弧長和扇形面積講義教師版

1、教學(xué)目標(biāo)掌握弧長、扇形面積公式，理解圓錐側(cè)面展開圖，并準(zhǔn)確計算。重點難點弧長、扇形面積教學(xué)內(nèi)容目錄 Contents上節(jié)課回顧:作業(yè)檢查+知識點復(fù)習(xí)新課：一、導(dǎo)入二、知識梳理+經(jīng)典例題三、隨堂檢測四、歸納總結(jié)五、課后作業(yè)上節(jié)課回顧：一、作業(yè)檢查情況 完成 未完成 二、知識點回顧新課：一、導(dǎo)入二、知識梳理+經(jīng)典例題1.弧長公式 圓的面積C與半徑R之間存在關(guān)系，即360°的圓心角所對的弧長，因此，1°的圓心角所對的弧長就是。 n°的圓心角所對的弧長是 *這里的180、n在弧長計算公式中表示倍分關(guān)系，沒有單位。2.扇形面積由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圓

2、形叫做扇形。 發(fā)現(xiàn)：扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大。在半徑是R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角為n°的扇形面積是： （n也是1°的倍數(shù)，無單位）3. 圓錐的概念 觀察模型可以發(fā)現(xiàn)：圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的。其中底面是一個圓，側(cè)面是一個曲面，如果把這個側(cè)面展開在一個平面上，展開圖是一個扇形。 如圖，從點S向底面引垂線，垂足是底面的圓心O，垂線段SO的長叫做圓錐的高，點S叫做圓錐的頂點。 錐也可以看作是由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的。也就是說，把直角三角形SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形就是圓

3、錐。其中旋轉(zhuǎn)軸SO叫做圓錐的軸，圓錐的軸通過底面圓的圓心，并且垂直于底面。另外，連結(jié)圓錐的頂點和底面圓上任意一點的線段SA、SA1、SA2、都叫做圓錐的母線，顯然，圓錐的母線長都相等。 母線定義：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。P122 4. 圓錐的性質(zhì) 由圖可得 （1）圓錐的高所在的直線是圓錐的軸，它垂直于底面，經(jīng)過底面的圓心； （2）圓錐的母線長都相等 5. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線、圓心是圓錐的頂點、弧長是圓錐底面圓的周長。 圓錐側(cè)面積是扇形面積。 如果設(shè)扇形的半徑為l，弧長為c，圓心角為n（如圖），則

4、它們之間有如下關(guān)系： 同時，如果設(shè)圓錐底面半徑為r，周長為c，側(cè)面母線長為l，那么它的側(cè)面積是： 圓錐的全面積為：圓柱側(cè)面積：。例題賞析1.在中，120°的圓心角所對的弧長為，那么O的半徑為_cm。 答案：120 解：由弧長公式：得： 2.若扇形的圓心角為120°，弧長為，則扇形半徑為_，扇形面積為_。 答案：15；253.如果一個扇形的面積和一個圓面積相等，且扇形的半徑為圓半徑的2倍，這個扇形的中心角為_。 答案：90°4.已知扇形的周長為28cm，面積為49cm2，則它的半徑為_cm。 答案：75.兩個同心圓被兩條半徑截得的，又AC=12，求陰影部分面積。 解

5、：設(shè)OC=r，則OA=r+12，O=n° OC=18，OA=OC+AC=30 6. 例：如圖，已知正方形的邊長為a，求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形的總面積。 解：正方形邊長為a ， 葉的總面積為 *也可看作四個半圓面積減去正方形面積 7.已知AB、CD為O的兩條弦，如果AB=8，CD=6，的度數(shù)與的度數(shù)的和為180°，那么圓中的陰影部分的總面積為？ 解：將弓形CD旋轉(zhuǎn)至B，使D、B重合 如圖，C點處于E點 的度數(shù)為180° AE是O的直徑 ABE=90° 又AB=8，BE=CD=6 由勾股定理 半徑 8.在AOB中，O=90°，OA=OB=4

6、cm，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫，以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積。 解：OA=4cm，O=90° ， 則陰影部分的面積為： 9.、是邊長均大于2的三角形，四邊形、凸n邊形，分別以它們的各頂點為圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧， （1）圖中3條弧的弧長的和為_ 圖中4條弧的弧長的和為_ （2）求圖中n條弧的弧長的和（用n表示） 解：（1），2 （2）解法1： n邊形內(nèi)角和為：（n2）180° 前n條弧的弧長的和為：個以某定點為圓心，以1為半徑的圓周長 n條弧的弧長的和為： 解法2：設(shè)各個扇形的圓心角依次為 則 n條弧長的和為： 10.如圖，在RtABC

7、中，已知BCA=90°，BAC=30°，AC=6m，把ABC以點B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上的點C'處，那么AC邊掃過的圖形（陰影部分）的面積為？ 分析：在RtACB中，C=90°，BAC=30°，AB=6 法一： 法二：以B為圓心，BC為半徑畫弧 交A'B于D，AB于D' 有， 11.如圖，已知RtABC的斜邊AB=13cm，一條直角邊AC=5cm，以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個圓錐。求這個圓錐的表面積。如果以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，能得到一個什么樣的圖形？ 解： 以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐如圖所示，它的表

8、面積為： 以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形如圖所示。 三、隨堂檢測1. 已知扇形的弧長為6cm，圓心角為60°，則扇形的面積為_。1. 2. 已知弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形弦長為a，則這個弓形的面積是_。 2. 3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，BDAD，以BD為直徑的O交AB于E，交CD于F，則圖中陰影部分的面積為_。3. 4. 如圖，AB是O1的直徑，AO1是O2的直徑，弦MN/AB，且MN與O2相切于C點，若O1的半徑為2，則O1B、CN、所圍成的陰影部分的面積是_。4. 5. 如圖，ABC為某一住宅區(qū)的平面示意圖，其周長為800m，為了美化環(huán)境，計劃在

9、住宅區(qū)周圍5m內(nèi)，（虛線以內(nèi)，ABC之外）作綠化帶，則此綠化帶的面積為_。5. 6. 如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的，O'與，都相切，則圖中陰影部分的面積為_。6. 7. 如圖，OA是O的半徑，AB是以O(shè)A為直徑的O的弦，OB的延長線交O于點C，且OA=4，OAB=45°，則由，和線段BC所圍成的圖形面積是_。7. 8. 如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分BD長為20cm，貼紙部分的面積為（ ）8. A A. B. C. D. 9. 如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2、4，AOB=120°，則陰影

10、部分的面積為（ ）9. B A. B. C. D. 10. 一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平翻滾（如圖），那么，B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（ ）10. B A. B. C. 4D. 11. （2004·湖北黃岡）如圖，要在直徑為50cm的圓形木板上截出四個大小相同的圓形凳面，問怎樣才能截出直徑最大的凳面，最大直徑是多少厘米？. 截法如圖所示 根據(jù)圓的對稱性可知： O1，O3都在O的直徑AB上，設(shè)所截出的凳面的直徑為r 則O1O2=r，O2O3=r， 又 12.在相距40km的兩個城鎮(zhèn)A、B之間，有一個近似圓形的湖泊，其半徑為10km，圓心恰好位于A、B連線的中點

11、處，現(xiàn)要繞過湖泊從A城到B城，假設(shè)除湖泊外，所有的地方均可行走，有如圖所示兩種行走路線，請你通過推理計算，說明哪條路線較短。 （1）的路線：線段線段DB （2）的路線：線段線段FB（其中E、F為切點）由題意可知圖答（1）路徑： 圖答（2）路徑：如圖連接OE、OF，連結(jié)CD 由題意可知A、C、D、B共線，且經(jīng)過O點 E為切點，OEAE 在RtOAE中，AO=2EO A=30°，AOE=60° 同理BOF=60° 同理 由計算可知圖（2）路線較短。四、歸納總結(jié)五、課后作業(yè)1.一個圓錐的模型，這個模型的側(cè)面是用一個半徑為9cm，圓心角為240°的扇形鐵皮制作，

12、再用一塊圓形鐵皮做底，則這塊圖形鐵皮的半徑為_。 答案：62.若圓錐的軸截面是一個邊長為2cm的等邊三角形，則這個圓錐的側(cè)面積是_。 答案：23.例：已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為_。 答案：160°4.例：若圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面展開圖的圓心角是_。 答案：180°5.例：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm。 （1）畫出它的展開圖； （2）計算這個展開圖的圓心角及面積。 解：（1）煙囪帽的展開圖是扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面周長（如圖） （2）設(shè)扇形的半徑為l，弧長為c，圓心角為，則l=50cm， =288（