極限的計(jì)算與證明方法

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）冊 學(xué)院 匯華學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級 2008 級 X 班 學(xué)生 XXX 指導(dǎo)教師 XXX 論文編號 河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書編 號： 論文（設(shè)計(jì)）題目： 極限的計(jì)算與證明方法 學(xué) 院： 匯華學(xué)院 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級： 2008 級 3 班 學(xué)生姓名： xxx 學(xué)號： 指導(dǎo)教師： xxx 職稱： 1、論文（設(shè)計(jì)）研究目標(biāo)及主要任務(wù) 目標(biāo)：總結(jié)一些常用的極限的計(jì)算和證明方法。 主要任務(wù)：通過歸納總結(jié)對極限思想及其計(jì)算、證明方法加以鞏固，為后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。同時(shí)也培養(yǎng)自身的探究精神，提高自身的科學(xué)素養(yǎng)。2、論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容 主要內(nèi)

2、容：極限的常見的計(jì)算和證明方法，即利用函數(shù)的定義求極限、利用兩個準(zhǔn)則求極限、利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限、利用兩個重要極限公式求極限、利用單側(cè)極限求極限、利用無窮小量的性質(zhì)求極限、利用等價(jià)無窮小量代換求極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、利用中值定理求極限、利用定積分求和式的極限、利用洛必達(dá)法則求極限、利用泰勒展開式求極限、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限等。3、論文（設(shè)計(jì)）的基礎(chǔ)條件及研究路線 基礎(chǔ)條件：圖書館借閱及網(wǎng)上相關(guān)資料查閱。 研究路線：首先引入極限的分類及定義；然后對極限的計(jì)算與證明方法進(jìn)行搜集歸納，并一一列舉，并給出相應(yīng)的例題以促進(jìn)知識的理解、

3、掌握及應(yīng)用；最后作出總結(jié)。4、主要參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析（第三版）M，高等教育出版社，2001 年。2大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書編寫組編，數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)M，中國水利水電出版社,2004 年。3錢吉林等主編，眾邦考試教育研究所策劃，數(shù)學(xué)分析解題精粹（第二版）M，湖北長江出版集團(tuán)，2009 年。5、計(jì)劃進(jìn)度階段起止日期1畢業(yè)論文選題、文獻(xiàn)調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題 2011.11.012012.12.022進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作 2012.12.032012.02.013進(jìn)行畢業(yè)論文的二稿寫作 2012.02.022012.03.244進(jìn)一步修改論文，并最終定稿 2012.0

4、3.252012.05.095論文答辯 2012.05.10指 導(dǎo) 教 師： 年 月 日教研室主任： 年 月 日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告書 匯華 學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 2012 屆學(xué)生姓名xxx論文（設(shè)計(jì)）題目極限的計(jì)算與證明方法指導(dǎo)教師xxx專業(yè)職稱所屬教研室研究方向課題論證：（見附頁）方案設(shè)計(jì)：研究對象：極限的計(jì)算及證明方法。研究問題：極限常見的求法和證明方法的總結(jié)歸納。 采用方法：經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法、比較研究法、文獻(xiàn)資料法等。內(nèi)容安排：本文分為四個部分：緒論、極限的分類及定義、極限的計(jì)算與證明方法及結(jié) 束語。第一部分主要介紹極限在數(shù)學(xué)分析中的作用，引出主題；第二部分簡 要

5、介紹數(shù)學(xué)分析中極限的分類和定義；第三部分進(jìn)入正文部分，歸納總結(jié)了 十五種極限的常見求法及證明方法，并輔以相應(yīng)的例題；第四部分是對全文 進(jìn)行的總結(jié)性段落，使文章首尾呼應(yīng)，內(nèi)容更為完整。預(yù)期目標(biāo)：掌握求極 限的方法，并且能夠在不同的題目中應(yīng)用想適應(yīng)的方法，更好地完成極限的 求解及證明工作。同時(shí)通過對極限求法的討論，加強(qiáng)應(yīng)用極限解題的能力， 為日后相關(guān)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。進(jìn)度計(jì)劃： 2011.11.012012.12.02 畢業(yè)論文選題、文獻(xiàn)調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題； 2012.12.032012.02.01 進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫作； 2012.02.022012.03.24 進(jìn)行畢業(yè)論文的

6、二稿寫作； 2012.03.252012.05.09 進(jìn)一步修改論文，并最終定稿； 2012.05.10 論文答辯。指導(dǎo)教師意見： 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見： 教研室主任簽名： 年 月 日畢業(yè)論文課題論證（附）數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科，在初等數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到數(shù)學(xué)分析這種動態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過程中，研究對象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下，極限作為一種研究事物動態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)用而生。極限作為數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)和基本組成部分，作為區(qū)別初等數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志，伴隨著微積分的建立，最終發(fā)展成現(xiàn)在的角色，貫穿于整個數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的過

7、程中，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數(shù)的收斂性等定義都建立在極限的基礎(chǔ)上，可見極限在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中起到了十分重要的作用。極限的產(chǎn)生和發(fā)展可謂是曲折坎坷的，極限理論的建立不僅消除了微積分長期以來帶有的神秘性，也為微積分奠定了理論基礎(chǔ)，加速了微積分的發(fā)展，使微積分能夠更好的更深入的解決更多的實(shí)際問題，成為生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有力的工具，而且在思想上和方法上深刻的影響和促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。 極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，研究數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類型的極限，由此可見極限的重要性。極限理論又是數(shù)學(xué)分析中的基本概念，對極限理論和極限概念

8、理解和掌握的好壞將直接影響到相關(guān)課程的學(xué)習(xí)。極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一變化過程中的變化趨勢，是從有限到無限、近似到精確、量變到質(zhì)變過程，與初等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別，因此學(xué)生掌握起來比較困難。 而就是因?yàn)槠淦D難的發(fā)展路程，才更顯現(xiàn)了它在數(shù)學(xué)研究過程中的重要性。要深入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就必須培養(yǎng)并掌握極限的思想及相關(guān)概念，更重要的就是要能夠熟練地使用極限的方法解決數(shù)學(xué)中的很多難題。而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大多數(shù)學(xué)生較為頭痛的問題。又因?yàn)闃O限運(yùn)算作為學(xué)習(xí)數(shù)分過程中的最基本的運(yùn)算，所以能夠很好地掌握一些常用的求極限的方法時(shí)十分必要的。求極限不僅要

9、準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，而且還要能準(zhǔn)確地求出各種極限。而對于一些比較復(fù)雜的極限，如果直接按照極限的定義來求就會顯得非常困難，不僅計(jì)算量大，而且不一定能求出結(jié)果。為了極限的發(fā)展，使之得到更廣泛的應(yīng)用，有很多學(xué)者專家對求極限的方法也進(jìn)行過深入的研究。作為一個數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，很有必要對極限的求法和證明方法進(jìn)行了解和熟悉。相信這個課題會讓我更多的人了解數(shù)學(xué)這門學(xué)科，也對形成數(shù)學(xué)思想起到促進(jìn)作用。本文就是針對極限的計(jì)算和證明方法展開的。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文獻(xiàn)綜述作為一種科學(xué)的思想方法，極限思想同樣是社會實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的起源與發(fā)展一直也是學(xué)者們較為關(guān)注的話題。早在春秋戰(zhàn)

10、國時(shí)期，哲學(xué)名著莊子記載著惠施的一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”就已經(jīng)反映了古人對極限問題有了一定的思考。而我國古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”已經(jīng)能夠利用極限論的初步思想來解決求圓周率的實(shí)際問題了。同時(shí)，古希臘人的“窮竭法”也已經(jīng)將極限思想蘊(yùn)涵其中來解決問題。但是，由于希臘人對“無限”有著一種恐懼心理，于是他們便借助了一種間接的方法歸謬法來完成有關(guān)證明。以上這些都是極限思想在其萌芽階段的表現(xiàn)，盡管這一階段的極限概念不明確，但是卻能夠?yàn)楹笕死^續(xù)探索和發(fā)展極限思想提供一個很好的平臺。到了 16、17 世紀(jì)，極限思想進(jìn)入了發(fā)展階段，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文改進(jìn)了“窮竭法” ，并且大膽地運(yùn)用了極限

11、的思想來思考問題，從而將極限方法發(fā)展成為了一個實(shí)用的概念。之后，牛頓和萊布尼茲以無窮小的概念為基礎(chǔ)建立了微積分，但由于他們在研究過程中遇到了邏輯困難，因此也不同程度地接受了極限思想。 ，此時(shí)，真正意義上的極限才得以建立。然而牛頓對于極限的理解是建立在幾何直觀上的，故而無法給出極限的嚴(yán)格表述，這與數(shù)學(xué)上的追求嚴(yán)密的原則相抵觸。到了 18 世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾以及依里埃等人先后給出明確態(tài)度，指明極限必須是微積分的基礎(chǔ)概念，并且都作出了各自的極限的定義。直到 19 世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人的研究基礎(chǔ)上才將極限概念比較完整地闡述出來。為了排除極限概念中依舊存在的幾何直觀的痕跡，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉

12、斯對極限又作出了靜態(tài)的定義，也給微積分奠定了更為嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。這個嚴(yán)格的定義也被看作是科學(xué)論證的基礎(chǔ)，一直沿用至今。到了近代，在數(shù)學(xué)的許多分支中，很多重要的學(xué)術(shù)性概念及理論都是以極限思想為理論基礎(chǔ)來進(jìn)行延拓和深化的。運(yùn)用極限思想來解決問題也已經(jīng)成為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析乃至整個高等數(shù)學(xué)過程中一件必不可少的工具，數(shù)學(xué)分析之所以能夠很好地解決初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，也正是源于它應(yīng)用了極限的思想方法。因此，能夠很好的掌握極限的計(jì)算及證明方法也成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的必要條件。近年，許多的專家、學(xué)者對極限的熱衷程度逐漸提升，他們在深入探究極限的概念及理論意義的同時(shí)也對極限的計(jì)算和證明方法有不同程度的的研究，并且取

13、得了一定的突破。比如說利用中值定理求極限、利用無窮小量求極限等方法便是較為突出的研究成果。這對于后人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析甚至是深入數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有著重大的意義。 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）翻譯文章英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的Mathematical Analysis I第 111 頁到 114 頁。3.2.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì) 在這里我們給出一些常用的函數(shù)極限的性質(zhì)。它們中的許多性質(zhì)都類似于我們之前已經(jīng)給出的數(shù)列極限的性質(zhì)，而數(shù)列極限的性質(zhì)我們已經(jīng)給出，此處不再贅述。此外，由上面命題 1 的證明能夠明顯地看出，很多函數(shù)極限的性質(zhì)都是隨著與其相應(yīng)的數(shù)列極限的性

14、質(zhì)的形成而產(chǎn)生的，例如：極限的唯一性、極限的運(yùn)算性以及極限的保不等式性等。 讀者們可以注意到這樣的現(xiàn)實(shí)：我們僅僅需要一列極限點(diǎn)的去心鄰域的兩個性質(zhì)： aUBE1，即點(diǎn)集E的去心鄰域是非空的； aUaUaUBEEE 2 aUaUaUEEE ，也就是說，任意去心鄰域的交集都包含某一個去心鄰域。這一結(jié)論給出了我們函數(shù)極限的一般概念，函數(shù)極限定理也使得未來數(shù)集的定義成為了可能。為了使得此處的討論不與上述的 3.1 節(jié)出現(xiàn)重復(fù)，我們將給出一些前節(jié)沒有進(jìn)行證明的新的方法和概念。a. 函數(shù)極限的一般性質(zhì)函數(shù)極限的一般性質(zhì) 首先，我們給出以下定義： 定義定義 4.4. 如前所述，假設(shè)函數(shù)REf:僅是一個常值函

15、數(shù)。取一個函數(shù)REf:，當(dāng)Exax ,時(shí)，如果點(diǎn)a是去心鄰域 aUE上的一個常值，則a被稱作函數(shù)f上最終恒定的一個點(diǎn)，即a為集合E的一個極限點(diǎn)。 定義定義 5.5. 函數(shù)REf:是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一個數(shù)RC，對于所有的Ex，都使得,)(,)(CxfCxf或者)(xfC 成立。如果上述三種關(guān)系之一僅在這些去心鄰域里成立的話，當(dāng)Exax ,時(shí)，這個函數(shù)就被稱為最終有界、最終有上界或者有下界。定理定理 1. a. 當(dāng)Exax時(shí)，函數(shù)REf:是一個常數(shù)A ExAxfax,)(lim。 b. 存在ExAxfax,)(lim1 當(dāng)Exax時(shí)，函數(shù)REf:是一個有界常數(shù)。 c. 當(dāng))()

16、(lim)(lim21ExAxfAxfaxax且時(shí) 21AA 。證明 結(jié)論 a 中一個最終的常函數(shù)有一個極限，結(jié)論 b 中一個函數(shù)有的極限存在，說明這個函數(shù)有界，這與其對應(yīng)的定義相符合。我們現(xiàn)在來證明極限的唯一性。假設(shè)21AA 。選取兩個互不相交的鄰域 1AV和 2AV，即 21AVAV。由極限的定義我們有 11)()(limAVaUfaUExAxfEEax, 2 2)()(limAVaUfaUExAxfEEax。選取一個a（E的一個極限點(diǎn)）的一個去心鄰域 aUE，使得 aUaUaUEEE 。又 aUE，再取 aUxE。然后就有 21)(AVAVxf，由于鄰域 1AV和 2AV互不相交，故 2

17、1)(AVAVxf不成立。 b.b.極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 定義定義 6.6. 如果兩個數(shù)值函數(shù)REf:和REg:有一個共同的定義域E，它們的和、積和商函數(shù)分別由下列的同一組公式來定義： ,xgxfxgf ,xgxfxgf ,xgxfxgf此處 Exxg,0。 定理定理 2 2. 取函數(shù)REf:和函數(shù)REg:，使得他們有一個共同的定義域。如果ExBxgAxfaxax,)(lim)(lim且，那么a. ExBAxgfax,)(lim；b. ExBAxgfax,)(lim；c. 00,limxgBExBAgfax且，對于。在 3.2.2 節(jié)的開頭已經(jīng)注明，這個定理是一個之前的名題 1

18、 中給出的數(shù)列極限相應(yīng)定理的直接結(jié)果。這個定理也可以通過重復(fù)證明數(shù)列極限的性質(zhì)來得到。為了縮小集合E中點(diǎn)a的去心鄰域的范圍，我們需要在證明過程中給出一定的限定條件，即同先前涉及到的陳述“從自然數(shù) N 中取一個數(shù) n” 。此處為讀者自行證明。當(dāng)Exax時(shí)，函數(shù)REf:被稱作是無窮的，如果函數(shù)的極限為零。 命題命題 2.2. a.當(dāng)Exax時(shí),如果RE :和RE :趨于無窮，那么它們的和也趨于無窮。 b.當(dāng)Exax時(shí),如果RE :和RE :是無窮函數(shù)，那么它們的積 也是無窮的。 c.當(dāng)Exax時(shí),如果RE :是無窮的，且RE :是有界的，那么它們的積是無窮的。 證明 a.我們將給出證明如下： Ex

19、xExxxaxaxax,0lim,0)(lim0)(lim且。對于任意0，利用極限的定義，有 2)(,0)(limxaUxaUExxEEax， 2)(,0)(lim xaUxaUExxEEax。那么對于去心鄰域 aUaUaUEEE 我們可以得到 xxxxxaUxE，這樣，我們就證明了 0limxax。 b.這個結(jié)論是結(jié)論 c 的特殊情形，因?yàn)槊恳粋€極限存在的函數(shù)都有界。 c.給出證明如下 MxaUxaURMxEEax,0)(lim且 Exxxax, 0lim。對于任意0，利用極限的定義，有 MxaUxaUExxEEax)(,0)(lim。那么對于去心鄰域 aUaUaUEEE 可以得到 MMxx

20、xxxaUxE 。這樣，我們就證明了 Exxxax, 0lim。 英文原文：3.2.2 Properties of the Limit of a FunctionWe now establish a number of properties of the limit of a function that are constantly being used. Many of them are analogous to the properties of the limit of a sequence that we have already established, and for that r

21、eason are essentially already known to us. Moreover, by Proposition 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequence: the uniqueness of the limit, the arithmetic properties of the limit, and passag

22、e to the limit in inequalities.We call the readers attention to the fact that, in order to establish the properties of the limit of a function, we need only two properties of deleted neighborhoods of a limit point of a set: aUBE1,that is, the deleted neighborhood of the point in E is nonempty; aUaUa

23、UBEEE 2 aUaUaUEEE ,That is, the intersection of any pair of deleted neighborhoods contains a deleted neighborhood. This observation leads us to a general concept of a limit of a function and the possibility of using the theory of limits in the future not only for functions defined on sets of numbers

24、. To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and concepts that were not proved in that section.a. General Properties of the Limit of a Function We begin with some difinitions.Definition 4. As before, a function REf:

25、assuming only one value is called constant. A function REf: is called ultimately constant as axE if it is constant in some deleted neighborhood aUE, where a is a limit point of E.Definition 5. A function REf: is bounded, bounded above, or bounded below respectively if there is a number RCsuch that ,

26、)(,)(CxfCxfor )(xfC for all Ex. If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood aUE, the function is said to be ultimately bounded, ultimately bounded above, or ultimately bounded below as axE respectively.Theorem 1. a)(REf: is ultimately the constant Aas axE)(AxfaxE)(lim).b)

27、()(limxfaxE)(REf: is ultimately bounded as axE).c)(1)(limAxfaxE)(2)(limAxfaxE)(21AA ).Proof.The assertion a) that an ultimately constant function has a limit, and assertion b) that a function having a limit is ultimately bounded, follow immediately from the corresponding definitions. We now turn to

28、the proof of the uniqueness of the limit.Suppose 21AA . Choose neighborhoods 1AV and 2AV having no points in common, that is, 21AVAV.By definition of a limit, we have 11)(limAVaUfaUAxfEEaxE, 2 2)(limAVaUfaUAxfEEaxE.We now take a deleted neighborhood aUE of a (which is a limit point of E) such that a

29、UaUaUEEE . Since aUE, we take aUxE. We then have 21)(AVAVxf, which is impossible since the neighborhoods 1AV and 2AV have no points in common. b. Passage to the Limit and Arithmetic OperationsDefinition 6. If two numerical-valued functions REf: and REg: have a common domain of definition E, their su

30、m, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas: ,:xgxfxgf ,:xgxfxgf ,:xgxfxgfif 0 xgforEx.Theorem 2. LetREf: and REg: be two functions with a common domain of definition.If AxfaxE)(lim and BxgaxE)(lim, thena) BAxgfaxElim;b) BAxgfaxElim;c)BAg

31、faxElim, if 0B and 0)(xg for Ex.As already noted at the beginning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate consequence of thecorresponding theorem on limits of sequences, given Proposition 1. The theorem can also be obtainedby repeating the proof of the theorem on the algebraic properties of t

32、he limit of a sequence.The changes needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood aUE of a in E, where previously we had referred to statements holding from some Nn on. We advise the reader to verify this.Here we shall obtain the theorem from its simplest sp

33、ecial case when 0 BA.Of course assertion c) will then be excluded from consideration.A function REf: is said to be infinitesimal as axE if 0)(limxfaxE.Proposition 2. a) If RE : and RE : are infinitesimal functions as axE, then their sum RE : is also infinitesimal as axE.b)If RE : and RE : are infini

34、tesimal functions as axE, then their product RE : is also infinitesimal as axE.c)If RE : is infinitesimal as axE and RE : is ultimately bounded as axE, then their sum RE : is also infinitesimal as axE.Proof. a) We shall verify that.Let 0 be given. By definiti 0lim0lim0limxxxaxEaxEaxEon of the limit,

35、 we have 20limxaUxaUxEEaxE, 20lim xaUxaUxEEaxE.Then for the deleted neighborhood aUaUaUEEE we obtain xxxxxaUxE,That is, we have verified that 0limxaxE.b)This assertion is a special case of assertion c), since every function that has a limit is ultimately bounded.c)We shall verify that MxaUxaURMxEEax

36、E0lim)0)()(lim(xxaxELet 0 be given.By definition of limit we have MxaUxaUxEEaxE0lim.Then for the deleted neighborhood aUaUaUEEE , we obtain MMxxxxxaUxE .Thus we have verified that 0limxxaxE. 本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)題目 極限的計(jì)算與證明方法 作者姓名 X X X 指導(dǎo)教師 X X X 所在學(xué)院 匯華學(xué)院 專業(yè)（系） 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級（屆） 2012 屆 X 班 完成日期 2012 年 5 月 8 日目目 錄

37、錄中文摘要、關(guān)鍵詞 .III1.緒論 .12.極限的分類及定義 .1 2.1 數(shù)列極限及其定義 .1 2.2 函數(shù)極限及其定義 .23.極限的計(jì)算與證明方法 .2 3.1 利用極限的定義求極限.2 3.2 利用三個準(zhǔn)則求極限.3 3.3 利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限 .5 3.4 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限.6 3.5 利用兩個重要極限公式求極限.7 3.6 利用單側(cè)極限求極限.8 3.7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 .8 3.8 利用等價(jià)無窮小量代換求極限 .9 3.9 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 .9 3.10 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求極限 .11 3.11 利用中值定理求極限 .12 3.12 洛必達(dá)法則

38、求極限 .14 3.13 利用泰勒展開式求極限 .17 3.14 利用定積分求和式的極限 .18 3.15 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 .194.結(jié)束語 .20參考文獻(xiàn) .20英文摘要、關(guān)鍵詞 .IV極限的計(jì)算與證明方法河北師范大學(xué)匯華學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師 XXX作者 XXX摘要 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十五種方法：（1）利用函數(shù)的定義求極限、 （2）利用三個準(zhǔn)則求極限、 （3）利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限、 （4）利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限、 （5）利用兩個重要極限公式求極限、 （6）利用單側(cè)極限求極限、（7）利用無窮小量的性質(zhì)求極限、 （8）利用等價(jià)無窮小量代換求極限、 （

39、9）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、 （10）利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、 （11）利用中值定理求極限、 （12）利用定積分求和式的極限、 （13）利用洛必達(dá)法則求極限、 （14）利用泰勒展開式求極限、（15）利用級數(shù)收斂的必要條件求極限。關(guān)鍵詞 極限，極限的分類，極限的計(jì)算方法 1.緒論數(shù)學(xué)分析就是將函數(shù)作為研究對象，將極限理論及其方法作為基本方法，并且把微積分學(xué)作為其主要內(nèi)容的一門學(xué)科。而極限理論及其方法在這門課程中又占有著極其重要的地位。極限思想是微積分中的最基本的一種思想，數(shù)學(xué)分析中的大量的深層次理論及相關(guān)應(yīng)用都是極限的不斷延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性以及定積分等等都需

40、要借助極限來定義。假若有人要問：“數(shù)學(xué)分析到底是一門什么樣的學(xué)科？”那么我們可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析便是將極限思想作為基本工具對函數(shù)進(jìn)行研究的的一門學(xué)科” 。 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論（包括級數(shù)）為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點(diǎn)內(nèi)容，極限主要可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限兩大類，而極限的計(jì)算與證明方法又可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們可以知道求極限的最基本的方法還是利用極限的定義，同時(shí)也要注意兩個重要極限的運(yùn)用，也可以利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算。迫斂性和單調(diào)有界準(zhǔn)則是很重要的定理，在解題的時(shí)候要重點(diǎn)注意運(yùn)用。泰勒

41、公式、洛必達(dá)法則等則是針對某些特殊的情形而言的。極限理論的建立，不僅將長期以來微積分所帶有的神秘性消除了，而且在數(shù)學(xué)思想上和解題方法上深刻的影響并且促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的快速發(fā)展，成為了生產(chǎn)以及科學(xué)技術(shù)中的有力工具。所謂的極限思想，就是運(yùn)用極限概念對一系列問題進(jìn)行分析并作出進(jìn)一步的解決的一種數(shù)學(xué)思想。由此，極限運(yùn)算也就成為了學(xué)習(xí)數(shù)分過程中的最基本的運(yùn)算。極限的定義又是高度抽象的，這就使得我們不能完全利用其基本的定義來解決所有有關(guān)問題，而又因?yàn)闃O限的運(yùn)算分布于整個高等數(shù)學(xué)的始終，所以，對于極限的相關(guān)計(jì)算方法和證明方法便顯得尤為重要。2.極限的分類及定義2.1 數(shù)列極限及其定義 定義 設(shè) na為數(shù)列，a

42、為定數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)Nn 時(shí)有,aan則稱數(shù)列 na收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列 na的極限，并記作aannlim,或)(naan,讀作“當(dāng)n趨于無窮大時(shí)， na的極限等于a或na趨于a”。注：以上定義常稱為數(shù)列極限的N定義。2.2 函數(shù)極限及其定義定義 設(shè)f為定義在, a上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的0，存在正數(shù)(M)a,使得當(dāng)Mx 時(shí)有 Axf)(,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于時(shí)以A為極限，記作Axfx)(lim 或 Axf)( )(x。3.極限的計(jì)算與證明方法3.1 利用極限的定義求極限 利用極限的定義求極限是一種最根本的求極限的方法?！纠?1】利用極限的定義證明下題：(1)

43、0, 0!limanann; (2)nnn!lim;證 (1)對于任意0，都要找到N，使得當(dāng)Nn 時(shí)， !0!nanann (1.1)分析不等式(1.1)的左端，分子為n個數(shù)a的乘積，分母為n, 2 , 1 的乘積，隨著n不斷的增大，分子上的因子永遠(yuǎn)是數(shù)a，而分母的因子會越來越大，因此不等式左端隨著n的增大，會越來越小，而且有 11nnxnax由于a為一個正常數(shù)，故存在著正整數(shù)1N，使得11Na則當(dāng)1Nn 時(shí)，naNaxxNn111,并且 naxxNn10由此，若想使(1.1)成立，只需 naxN1 (1.2)成立即可。取12NxaN，則當(dāng)2,max1NNn 時(shí)，式(1.2)成立，即式(1.1

44、)也成立?？傻?0limnnx (2)要證nnn!lim，只需對任意0M，可以找到N，使得當(dāng)Nn 時(shí)， 1!nMMnnn (1.3)故知0!limnMn，即對于1，是能夠找到N，使得當(dāng)Nn 時(shí)，式(1.3)成立。 【例 2】 證明01limnn，這里設(shè)a是一個正數(shù)。 證 由于nn101,因此，對于任意的0，只需取111N，則當(dāng)Nn 時(shí)，便有Nn11 即 01n這就證明了01limnn 3.2 利用三個準(zhǔn)則求極限3.2.1 迫斂性(夾逼準(zhǔn)則) 定義 設(shè)收斂數(shù)列 na和數(shù)列 nb都是以a為極限的，且數(shù)列 nc滿足：存在正數(shù)0N，當(dāng)0Nn 時(shí)有 nnnbca，則數(shù)列 nc收斂，且acnnlim。【例

45、 1】 求數(shù)列 nn的極限。解 設(shè)nnnhna1，此處10nhn，則有如下式 2211nnnhnnhn由上可得 1120nnhn，因此有 12111nhann （1.1）數(shù)列121n總是收斂于 1 的，由于對任意給出的0，我們?nèi)?21N，則當(dāng)Nn 時(shí)便有1121n。于是，不等式(1.1)的左極限和右極限都為 1，故由迫斂性得到1limnnn。 3.2.2 單調(diào)有界準(zhǔn)則 定理 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。 【例 2】 證明數(shù)列 ,222,22,2個根號n，是收斂的，并且求出其極限。證 設(shè)222 na，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列 na是遞增的。現(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明數(shù)列 na有上界。顯然有221a

46、。設(shè)2na，則有22221nnaa，因此對一切n都有2na，即數(shù)列 na有上界。故由以上定理知，數(shù)列 na是有極限的，并且可記其為a。又由于 nnaa221，對上式的左右兩邊取極限可得aa 22，即有 021aa，解得21aa或由保不等式性可知，1a是不可能的，故有 2222limn 。 3.3 利用柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則求極限定理（柯西收斂準(zhǔn)則） 數(shù)列 na收斂的充要條件是：對任給的0,存在正整數(shù)N，使得當(dāng)Nmn,時(shí)有 mnaa以上定理從理論上可以完全地解決數(shù)列極限其存在性問題。我們稱柯西收斂準(zhǔn)則的條件其為柯西條件，它同時(shí)反映了這樣一個事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值越是到后面，彼此就越是接近，

47、以至于充分后面的任意兩項(xiàng)差的絕對值可小于預(yù)先所給定的任意小的正數(shù)。另外，柯西收斂準(zhǔn)則把N定義中的na與a的關(guān)系轉(zhuǎn)換成了na與ma的關(guān)系，這樣的好處在于不需要借助數(shù)列以外的數(shù)a，僅僅需要根據(jù)這個數(shù)列本身的特征便能夠鑒別其斂散性。【例】 取數(shù)列 nx，并且設(shè)00 x,nnxx211, 2 , 1 , 0n。證明nnxlim存在，并求出其極限值。證 因?yàn)?0 x,2121011xx,由數(shù)學(xué)歸納法我們可知210nx,)2 , 1 , 0(n對于任意的p，有 112121npnnpnxxxx 11111141)2)(2(npnnpnnpnxxxxxx 3332224141npnnpnxxxx 041xx

48、pn 00214141xxxnpn因?yàn)?2141lim0 xnn所以對于任給的0，存在一個正整數(shù)N，使得當(dāng)Nn 時(shí)，對任意的p，有02141xxxnnpn由以上定理可知數(shù)列 nx收斂。再設(shè)xxnnlim,對等式nnxx211的兩邊取極限可得xx21，且解得21x。由保不等式性可取 21x 故 21limnnx 。 3.4 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 定理（四則運(yùn)算法則） 若 na與 nb為收斂數(shù)列，則nnnnnnbababa,也都是收斂數(shù)列，且有nnnnnnnbabalimlimlim ，nnnnnnnbabalimlimlim 。特別當(dāng)nb為常數(shù)c時(shí)有nnnnnnnnaccacacalim

49、lim,lim)(lim。若再假設(shè)0nb及0limnnb，則nnba也是收斂數(shù)列，且有nnnnnnnbabalimlimlim 【例 1】 求,lim01110111bnbnbnbanananakkkkmmmmn 其中0, 0,kmbakm。 解 用kn同時(shí)乘以到分子分母后，所求的極限式可化為,lim0111101111kkkkkkkmmkmmnnbnbnbbnananana 當(dāng)0a時(shí)，我們有0limnn。那么，當(dāng)km 時(shí)，上式除了分子分母的首項(xiàng)分別為ma和kb外，其余的各項(xiàng)極限都是 0，因此所求的極限就等于mmba；而當(dāng)km 時(shí)，又由于kmn)0(0n，因此所求的極限等于 0。綜上可得 。m

50、kmkbabnbnbnbanananammkkkkmmmmn, 0,lim01110111 【例 2】 求下列極限:(1)121lim221xxxx; (2)2321lim4xxx。解 (1) ) 12)(1() 1)(1(lim121lim1221xxxxxxxxx 121lim1xxx 32 (2) )4()4(23212lim2321lim44xxxxxxxx 321)2(2lim4xxx 34 3.5 利用兩個重要極限公式求極限3.5.1 極限公式 1sinlim0 xxx 【例 1】求20cos1limxxx。 解 202022sin21limcos1limxxxxxx 21 3.5

51、.2 極限公式exxx11lim 【例 2】 求xxx1021lim 。 解 221210102121lim21limexxxxxxxx 注：在這一類型的習(xí)題中，一般是不能直接應(yīng)用以上公式的，而是需要通過恒等變形做出化簡后才可再利用公式進(jìn)行運(yùn)算。3.6 利用單側(cè)極限求極限這種方法常常用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先要考慮分段點(diǎn)的左、右極限，若左、右極限都存在并且相等，則該函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限就存在，否則極限不存在。【例】 已知函數(shù)0,1sin,0,12)(xxxxxxf，求其在點(diǎn)0處的左右極限。解 在0 x的右極限為 11sinlim0 xxx 在0 x的左極限為 11sinlim0 xx

52、x 因此 1)(lim)(lim00 xfxfxx 故有 1)(lim0 xfx 3.7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限無窮小量的性質(zhì) 無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。即如果0)(lim0 xfxx,g(x)在某區(qū)間),(),(0000 xxxx有界，那么 0)()(lim0 xgxfxx 這種方法可以解決一個函數(shù)不存在但是有界，和另一個極限為零的函數(shù)的極限的乘積的問題。 【例】 求xxx1sinlim20 。解 因?yàn)楫?dāng)0 x時(shí)，2x是無窮小量，x1sin為有界量， 所以由以上性質(zhì)可得 01sinlim20 xxx 3.8 利用等價(jià)無窮小量代換求極限定義（等價(jià)無窮小量） 若1)()(lim0 x

53、gxfxx，則稱g與f是當(dāng)0 xx 時(shí)的等價(jià)無窮小量。記作 )()(0 xxxgxf。 【例】 利用等價(jià)無窮小量代換求以下極限30sinsintanlimxxxx。解 因?yàn)?cos1 (tansinsintanxxxxx,從而 ),0(sin),0(2cos1),0(sin332xxxxxxxxx故有 21cos1limsinsintanlim320302xxxxxxxxx 注：在應(yīng)用等價(jià)無窮小量的代換求極限時(shí)，我們應(yīng)注意，只有對所求的極限式中相乘或者相除的因式，才能夠應(yīng)用等價(jià)無窮小量來替換，而對極限式中的相加或相減的部分，則不能夠隨便替換。3.9 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 定理 若函數(shù)f在點(diǎn)0

54、 x連續(xù)，g在點(diǎn)0u連續(xù)，)(00 xfu ，則復(fù)合函數(shù)gf 在點(diǎn)0 x連續(xù)。 注：根據(jù)連續(xù)性定義，上述定理的結(jié)論又可表為 )()(lim()(lim000 xfgxfgxfgxxxx。 (1.1) 【例 1】 求)1sin(lim21xx。解 我們將)1sin(2x看作是函數(shù)21)(sin)(xxfuug與的復(fù)合。由(1.1)式得 00sin)1 (limsin()1sin(lim2121xxxx 注：如果復(fù)合函數(shù)gf 的內(nèi)函數(shù)f在當(dāng)0 xx 時(shí)其極限為a，而)(0 xfa 或是函數(shù)f在點(diǎn)0 x處無定義(即0 x為f的可去間斷點(diǎn))，又知外函數(shù)g在au 連續(xù)，那么我們?nèi)耘f可以應(yīng)用上述的定理來求

55、解復(fù)合函數(shù)的極限，即有 )(lim()(lim00 xfgxfgxxxx (1.2)(1.2)式不僅對0 xx 這種類型的極限成立，而且對于0,xxxx或等類型的極限也是成立的。 【例 2】 求極限 (1)xxxsin2lim0 ; (2)xxxsin2lim 。 解 (1); 112sinlim2sin2lim00 xxxxxx(2)202sinlim2sin2limxxxxxx 。 【例 3】 函數(shù)f在區(qū)間, 0上是一致連續(xù)的，又對于 1 , 0 x,0)(limnxfn(n為正整數(shù))。證明0)(limxfx。證 函數(shù)f在區(qū)間, 0上一致連續(xù)，指的是對于任意給出的0，都存在0，0,21xx

56、，且當(dāng)21xx時(shí)， )()(21xfxf (1.1)我們需要證明的是，存在M，當(dāng)Mx 時(shí)， Cxf)( (1.2)C可以是某一個常數(shù)。 又由題設(shè)知對于任意的 1 , 0 x，都有0)(limnxfn，這表明了： 存在),(xN使得當(dāng)),(xNn 時(shí)， )(nxf (1.3) 而問題是),(xN是依賴于x的。盡管當(dāng) 1 , 0 x時(shí)，Nn，而nx又能取遍, 0，但不同的x又存在不同的),(xN，還不能找到公共的M，使不等式(1.2)成立。不過式(1.1)表明，只要1x與2x的距離小于，式(1.1)便成立?？蓪?1 , 0等分成0,21nxxx使得1kkxx,則在分別存在), 2 , 1(.,02

57、10nkNnNNNkn時(shí)， )(nxfk (4)取,max021nNNNN，則當(dāng)Nn 時(shí)，式(1.4)對于0, 2 , 1nk成立。如此，對任意x1, 0Nx時(shí)，存在1 , 0r使rxx及,01000kkkxrxrxk)()()()(0kxxfrxfrxfxf 2)(0kxxf (1.5)整理上述便可得0)(limxfx。 3.10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x的某鄰域內(nèi)有定義，若極限 00)()(lim0 xxxfxfxx (1.1)存在，則稱函數(shù)f在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)，記作)(0 xf。 令)()(,000 xfxxfyx

58、xx，則(1)式可改寫為 )()()(limlim00000 xfxxfxxfxyxx (1.2) 在這種方法的運(yùn)用過程中，首先要選好f，然后把所求極限表示成f在定點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)。 【例】 求 xxx2cot2lim2 。解 取xxf2tan)(,則 2)22tan(2tanlim122tanlim12cot2lim222 xxxxxxxxx 222)2sec2(12122)(limxxxfxfxf21 3.11 利用中值定理求極限3.11.1 微分中值定理：包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。 1、羅爾(Rolle)定理 若函數(shù)f滿足如下條件： (1)f在閉區(qū)間ba,上連續(xù); (

59、2)f在開區(qū)間ba,內(nèi)可導(dǎo); (3)()(bfaf,則在ba,內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 0)(f 。 (1.1) 2、拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函數(shù)f滿足如下條件: (1)f在閉區(qū)間ba,上連續(xù); (2)f在開區(qū)間ba,內(nèi)可導(dǎo),則在ba,內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 abafbff)()()( 。 (1.2)顯然，特別當(dāng))()(bfaf時(shí)，本定理得結(jié)論(1.2)即為羅爾定理得結(jié)論(1.1)，這表明羅爾定理是拉格朗日定理的一個特殊情形。【例 1】 求 30sin)sin(sinlimxxxx。 解 xxxxxxx)sin(cos)(sinsin)sin(sin ) 10( 30sin)sin(

60、sinlimxxxx 30)sin(cos)(sinlimxxxxxxx 2031coslim0cosxxx 61 3.11.2 積分中值定理：包括積分第一中值定理、積分第二中值定理。 1、積分第一中值定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間ba,上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ba,，使得)()(abfdxxfab 2、積分第二中值定理 設(shè)函數(shù)f在ba,上可積。 (1)若函數(shù)g在閉區(qū)間ba,上減，且0)(xg，則存在ba,，使得dxxfaagdxxgxfab)()()()(; (2)若函數(shù)g在閉區(qū)間ba,上增，且0)(xg，則存在ba,，使得dxxfbbgdxxgxfab)()()()(【例 2】 求xdxnnsin0