微積分復(fù)習(xí)小結(jié)

1、微積分（下）（趙樹(shù)嫄）總結(jié)第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)一、內(nèi)容提要：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 271（1） 級(jí)數(shù)的定義 級(jí)數(shù) 通項(xiàng) 部分和 余項(xiàng)（2） 級(jí)數(shù)收斂的定義 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本性質(zhì)274條 和 k倍 加減有限項(xiàng) 加括號(hào) 收斂的必有條件 幾個(gè)重要的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1º 等比級(jí)數(shù) ，當(dāng)<1時(shí)收斂；當(dāng)1時(shí)發(fā)散；2º 調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散；3º p-級(jí)數(shù) （p>0）,當(dāng)0<p1時(shí)發(fā)散；當(dāng)p>1時(shí)收斂。正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（）收斂 充要條件 有界。279 定理7.6（）比較審斂法 279若收斂（發(fā)散）且，則收斂（發(fā)散）。比較法的極限形式：282推論若 ,則與同時(shí)收斂

2、或同時(shí)發(fā)散；當(dāng)=0時(shí)，可由收斂推出也收斂當(dāng)可由發(fā)散推出也發(fā)散。（）比值審斂法283若，當(dāng)<1時(shí)，則收斂；當(dāng)>1時(shí)，則發(fā)散；當(dāng)=1時(shí)，待定。 交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法(萊布尼茲審斂法) 286若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則收斂；且 。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 若，則發(fā)散； 若收斂，則絕對(duì)收斂； 若發(fā)散，但收斂，則條件收斂。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散。冪級(jí)數(shù)1º 冪級(jí)數(shù) 形如的無(wú)窮和式，叫冪級(jí)數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，則為2º 冪級(jí)數(shù)的收斂域是一個(gè)以原點(diǎn)為中心從-R到R的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，其中稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。當(dāng)時(shí)要對(duì)區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況專(zhuān)門(mén)討論。3º

3、求收斂區(qū)間的步驟及定理P292 4º 運(yùn)算性質(zhì) P295 代數(shù)運(yùn)算設(shè)與的收斂半徑分別為R與（R與均大于零）則在內(nèi)有； 分析運(yùn)算設(shè) 在（-R，R）內(nèi)，則在（-R，R）內(nèi)：（）對(duì)冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)微分，即；（）對(duì)冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分，即此處積分上限內(nèi)的任一點(diǎn)。注意一 在收斂區(qū)間內(nèi)對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分逐項(xiàng)積分后所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同（即收斂半徑不變），但是級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間兩端點(diǎn)處的斂散性可能改變。8將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù) （）間接法 P303利用下列幾個(gè)函數(shù)的展開(kāi)式： （-，+）或 （-，+）或 （-，+） 或 （-1，1）二、主要題型 判斷級(jí)數(shù)的收斂性（1）判斷級(jí)數(shù)的斂散性 （正項(xiàng)級(jí)數(shù)）；（2

4、）判斷級(jí)數(shù)的斂散性若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂 ； 求冪級(jí)數(shù)的收斂域 不缺項(xiàng)時(shí)：先求相鄰兩系數(shù)之比的絕對(duì)值的極限，則收斂半徑；再驗(yàn)兩端點(diǎn)，則收斂域=收斂的端點(diǎn)。 缺項(xiàng)時(shí)或型：先求相鄰兩項(xiàng)之比的絕對(duì)值的極限，解不等式，可得x所屬的區(qū)間；再驗(yàn)兩端點(diǎn)，則收斂域=收斂的端點(diǎn)。 （或用變量代換） 將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)一般間接展開(kāi) ，注意 (1)恒等變形后用公式；(2)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)點(diǎn)第八章 多元函數(shù)微積分一、內(nèi)容提要 空間解析幾何 直角坐標(biāo)系 兩點(diǎn)間的距離 二元函數(shù)的概念322二元函數(shù)的定義；定義域；二元函數(shù)的極限與連續(xù)3二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義327高階偏導(dǎo)數(shù)3305二元函數(shù)全微分332 6. 二元函數(shù)在一點(diǎn)連

5、續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與可微的關(guān)系 偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù) 偏導(dǎo)存在7多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則335 全導(dǎo) P3368隱函數(shù)求導(dǎo)法則（公式） P3409多元函數(shù)的極值340（） 定理8.4（必要條件）P341（） 定理8.5（充分條件）342 （） 條件極值（拉格朗日乘數(shù)法344 步驟 3條）10二重積分（1）二重積分的定義349（2）二重積分的性質(zhì)3507條（3）直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分353 公式8.15 公式8.16（4）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分359 公式8.21 公式8.23二、主要題型：求函數(shù)的定義域; 2求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（包括微分、二階偏導(dǎo)數(shù)）3求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，（包括半抽象半具體函數(shù)）4求隱函數(shù)的偏

6、導(dǎo)數(shù) 注意 ：首先判斷是那一種函數(shù)，再考慮用什么公式5求極值及條件極值 6求二重積分 首先選擇坐標(biāo)，再選公式7交換積分次序 第九章 微分方程一、主要內(nèi)容：1微分方程的概念373（定義，階，解，通解，特解，）2一階微分方程（1）可分離變量方程375（2）一階線(xiàn)性微分方程3803二階微分方程（1）可降階的微分方程（a） P385（b） P385 令（c） P386 令(2)二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程a) 二階齊次線(xiàn)性微分方程388 解 P391b) 二階非齊次線(xiàn)性微分方程P391 解 P395 待定系數(shù)法特解形式 P395待定系數(shù)法特解形式 二、主要題型： 求方程的解 首先判斷是一階還是二階微分方程，

7、再判斷是那一類(lèi)2. 方程應(yīng)用 首先建立微分方程 （一般是求初值問(wèn)題） 判斷方程類(lèi)型 求解方程08微積分試卷分值分布一、填充題（每題3分,共21分）二、選擇題（每題2分,共16分）三、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或重積分（每題6分，共30分）四、解答題 （共33分）（5題）模擬試題1的定義域?yàn)椋?.；3設(shè)，則=；=；4已知，則；5.=； 6若級(jí)數(shù)收斂，則 4 ；7、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；二、單選題 （5×=）1點(diǎn)（1，1，1）在曲面（ A ）上A B C D 2下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)為（ A ）A. B.C. D.3.設(shè)，則=（ D ）A. 1 B. C. D. 4變換積分次序（ D ）A. B.C. D.5函數(shù)是微分方程的（D ）. A通解 B特解 C不是解 D解三、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（2×=）（1）而求解： （2）求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 解： 則 四、求其中D是由所圍成的區(qū)域（） 解： 五交換累次積分次序： （）解： 六求函數(shù)的極值 （）解： 由，得駐點(diǎn) 再由，得因?yàn)?，所以不是極值點(diǎn) 因?yàn)樗栽邳c(diǎn)處函數(shù)有極大值七、判斷級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂是絕對(duì)收斂，還是條件收斂 解： （) 所以絕對(duì)收斂.八將展開(kāi)成為的冪級(jí)數(shù)，并求收