常微分方程習(xí)題解答

1、習(xí)題3.11. 試用變量分離法求下列一階微分方程的解.(1) 解: 分離變量得,兩邊積分得原方程的通解為(2) 解: 分離變量得,兩邊積分得原方程的通解為.也是原方程的解.(3) 解: 分離變量得,兩邊積分得原方程的通解為或(4) 解: 分離變量得,即.兩邊積分得,通解為(5)解:分離變量得,積分得,通解為.(6) 解: 分離變量得,積分得微分方程的通解為(7) 解: 分離變量得,積分得原方程的通解為.另外,也是解.(8) 解: 分離變量得,積分得原方程的通解為另外,也是解.2. 作適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q求解下列方程.(1) 解:令,原方程變形為,分離變量得,積分得,原方程的通解為(2) 解: 令,原

2、方程變形為,分離變量得,積分得,原方程的通解為.(3) 解: 令得作代換,原方程變?yōu)辇R次方程,再令,該齊次方程變?yōu)?分離變量得,兩端積分得,原方程的通解為(4) 解:令,原方程變形為,分離變量得,原方程的通解為.(5) 解: 原方程即,作代換,令,方程變?yōu)?分離變量得,原方程的通解為(6) ;解: 原方程即,令,方程變?yōu)辇R次方程再令,后一方程又變?yōu)?積分得整理并代換變量得原方程的解散為:.(7) 解:原方程即,亦即 (1)令,(1)式可變?yōu)?(2)作代換,(2)式變?yōu)?(3)作代換,(3)式變?yōu)?分離變量得 (4)(4)式兩端積分得,整理并代回變量得原方程的通解為3. 已知,試求函數(shù)的一般表達(dá)

3、式.解：原方程變形為，兩端求導(dǎo)得，并由已知式子可知。求解該微分方程有，且，故4求下列初值問(wèn)題的解。(1) 解: 所給方程的通解為,滿(mǎn)足初值條件的特解為(2) 解: 原方程變形為,通解為,特解為(3) 解: 原方程變形為,通解為,特解為(4) 解: 原方程變形為,通解為,特解為(5) 解: 原方程變形為,通解為.特解為(6) 解: 5.證明方程經(jīng)過(guò)變換可化為變量分離方程,并由此求解下列方程:(1) (2) 證明: 作變換,方程可變?yōu)?該方程為可分離變量的微分方程.(1) 作變換,方程可變?yōu)?即其通解為,即(2) 作變換,方程可變?yōu)?即,其通解為,即原方程的通解為6. 一曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線(xiàn)段均被切點(diǎn)所平分,試求該曲線(xiàn)方程.解: 設(shè)所求曲線(xiàn)方程為,切點(diǎn)為,則切線(xiàn)方程為.切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別為,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有,其通解為,所求曲線(xiàn)為補(bǔ)題7設(shè)對(duì)任意均有，且，求解: 由已知易得,故即,從而8設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，存在且滿(mǎn)足關(guān)系式，試求此函數(shù).解: 由已知可得解得,再利用可得9已知，求解: 已知方程左端作變量代換,方程可變?yōu)?即,兩端求導(dǎo)整理得微分方程:,