們用不同的組合方法給出了這類(lèi)問(wèn)題的正確答案。1655年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯訪(fǎng)問(wèn)巴黎時(shí)了解到帕斯卡與費(fèi)馬的通信研究,對(duì)這類(lèi)問(wèn)題產(chǎn)生興趣并著論賭博中的計(jì)算,探討概率問(wèn)題的原理。討論的情況與結(jié)果被惠更斯總結(jié)成關(guān)于賭博中的推斷（1657年）一書(shū)，這是公認(rèn)的有關(guān)或然數(shù)學(xué)的奠基之作。概率模型古典概型具有下列兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概型（或等可能概型）（1）有限性：樣本空間只包含有限個(gè)基本事件（2）等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同設(shè)事件A是由全部n個(gè)基本事件中的某m個(gè)基本事

7、件構(gòu)成（稱(chēng)m為有利于A(yíng)的基本事件數(shù)），則古典概率為P(A)=基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)概率的定義條件概率：對(duì)于兩個(gè)事件A與B，如果>0，稱(chēng)為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率。事件的獨(dú)立性：兩個(gè)事件A與B，如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受另外一個(gè)事件發(fā)生與否的影響，則稱(chēng)事件A與B是相互獨(dú)立的，即P(AB)=P(A)P(B)概率的計(jì)算公式加法公式P(A+B)=P(A)+(B)-P(AB)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)特別地，若事件互不相容，則P()=P()+P()+P()減法公式若A,B為任意兩個(gè)事件，則P(B-A)

8、=P(B)-P(AB)若AB，則P(B-A)=P(B)-P(A)乘法公式若P(A)>0,P(B)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)全概率公式如果事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且P()>0,i=1,2,n,則對(duì)于任何一個(gè)事件B，有貝葉斯公式如果事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且P()>0,i=1,2, ,n,則對(duì)于任何一個(gè)事件B，若,有 m=1,2,n擲一顆骰子，其結(jié)果有6種可能：出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)，可以記樣本空間=1，2，3，4，5，6，那么“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”的事件為1，3，5。例2、口袋里裝有若干個(gè)黑球與若干個(gè)白球，每次任取一個(gè)球，共抽取兩次，設(shè)事件

9、A表示第一次取到黑球，事件B表示第二次取到黑球，用A,B的運(yùn)算表示下列事件：（題型1）（1）第一次取到白球且第二次取到黑球（2）兩次都取到白球（3）兩次取到球的顏色不一致（4）兩次取到球的顏色一致解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味著第一次不取到黑球且第二次取到黑球，即事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生，可用積事件表示（2）兩次都取到白球，意味著第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件A與B同時(shí)不發(fā)生，可用積事件表示（3）兩次取到球的顏色不一致，意味著第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即積事件發(fā)生或積事件發(fā)生，可用和事件+表示（4）兩次取到球的顏色一致，意味著

10、兩次都取到黑球，或者兩次都取到白球，即積事件發(fā)生或積事件發(fā)生，可用和事件+表示例3、罐中有12粒圍棋子，其中8粒白子，4粒黑子，從中任取3粒，求(題型2)（1）取到的都是白子的概率（2）取到兩粒白子，一粒黑子的概率（3）至少取到一粒黑子的概率（4）取到的3粒棋子顏色相同的概率解：設(shè)A表示“取到的都是白子”，B表示“取到兩粒白子，一粒黑子”，C表示“至少取到一粒黑子”，D表示“取到的3粒棋子顏色相同”?；臼录倲?shù)n=(1)因?yàn)?粒棋子都從8粒白棋中取得，A包含的基本事件數(shù)為，則P(A)=(2)B包含的基本事件數(shù)為，則P(B)=(3)因?yàn)?粒棋子中至少有一粒黑子，那么這三粒棋子的顏色有三種可能：

11、一種是一粒黑子，兩粒白子；一種是兩粒黑子，一粒白子；一種是三粒都是黑子，故C包含的基本事件數(shù)為+，則P(C)=或者由于各事件的關(guān)系可看出，C=,所以P(C)=P()=1-P(A)=1-=(4)取到的3粒棋子顏色相同，要么全是白的，要么全是黑的，共有+種取法，故P(D)=例4、甲、乙二人獨(dú)立地各向同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7（題型3）（1）求目標(biāo)被命中的概率（2）若已知目標(biāo)被命中，求它是甲射中的概率解：設(shè)表示“甲命中目標(biāo)”，表示“乙命中目標(biāo)”，B表示“目標(biāo)被命中”，所求概率為P(B)和P(|B)已知P()=0.6，P()=0.7，因與相互獨(dú)立，利用事件之間的運(yùn)算，B=+（或?qū)懗?/p>

12、B=）表示事件與至少有一個(gè)發(fā)生。又利用加法公式，P(B)=P()+()-P()，則（1）P(B)=P()+()-P()=P()+()-P()P()0.7=0.88又因，則（2）P()=例5、設(shè)工廠(chǎng)A和工廠(chǎng)B的產(chǎn)品的次品率分別是1%和2%，現(xiàn)在從由A和B的產(chǎn)品分別是60%和40%的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬于A(yíng)生產(chǎn)的概率是多少？（題型4）解：該次品可能是A生產(chǎn)的也可能是B生產(chǎn)的，工廠(chǎng)A和工廠(chǎng)B的產(chǎn)品的次品率都已知。產(chǎn)品可能是A生產(chǎn)的也可能是B生產(chǎn)的，構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品屬A生產(chǎn)的概率實(shí)際是由結(jié)果來(lái)求原因發(fā)生的概率，用貝葉斯公式。設(shè)事件C為“產(chǎn)品是次品”，事件A為“產(chǎn)品屬A生產(chǎn)”，事件B為“產(chǎn)品屬B生產(chǎn)”，因?yàn)橛扇怕使剑杏钟韶惾~斯公式，有說(shuō)明